1610915348-99a8a2e15f9c5b33e840849c87014c18 (824742), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Обе указанные теоремыимеют место и в том случае, когда l — спрямляемая кривая Жордана. Отметим, что мы рассмотрели лишь тот случай, когда область ограничена однойзамкнутой кривой (односвязная область).27. Главное значение интеграла. Мы переходим к исследованию предельных значений интеграла типа Коши. Предварительно нам надо ввести134Гл. I. Основы теории функций комплексного переменного[27новое понятие в связи с интегралами от разрывных функций.
Пусть x =c — некоторая точка, содержащаяся внутри конечного промежутка (a, b), иf (x) — некоторая функция, определенная о этом промежутке. Пусть далееинтегралыc−εbf (x)dx иf (x)dx(149)ac+εсуществуют при любом ε > 0. Положим, например, что f (x) непрерывна во всемпромежутке (a, b), кроме точки x = c, и становится неограниченной при приближении x к c. Определение несобственного интеграла от f (x) по промежутку(a, b) сводится к следующему: если при ε → +0 интегралы (149) стремятся кконечным пределам, то сумма этих пределов и называется интегралом от f (x)по промежутку (a, b) [I, 97].
Если этих пределов в отдельности для интеграловнет, но сумма этих интегралов при ε → +0 стремится к конечному пределу, тоэтот предел c−εblimf (x)dx +f (x)dxε→+0ac+εназывается главным значением интеграла от f (x) по промежутку (a, b):bf (x)dx = limv. p.ε→+0a c−εbf (x)dx +f (x)dx ,a(150)c+εгде v. и p. — первые буквы французских слов valeur principale, что значит порусски «главное значение».В дальнейшем для сокращения письма мы не будем писать букв v. p.
передзнаком интеграла. Характерным для определения (150) является тот факт, чтов пределах интегралов, находящихся в правой части формулы, стоит одно и тоже число ε, стремящееся к (+0).Совершенно аналогично определяется главное значение интеграла и в томслучае, когда f (x) имеет несколько точек разрыва непрерывности внутри промежутка. Если существует обычный несобственный интеграл от функции f (x)по всему промежутку (a, b) [I, 97], то главное значение интеграла (150) совпадает, очевидно, с этим несобственным интегралом. Из определения (150) непосредственно вытекает, что постоянный множитель можно выносить за знакинтеграла и что интеграл от суммы конечного числа слагаемых равен суммеинтегралов от отдельных слагаемых, причем предполагается, что интегралы отслагаемых существуют в смысле главного значения.Приведем простейшие примеры главного значения интеграла. Рассмотриминтегралbdt,(151)(t − x)paгде a < x < b и p — некоторое целое положительное число.27]Главное значение интеграла135Если p > 1, то мы имеемx−εadt+(t − x)pbx+εdt=(t − x)p=−1p−1111−+ [(−1)p−1 − 1] p−1(b − x)p−1(a − x)p−1ε.Если p — четное, то в правой части последнее слагаемое будет (−2) : εp−1 , и этаправая часть будет беспредельно возрастать при ε → (+0), и интеграл (151) несуществует.
Если же p — нечетное число, то правая часть написанной формулыне будет содержать ε, и мы получимba11dt1=−(t − x)p1 − p (b − x)p−1(a − x)p−1(p — нечетное).При p = 1 получимx−εadt+t−xbx+εt=x−εdt= ln(x − t)t−xт. е.bab+ ln(t − x)t=a= lnt=x+εb−x,x−ab−xdt= ln.t−xx−aБудем говорить, что функция ω(x) удовлетворяет в промежутке (a, b) условию Липшица с показателем α, где 0 < α 1, если для любых значений x1 иx2 , принадлежащих упомянутому промежутку, выполнено условие|ω(x2 ) − ω(x1 )| k|x2 − x1 |α ,(152)где k — некоторая постоянная. Мы вводили раньше такое условие при α = 1 ивидели, что оно выполнено, если ω(x) имеет внутри промежутка ограниченнуюпроизводную [II, 51].
Рассмотрим интегралbf (x) =aω(t)dt,t−x(153)который мы можем переписать в видеbaω(t)dt =t−xbaω(t) − ω(x)dt + ω(x)t−xbadt.t−xПользуясь условием (152), получаем для подынтегральной функции первогоинтеграла следующую оценку в окрестности точки t = x: ω(t) − ω(x) k,(154)t−x|t − x|1−α136Гл. I. Основы теории функций комплексного переменного[27и, следовательно, этот интеграл будет абсолютно сходящимся интегралом вобычном смысле [II, 85]. Второй интеграл равенω(x) lnb−x.x−aТаким образом, интеграл (153) имеет смысл при любом x, находящемся внутри(a, b), если ω(t) удовлетворяет условию Липшица (152).
Функция f (x), определяемая равенством (153), будет определена для всех x, лежащих внутри (a, b).Составим выражениеx−εbω(t)ω(t)dt +dt.(155)t−xt−xax+εПри положительном ε подынтегральные функции будут непрерывными функциями t и x, если x принадлежит любому замкнутому промежутку, находящемуся внутри промежутка (a, b), а t принадлежит промежутку (a, x − ε) или(x + ε, b); поэтому и выражение (155) будет непрерывной функцией от x. Пользуясь тождествомω(t)ω(t) − ω(x)1=+ ω(x)t−xt−xt−xи условием (152), нетрудно показать, что при ε → +0 выражение (155) стремится к пределу f (x) равномерно по отношению к x, и, следовательно, функцияf (x), определяемая формулой (153), будет непрерывной функцией во всякомзамкнутом промежутке, лежащем внутри (a, b), т.
е., проще говоря, f (x) естьнепрерывная функция внутри промежутка (a, b). Дальше мы докажем болееточный результат, а именно: если ω(t) удовлетворяет условию Липшица с показателем α < 1, то f (x) во всяком промежутке, лежащем внутри (a, b), удовлетворяет также условию Липшица с тем же показателем α, а если в условии(152) α = 1, то f (x) удовлетворяет условию Липшица с любым показателем,меньшим единицы.Из условия (152) вытекает, очевидно, непрерывность функции ω(x).
Наоборот, из непрерывности функции не следует, что эта функция удовлетворяетусловию Липшица, т. е. условие Липшица является более сильным условием,чем простая непрерывность. Отметим еще, что для существования интеграла(153) в некоторой точке x достаточно потребовать, чтобы ω(t) удовлетворяла условию Липшица в некоторой окрестности точки x, а в остальной частипромежутка (a, b) была просто непрерывной или даже только интегрируемой.Действительно, для существования интеграла (153) нам достаточно иметь оценку (154) при всех значениях t, достаточно близких к x.
Если каждую точку x,лежащую внутри (a, b), можно покрыть промежутком, в котором выполняетсяусловие Липшица (152) при некотором выборе k и α, то интеграл (153) будетсуществовать при всех x, лежащих внутри (a, b). При этом на различных промежутках, лежащих внутри (a, b), постоянные k и α могут быть различными.Выясним теперь возможность замены переменных в интеграле (153). Предварительно докажем лемму: если η1 (ε) и η2 (ε) таковы, что отношения27]Главное значение интеграла137η1 (ε) : ε и η2 (ε) : ε стремятся к нулю при ε → (+0), тоbaω(t)dx = limε→+0t−xx−ε+η 1 (ε)aω(t)dt +t−xbx+ε+η2 (ε)ω(t)dt .t−xДля доказательства леммы достаточно показать, чтоx−ε+η 1 (ε)limε→+0x−εx+ε+η 2 (ε)ω(t)dt = 0t−xиlimε→+0x+εω(t)dt = 0.t−xДокажем, например, первое из этих равенств. Считая η1 (ε) > 0, будем иметь|t − x| ε − η1 (ε) при x − ε t x − ε + η1 (ε), и, следовательно,x−ε+η 1 (ε)x−εm · η1 (ε)mη1 (ε)ω(t) dt =·→ 0,t−x ε − η1 (ε)1 − η1 (ε)/εεгде m — наибольшее значение |ω(t)|.
Если η1 (ε) < 0, то мы могли бы написатьx−ε+η 1 (ε)x−εm · |η1 (ε)|ω(t) dt → 0,t−x εи лемма таким образом доказана.Пользуясь этой леммой, легко доказать формулу замены переменных в интеграле (153).Т е о р е м а. Пусть t = μ(τ ) — монотонно возрастающая функция от τ ,изменяющаяся в промежутке (a, b), если α τ β, причем μ(τ ) имеет в промежутке (α, β) непрерывные производные до второго порядка, иμ (τ ) = 0 внутри этого промежутка. При этом имеет место формула замены переменныхbβω(t)ω[μ(τ )]μ (τ )dt =dτ,(156)t−xμ(τ ) − μ(ξ)aαгде x = μ(ξ), и интеграл, стоящий справа, надо понимать в смысле главногозначения.В соответствии с определением главного значения интеграла составимсуммуξ−εβω[μ(τ )]μ (τ )ω[μ(τ )]μ (τ )dτ +dτ.(157)μ(τ ) − μ(ξ)μ(τ ) − μ(ξ)αξ+εОбозначим μ(ξ − ε) = x − ε и μ(ξ + ε) = x + ε + η.
Согласно формуле Тейлораμ(ξ + h) = μ(ξ) + hμ (ξ) +h2 μ (ξ + θh)2(0 < θ < 1).138Гл. I. Основы теории функций комплексного переменного[28Полагая h = −ε и затем h = +ε, получимx − ε = x − εμ (ξ) +x + ε + η = x + εμ (ξ) +ε2 μ (ξ − θ1 ε),2ε2 μ (ξ + θ2 ε)2(0 < θ1иθ2 < 1),откуда непосредственно вытекаетεε = ε μ (ξ) − μ (ξ − θ1 ε) ,2ε2 μ (ξ + θ2 ε) + μ (ξ − θ1 ε) ,η=2и, следовательно, отношение η : ε стремится к нулю, если ε → 0. Преобразуяинтегралы, входящие в сумму (157), к переменной t, представим эту сумму ввидеx−εaω(t)dt +t−xbx+ε +ηω(t)dt.t−xОтметим при этом, что из ε → +0 следует ε → +0 и наоборот.Пользуясь доказанной выше леммой, можно утверждать, что сумма (137)в пределе дает интеграл, стоящий в левой части формулы (156), чем и доказывается эта формула. В условиях теоремы монотонное возрастание функцииμ(τ ) можно, очевидно, заменить и монотонным убыванием.28.
Главное значение интеграла (продолжение). Понятие главногозначения интеграла может быть определено и в случае криволинейного интеграла. Мы ограничимся рассмотрением интегралов типа Коши:ω(t)f (ξ) =dτ,(158)τ −ξLгде L — замкнутый или незамкнутый контур плоскости комплексного переменного τ и ξ — точка этого контура, не совпадающая с его концом, если контур L незамкнутый. Пусть s — длина дуги L, отсчитываемая от некоторой точки. Будем в дальнейшем считать, что в параметрическом уравнении контураτ (s) = x(s) + y(s)i функции x(s) и y(s) имеют непрерывные производные довторого порядка.
Положим, что точке τ = ξ соответствует значение s = s0 .Главное значение интеграла (158) мы можем определить как главное значениеинтеграла по вещественному переменному s:l0ω[τ (s)]τ (s)ds,τ (s) − τ (s0 )(159)28]Главное значение интеграла (продолжение)139где l — длина контура L, и мы можем считать, что s0 находится внутри промежутка интегрирования.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
