1610915348-99a8a2e15f9c5b33e840849c87014c18 (824742), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Криволинейный четырехугольник, ограниченный, четырьмя линиями изотермической сетки, перейдет в результате преобразования (1) в прямоугольник, ограниченный прямыми, параллельными осям (рис. 26)u = u0 ,u = u1 ,v = v0 ,v = v1 .Рис. 26.Сделаем еще одно добавление к общим основам конформногопреобразования, прежде чем переходить к примерам.
Мы видели,32]Линейное преобразование155что при преобразовании, совершаемом регулярной функцией f (z) втех точках, где производная отлична от нуля, углы сохраняются нетолько по величине, но и по направлению их отсчета. Иногда рассматривают такие преобразования плоскости, при которых величины углов сохраняются, а направление их отсчета переходит в противоположное. Такое преобразование называют иногда конформнымпреобразованием второго рода.
В качестве примера укажем преобразование симметрии в вещественной оси, которое будет, очевидно, конформным преобразованием второго рода (рис. 27). Этопреобразование можно записать ввиде формулы w = z. Вообще, если f (z) есть регулярная функцияв области B, то формулаw = f (z)(8)будет давать конформное преобразование второго рода, опредеРис. 27.ленное в области B , симметричной с B относительно вещественной оси.
Действительно, переходот z к z будет переводить B в B с сохранением величин углов, но сизменением направления их отсчета. Последующий затем переходот z к f (z) по формуле (8) не будет уже менять ни величин углов, нинаправления их отсчетов и, таким образом, в окончательном преобразовании от z к w мы будем иметь конформное преобразованиевторого рода.32. Линейное преобразование. В качестве первого примераконформного преобразования рассмотрим наиболее простую линейную функциюw = az + b(a = 0),откудаz=1bw− .aa(9)156Гл. II. Конформное преобразование и плоское поле[32Эта функция переводит всю плоскость, включая бесконечно далекую точку, в себя, причем бесконечно далекая точка также переходит в себя, т.
е. остается на месте. В частном случае при a = 1мы имеем функцию w = z + b, которая дает параллельный переносплоскости на вектор, соответствующий комплексному числу b. Вдругом частном случае b = 0 и a = eiψ (ψ — некоторое вещественное число) дело сводится к прибавлению к аргументу z числа ψ,и это преобразование w = eiψ z есть, очевидно, поворот плоскостивокруг начала на угол ψ. Общий случай движения плоскости какцелого получится соединением поворота и параллельного переноса:w = eiψ z + b.(10)Если a = eiψ = 1, т.
е. если мы имеем дело не с чистым параллельным переносом, то из формулы (10) нетрудно определитькоординату неподвижной точки преобразования, т. е. той точки,которая останется на своем месте в результате преобразования. Координата этой точки определится из уравненияz0 = eiψ z0 + b,откуда z0 =b.1 − eiψНетрудно проверить, что преобразование (10) может быть написано в видеw − z0 = eiψ (z − z0 ),т.
е. общий случай движения плоскости (10) мы можем рассматривать как поворот плоскости вокруг точки z0 на угол ψ. Заметим, чтопреобразование (10) будет иметь еще вторую неподвижную точкуна бесконечности.Перейдем теперь к рассмотрению того случая, когда модуль коэффициента a в линейном преобразовании (9) будет отличен от единицы. Вводя модуль и аргумент числа a, рассмотрим преобразование в случае b = 0:w = ρeiψ z.Здесь дело сводится к умножению длины радиуса вектора изначала в точку z на ρ и к повороту плоскости вокруг начала на33]Дробно-линейное преобразование157угол ψ. Такое преобразование называют преобразованием подобияс центром подобия в начале с коэффициентом подобия ρ.Рассмотрим теперь линейное преобразование (9) в общем случаепри a = 1.
Вводя неподвижную точку преобразованияz0 = az0 + b,т. е. z0 =b,1−aмы можем переписать формулу (9), как это нетрудно проверить, ввидеw − z0 = a(z − z0 ),и имеем здесь, очевидно, преобразование подобия, по только с центром не в начале координат, а в точке z0 . Предоставляем читателюпоказать, что в данном случае изотермическая сетка будет состоять из двух семейств параллельных прямых линий, что очевидно ичисто геометрически.33. Дробно-линейное преобразование. Дробно-линейнымпреобразованием называется преобразование, выражающееся в виде частного двух линейных функцийw=az + b,cz + d(11)причем надо считать ad−bc = 0, так как в противном случае дробь,стоящая в формуле (11), будет сократимой и будет равна простопостоянному числу.
Решая уравнение (11) относительно z, получимформулу для преобразования, обратного (11), которое также будетдробно-линейным:−dw + bz=.(12)cw − aВсякой точке плоскости z будет соответствовать определеннаяточка плоскости w и наоборот, т. е. преобразование (11) преобразуетвсю плоскость, включая бесконечно далекую точку, саму в себя.Если в формуле (11) c = 0, то преобразование просто будет линейным. В противном случае точка z = ∞ перейдет в точку a/c,и точка z = −d/c даст точку w = ∞, т.
е. в общем случае дробнолинейного преобразования бесконечно далекая точка не будет уженеподвижной точкой.158Гл. II. Конформное преобразование и плоское поле[33Докажем одно основное свойство дробно-линейного преобразования, а именно покажем, что оно преобразует окружность вокружность, причем под термином «окружность» мы будем здесьи в дальнейшем понимать не только окружность в собственномсмысле слова, но и прямую линию. Для линейного преобразования, которое сводится или к простому движению плоскости какцелого, или к преобразованию подобия, это свойство совершенно очевидно, причем в этом случае прямая переходит в прямуюили окружность в собственном смысле этого слова.
Прежде чемдоказывать это свойство для дробно-линейного преобразования,представим его в несколько другом виде. Считая c = 0 и деля числитель на знаменатель, мы можем написать формулу (11)в видеw =e+f,z + d/cгдеe=acи f=bc − ad.c2Таким образом, наше преобразование состоит из параллельного переноса w1 = z + d/c, преобразования вида w2 = f /w1 и ещепараллельного переноса w = w2 + e. Достаточно, таким образом,рассмотреть преобразование простейшего видаw=γz(13)и доказать, что оно переводит окружность в окружность.
Уравнение окружности имеет видA(x2 + y 2 ) + 2Bx + 2Cy + D = 0,где A = 0 в случае прямой линии. Мы можем записать это уравнение в видеAzz + δz + δz + D = 0,гдеδ = B − iC,(14)и черта наверху показывает, что взято комплексное сопряженноечисло. Положим теперь, что на плоскости z мы имеем некоторуюокружность l. Чтобы получить уравнение преобразованной кривойна плоскости w, нам достаточно определить z из уравнения (13)33]Дробно-линейное преобразование159и подставить полученное выражение в уравнение (14).
Мы будемиметь, таким образом, на плоскости w кривую l1 с уравнениемAγγ + δγw + δγw + Dww = 0.Это уравнение того же типа, что и уравнение (14), т. е. емутакже соответствует окружность (или прямая). Итак, всякое преобразование вида (11) преобразует окружность в окружность(прямая есть окружность, проходящая через бесконечно далекуюточку).Положим, что преобразование (11) преобразует некоторуюокружность l в окружность l1 , причем обе окружности суть окружности в собственном смысле слова. Принимая во внимание сказанное в [22], мы можем утверждать, что если положительному обходупо l соответствует положительный обход по l1 , то преобразование(11) переводит внутренность l во внутренность l1 и внешность l вовнешность l1 .
Если же направления обходов по l и l1 противоположны, то внутренность l переходит во внешность l1 и наоборот. Еслиодна из упомянутых окружностей есть прямая или обе суть прямые, то для определения тех частей плоскости, которые переходятдруг в друга, надо брать соответствующий обход по обеим линиям,и при этом те части плоскости, которые находятся с одной стороныот движущегося наблюдателя, например слева, будут переходитьдруг в друга.Рассмотрим далее две точки A1 и A2 , симметричные относительно окружности l. Положим, что после преобразования они перешлив точки B1 и B2 .
Покажем, что эти последние также будут симметричны относительно преобразованной окружности l1 . Действительно, пучок окружностей, проходящих через точки A1 и A2 будет,как мы знаем из [24], состоять из окружностей, ортогональных кl. После преобразования мы получим, очевидно, пучок окружностей, проходящих через точки B1 и B2 , и в силу конформности этиокружности, составляющие пучок, будут ортогональны к окружности l1 , а это, как мы знаем, и является характерным свойством симметричных точек. Таким образом, если преобразование (11) переводит окружность l в окружность l1 , то точки, симметричныеотносительно окружности l, переходят при этом в точки, симметричные относительно окружности l1 . Заметим при этом, что160Гл. II.
Конформное преобразование и плоское поле[33центру окружности соответствует по закону симметрии бесконечнодалекая точка. В данном случае пучок окружностей, проходящихчерез эти две точки, сводится к пучку прямых, проходящих черезцентр окружности, и прямые этого пучка, очевидно, ортогональнысамой окружности.Если a и c = 0, то мы можем написать преобразование (11) вследующем виде:z−αaw=kk=.(15)z−βcЧисла α и β имеют простое геометрическое значение, а именно точка z = α переходит в начало w = 0 и точка z = β переходит вбесконечно далекую точку.Рассмотрим на плоскости w семейство концентрических окружностей, имеющих центр в начале. Уравнение этих окружностей будет |w| = C, и для них вышеупомянутые точки w = 0 и w = ∞будут симметричными.
Отсюда следует, что этим окружностям наплоскости z будут соответствовать также окружности, для которых точки z = α и z = β будут симметричными, и уравнение этогосемейства окружностей будет, очевидно, иметь видz − α(16) z − β = C,Рис. 28.где C — произвольная постоянная. Итак, уравнению (16) будет соответствовать семейство окружностей, относительно которых точки α и βсимметричны (рис. 28). В этосемейство будет входить, очевидно, и прямая, перпендикулярная к отрезку α, β в его середине. Рассмотрим теперь наплоскости w семейство прямых,проходящих через начало, или,иначе говоря, пучок окружностей, проходящих через точки33]Дробно-линейное преобразование161w = 0 и w = ∞. Уравнение этого пучка окружностей будет, очевидно, arg w = C.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
