1610915348-99a8a2e15f9c5b33e840849c87014c18 (824742), страница 28
Текст из файла (страница 28)
На плоскости z этому пучку окружностей будетсоответствовать, очевидно, пучок окружностей, проходящих черезточки α и β, и уравнение этого пучка будет (заметим, что аргументчисла k постоянен)z−αarg= C1 .(17)z−βИтак, уравнению (17) соответствует на плоскости z пучококружностей, проходящих через точки α и β. Окружности семейства (17), очевидно, пересекаются с окружностями семейства (16)под прямым углом (рис. 28).Определим теперь изотермическую сетку на плоскости z. Наплоскости w ей соответствуют два семейства прямых, параллельных осям. Каждое из этих семейств мы можем рассматривать каксемейство окружностей, взаимно касающихся в бесконечно далекойточке.Такому семейству будет соответствовать на плоскости zнекоторое семейство окружностей, взаимно касающихся в точке z = −d/c.
Таким образом, искомая изотермическая сетка будет состоять из двух семействокружностей, причем окружности каждого семейства взаимно касаются в точке z =−d/c, и окружности двух разных семейств пересекаются вэтой точке под прямым угломРис. 29.(рис. 29).Точное определение одного из этих семейств, а вместе с ним идругого, связано со значением комплексных коэффициентов преобразования (11).Преобразование (11) содержит три произвольных комплексныхпараметра, а именно отношения трех из коэффициентов a, b, c, d кчетвертому. Таким образом, мы можем определить преобразование162Гл.
II. Конформное преобразование и плоское поле[33(11), задав соответственное количество дополнительных условий.Мы можем, например, потребовать, чтобы три заданные точки z1 ,z2 , z3 плоскости z перешли в три заданные точки w1 , w2 , w3 плоскости w. Нетрудно написать то дробно-линейное преобразование,которое будет осуществлять эти условия. Оно будет иметь видw − w1 w3 − w2z − z1 z3 − z2·=·.w − w2 w3 − w1z − z2 z3 − z1(18)Действительно, решая это уравнение относительно w, мы получим, очевидно, дробно-линейное преобразование вида (11). Крометого, подставляя z = z1 и w = w1 , мы будем в формуле (18) и слеваи справа иметь нуль.
При подстановке другой пары точек z = z3 иw = w3 мы будем в обеих частях иметь единицу, и при подстановкетретьей пары точек мы будем в обеих частях иметь бесконечность.Отсюда видно, что дробно-линейное преобразование, определяемоепо формуле (18), действительно удовлетворяет поставленному условию.
Нетрудно показать также, что это условие определяет дробнолинейное преобразование единственным образом. При этом, очевидно, построенное преобразование будет переводить окружность,определяемую тремя точками z1 , z2 , z3 , в окружность, определяемую точками w1 , w2 , w3 . Если обе тройки точек взяты на однойи той же окружности, то дробно-линейное преобразование будетпреобразовывать окружность самое в себя. Если при этом последовательность точек zk на этой окружности дает то же направлениеобхода, что и последовательность точек wk , то построенное преобразование будет преобразовывать круг, ограниченный упомянутойокружностью, в самого себя.В качестве примера рассмотрим верхнюю полуплоскость, границей которой служит вещественная ось (внутренние точки этойполуплоскости определяются из условия, что коэффициент мнимойчасти у координат точек положителен).
В данном случае преобразование, переводящее верхнюю полуплоскость в самое себя, должно и вещественную ось преобразовывать в себя, т. е. вещественнымz должны соответствовать и вещественные w, а следовательно, вформуле (11) мы можем все четыре коэффициента считать такжевещественными. Но этого мало, надо еще, чтобы при движении z вположительном направлении по вещественной оси (в сторону воз-33]Дробно-линейное преобразование163растания) и w двигалось бы в таком же направлении. В противномслучае верхняя полуплоскость z будет переходить в нижнюю полуплоскость w.Подставляя в формулу (11) z = x + iy получимw=(ax + b) + iay(cx + d) + icyили, отделяя вещественную и мнимую части,w = u + iv =(ax + b)(cx + d) + acy 2(ad − bc)y+i.222(cx + d) + c y(cx + d)2 + c2 y 2Отсюда непосредственно видно, что при y > 0 коэффициенту мнимой части w будет также положителен, если выполненоусловиеad − bc > 0.(19)Итак, общий вид дробно-линейных преобразований, преобразующих верхнюю полуплоскостьсамое в себя, будет (11), с любыми вещественными коэффициентами, удовлетворяющими услоРис.
30.вию (19).Точно так же можно рассматривать преобразование самого всебя единичного круга, т. е. круга с центром в начале координати радиусом единица, уравнение которого может быть написано ввиде |z| 1. Предварительно выясним некоторые простые свойстваточек, симметричных относительно окружности C такого круга.Пусть A1 и A2 — две такие точки и M — любая точка на самойокружности C.
Мы имеем OA1 · OA2 = OM 2 , что может быть записано в виде следующей пропорции (рис. 30):OA1OM=.OMOA2164Гл. II. Конформное преобразование и плоское поле[33Отсюда видно, что треугольники OA1 M и OA2 M , имеющие общий угол A1 OM и пропорциональные стороны, образующие этотугол, будут подобными треугольниками, и это подобие дает намследующую пропорцию:M A1OA1.=M A2OM(20)Обозначим через α комплексную координату A1 , и пустьα = ρeiϕ . Для симметричной точки A2 будем иметь, очевидно,β = 1/ρ eiϕ, или иначе комплексную координату этой симметричной точки мы можем выразить дробью β = 1/α.
Составим дробно-линейное преобразование, которое преобразует единичный кругсам в себя и переводит точку α в начало. Оно должно переводитьсимметричную точку β в бесконечность, т. е. оно должно иметь видz−αz−β(21)α(z − α),αz − 1(22)w=kили, если заменить β =1α,w=kгде k — постоянный множитель, вид которого мы должны еще определить из условия, что вся правая часть формулы (21) при любомz на окружности C должна иметь также модуль, равный единице,т.
е.|z − α||k|= 1 при |z| = 1.|z − β|Но, очевидно, в силу (20)|z − α||α|=,|z − β|1откуда |kα| = 1. Обращаясь к формуле (22), мы видим, таким образом, что произведение kα должно иметь модуль, равный единице,33]Дробно-линейное преобразование165т. е. должно иметь вид kα = eiψ , где ψ может иметь любое вещественное значение. Окончательно для искомого преобразования мыполучаем формулуz−aw = eiψ,(23)αz − 1в которой можем произвольно выбирать точку α внутри единичного круга и вещественный параметр ψ.
В частном случае, если α = 0,т. е. если начало переходит само в себя, мы имеем простое преобразование w = ei(ψ+π) z, т. е. вращение единичного круга вокругначала на угол (ψ + π). Общее преобразование (23) можно разбитьна две части, а именно на преобразованиеw=z−α,αz − 1(24)переводящее единичный круг самого в себя и преобразующее точкуα в начало, и затем — на поворот вокруг начала на угол ψ.Мы можем также построить бесчисленное множество преобразований, переводящих некоторый круг K1 в другой круг K2 .
Достаточно для этого построить одно из таких преобразований, переводящих K1 в K2 , и затем к полученному результату применитьлюбое дробно-линейное преобразование, переводящее круг K2 самого в себя. При этом важно отметить, что результат последовательного применения двух дробно-линейных преобразований естьтакже дробно-линейное преобразование.
Действительно, положим,что мы имеем дробно-линейное преобразование (11) от переменнойz к переменной w и затем следующее дробно-линейное преобразованиеa1 w + b 1w1 =(25)c1 w + d1от переменной w к переменной w1 . Подставляя выражение (11) впоследнюю формулу, будем иметь после элементарных преобразований окончательное дробно-линейное преобразование от переменной z к переменной w1 :w1 =(a1 a + b1 c)z + (a1 b + b1 d).(c1 a + d1 c)z + (c1 b + d1 d)166Гл. II. Конформное преобразование и плоское поле[33Оно называется обычно произведением дробно-линейных преобразований (11) и (25), причем, вообще говоря, это произведение будет зависеть от порядка сомножителей, т.
е. от того порядка, в котором мы совершали дробно-линейные преобразования (11) и (25).Вернемся к случаю верхней полуплоскости и единичного кругаи построим одно дробно-линейное преобразование, переводящее полуплоскость в единичный круг. Возьмем для этого преобразованиевидаz−iw=.(26)z+iНетрудно видеть, что точка z = i верхней полуплоскости переходит в начало координат, и вещественным значениям z соответствуют значения w, по модулю равные единице. Действительно,|w| =|z − i|,|z + i|причем числитель и знаменатель написанной дроби равны соответственно расстоянию от точки z до точек i и (−i), и если точка z находится на вещественной оси, то эти расстояния одинаковы, и, следовательно, |w| = 1.
Если затем к переменной w применить любоедробно-линейное преобразование, преобразующее единичный кругсамого в себя, то получим общий вид преобразований, переводящихверхнюю полуплоскость в единичный круг.В заключение докажем принцип симметрии в том общем виде,как мы его формулировали в [24].
Пусть функция f (z) регулярнас одной стороны от некоторой дуги AB окружности C, непрерывна вплоть до этой дуги и преобразует ее в некоторую дугу A1 B1окружности C1 . Совершим над z дробно-линейное преобразование,переводящее C в вещественную ось:z1 =az + b,cz + dи точно так же совершим над самой функцией дробно-линейноепреобразование, переводящее окружность C1 в вещественную ось.Таким образом, будем иметь новую функцию f1 (z1 ), от новой неза-33]Дробно-линейное преобразование167висимой переменной z1 :f1 (z1 ) =a f (z) + b.c f (z) + dЭта новая функция f1 (z1 ) регулярна с одной стороны отрезкавещественной оси, непрерывна вплоть до самого отрезка и переводит этот отрезок тоже в отрезок вещественной оси. Согласно первоначальной формулировке принципа симметрии, доказанного намираньше в [24], эта функция будет аналитически продолжима за упомянутый отрезок и будет в точках, симметричных относительно вещественной оси, иметь значения, также симметричные относительно вещественной оси.
Принимая во внимание, что при упомянутыхдвух дробно-линейных преобразованиях симметричные точки переходят в симметричные, мы можем утверждать, что первоначальнаяфункция f (z) аналитически продолжима за дугу AB окружностиC, и точки, симметричные относительно этой окружности, переводит в точки, симметричные относительно окружности C1 .Дробно-линейное преобразование, как мы увидим дальше, имеет большое принципиальное значение в теории функций комплексного переменного. Часто им пользуются совершенно так же, какпреобразованием координат в аналитической геометрии, а именнопрежде чем рассматривать какой-нибудь вопрос, подвергают плоскость переменных, входящих в задачу, дробно-линейному преобразованию так, чтобы получить возможно более простую формулировку задачи. Так, например, пользуясь дробно-линейным преобразованием, мы свели принцип симметрии в общем случае к ужеразобранному нами частному случаю.Назовем отображением в некоторой окружности C или прямойпреобразование плоскости, при котором всякая точка A переходитв точку A1 , симметричную с ней относительно C.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
