1610915348-99a8a2e15f9c5b33e840849c87014c18 (824742), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Н. И. Мусхелишвили):1. Если γ = 0, тоF (z) = ±ω(c)1ln+ F0 (z),2πiz−cгде знак «+» относится к случаю c = a и знак «–» — к случаю c = b и F0 (z)есть ограниченная функция, имеющая определенный предел при z → c. Подln(z − c) подразумевается любая ветвь, однозначная вблизи z = c на плоскостис разрезом (a, b).2. Если γ = γ1 + γ2 i = 0, тоF (z) = ±ω ∗ (c)e±γπi·+ F0 (z),2i sin γπ (z − c)γгде знаки выбираются, как и выше, (z − c)γ обозначает ту однозначную вблизиz = c на плоскости с разрезом (a, b) ветвь, у которой на верхнем (левом) берегу разреза (z − c)γ равно тому значению (t − c)γ , которое входит в формулу29]Интегралы типа Коши149(165). Далее, F0 (z) обладает следующими свойствами: если γ1 = 0, то F0 (z)ограничена и имеет определенный предел при z → c; если же γ1 > 0, то|F0 (z)| <c,|z − c|γ0где c и γ0 — постоянные, причем γ0 < 1.
Используя понятие интеграла Лебега,можно исследовать значения интеграла типа Коши для любой суммируемойфункции ω(t) и для широкого класса контуров (см.: Привалов И. И. ИнтегралКоши, 1918).Отметим один частный случай. Если ω(τ ) суть предельные значения наL функции, регулярной внутри замкнутого контура L и непрерывной вплотьдо L, причем ω(τ ) удовлетворяет условию Липшица, то Fi (ξ) = ω(ξ), и первая из формул (169) показывает, что ω(τ ) должна быть решением однородногоинтегрального уравнения второго рода1ω(τ )ω(ξ) =dτ.(178)πiτ −ξLПусть L, как и выше, — простой замкнутый контур.
Главное значение интеграла1ω(τ )dτ(179)2πiτ −ξLпереводит любую функцию ω(t), заданную на L и удовлетворяющую условиюЛипшица, в некоторую другую функцию ω1 (ξ), определенную на L и также удовлетворяющую условию Липшица. Иначе говорят, что интеграл (179) являетсяпреобразованием или оператором над функцией ω(τ ). К полученной функцииω1 (ξ) мы можем опять применить оператор с ядром Коши. При этом имеетместо формула111ω(τ )1dτ dξ = ω(η).(180)2πiξ − η 2πiτ −ξ4LLИначе говоря, в результате двукратного применения преобразования с ядромКоши мы получаем исходную функцию с коэффициентом 1/4. Для доказательства (180) перепишем первую из формул (174) в виде11ω(τ )dτ = Fi (ξ) − ω(ξ).(181)2πiτ −ξ2LПравая часть даст результат применения к функции ω(τ ) линейного преобразования с ядром Коши.
К этой правой части опять применимо линейное преобразование с ядром КошиFi (ξ) − 12 ω(ξ)1dξ,(182)2πiξ−ηL150Гл. I. Основы теории функций комплексного переменного[30где η лежит на L, и интеграл, как и выше, надо понимать в смысле главногозначения. Поскольку Fi (ξ) дает предельные значения на L функции, регулярной внутри L, мы должны иметь в силу (178)11Fi (ξ)= Fi (η).2πiξ−η2LС другой стороны, в силу (181) 1ω(ξ)122πiLξ−ηdξ =11Fi (η) − ω(η),24и окончательно интеграл (182) оказывается равным ω(η) : 4, т. е. мы имеемформулу (180).30. Интегралы типа Коши (продолжение). Приведем теперь, как и в[26], без доказательства некоторые общие предложения об интегралах типа Коши.
В дальнейшем для краткости интеграл в смысле главного значения будемназывать особым интегралом. Сформулируем основную теорему.Т е о р е м а. Если L — спрямляемая кривая, ω(t) суммируема на L и особыйинтеграл1ω(τ )dt(183)2πiτ −ξLсуществует почти везде для ξ на L, то интеграл типа Коши (166) имеет почти везде на L угловые предельные значения, выражаемые формулами(172).Обратно, если интеграл типа Коши (166) имеет почти везде на L угловые предельные значения изнутри или извне L, то почти везде на L существует особый интеграл (183), и граничные значения интеграла типа Кошивыражаются формулой (172) (изнутри и извне).Приведем два результата, касающихся того случая, когда интеграл типаКоши определяет непрерывную в замкнутой области B функцию.
Это будетиметь место, например, если на спрямляемой кривой Жордана L функция ω(t)удовлетворяет условию|ω(t2 ) − ω(t1 )| A|t2 − t1 |.В случае круга |ξ| < 1 имеет место следующий результат: если угловыепредельные значения интеграла типа Коши (183) совпадают почти везде наокружности |ξ| = 1 с некоторой непрерывной на этой окружности функциейf (ξ), то (183) является непрерывной в замкнутом круге |ξ| 1 функцией F (ξ)и F (ξ) ≡ f (ξ) на окружности |ξ| = 1.Г Л А В А IIКОНФОРМНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ИПЛОСКОЕ ПОЛЕ31.
Конформное преобразование. В настоящей главе мызаймемся рассмотрением некоторых приложений теории функций комплексного переменного к задачам плоской гидродинамики,электростатики и теории упругости. Существенную роль при этихприменениях играет конформное преобразование, и мы начнем настоящую главу с более подробного рассмотрения конформного преобразования. Основные свойства преобразования, совершаемого регулярной функцией, были нами выяснены в [3] и затем в [22]. Мырассмотрели более подробно это преобразование как в тех точках,где производная отлична от нуля, так и в тех точках, где она равнанулю.
В точках первого рода углы остаются без изменения, а чтокасается точек второго рода, то в этих точках углы увеличиваютсятак, как это было указано в [23]. Пустьω = f (z)(1)регулярная функция, совершающая конформное преобразованиеобласти B в область B1 . Если f (z) нигде в нуль не обращаетсяв области B, то область B1 не имеет точек разветвления, но можетвсе же быть многолистной, т. е. налегать сама на себя. Рассмотримв области B некоторую кривую l, функцию ϕ(s), заданную на этойкривой, и криволинейный интегралϕ(s)ds,L152Гл.
II. Конформное преобразование и плоское поле[31где ds — элемент дуги кривой l. В результате преобразования (1)кривая l перейдет в некоторую кривую l1 , лежащую в области B1 ,и элемент дуги новой кривой ds1 будет выражаться произведениемds1 = |f (z)|ds, так как |f (z)| дает коэффициент изменения линейных размеров [3].Вводя функциюz = F (ω),(2)обратную (1), мы будем иметь, очевидно, F (w) = 1/f (z) и, следовательно, можем написать ds = |F (w)|ds1 . Так что интеграл врезультате преобразования будет выражаться в видеϕ(s)ds = ϕ(s1 )|F (w)|ds1 .(3)ll1Точно так же, принимая во внимание, что |f (z)|2 будет давать коэффициент изменения площади в заданном месте, мы будем иметь следующую формулу преобразования двойного интеграла при конформном преобразовании:ϕ(z)dσ =ϕ1 (w)|F (w)|2 dσ1 ,(4)BB1и для элемента площади будет иметь место следующая формула:dσ1 = |f (z)|2 dσ.(5)Если отделить в формуле (1) вещественную и мнимую части,w = f (z) = u(z, y) + iv(x, y),(6)то нетрудно видеть, что |f (z)|2 равно функциональному определителю от функций u(x, y) и v(x, y) по переменным x и y.
Действительно, этот функциональный определитель выражается формулойD(u, v)∂u ∂v ∂u ∂v=−D(x, y)∂x ∂y∂y ∂x31]Конформное преобразование153или, в силу уравнений Коши—Римана, формулой 2 2∂uD(u, v)∂v=+,D(x, y)∂x∂xа это и есть как раз квадрат модуля производной2 2 2 ∂u∂v ∂u∂v2|f (z)| = +i =+.∂x∂x∂x∂xРассмотрим на плоскости z = x + iy два семейства линий видаu(x, y) = C1 ;v(x, y) = C2 ,(7)где C1 и C2 — произвольные постоянные. На плоскости w = u + ivим будут соответствовать прямые u = C1 и v = C2 , параллельные координатным осям, и, следовательно, линии (7) получаютсяиз сетки прямых, параллельных осям, при помощи преобразования(2). Отсюда, между прочим, следует непосредственно, что линии(7), принадлежащие различным семействам, взаимно ортогональны, кроме тех точек, где f (z) равна нулю. Наоборот, если мы возьмем уравненияu = u(x, y); v = v(x, y)и положим в правых частях этих уравнений x = C1 или y = C2 ,где C1 и C2 — произвольные постоянные, то получим на плоскостиw = u + iv сетку, состоящую из двух семейств взаимно ортогональных линий.
Эта сетка получается из сетки прямых, параллельныхосям координат плоскости z, при помощи преобразования, совершаемого функцией (1). Эти две сетки, которые будут играть в дальнейшем существенную роль, называются обычно изотермическими сетками. Выясним смысл этого названия. Вещественная частьu(x, y) (или мнимая) регулярной функции должна удовлетворятьуравнению Лапласа [2]:∂ 2 u(x, y) ∂ 2 u(x, y)+= 0.∂x2∂y 2Но такому уравнению удовлетворяет температура в случае установившегося потока тепла [II, 129], причем мы считаем, что имеется154Гл. II. Конформное преобразование и плоское поле[31плоский случай, т. е. температура u не зависит от одной из координат. При таком толковании функции u(x, y), как температуры приустановившемся потоке тепла, линии первого из семейств (7) будутлиниями равной температуры, откуда и происходит название изотермическая сетка. В рассматриваемом случае линии второго изсемейств (7), ортогональные к первым, будут служить векторными линиями для векторов, которые мы рассматривали в [II, 129] иназывали векторами потока тепла.При преобразовании (1) две линии и u(x, y) = u0 и u(x, y) = u1 ,перейдут в прямые u = u0 и u = u1 , параллельные оси u = 0,и часть области B, ограниченная вышеуказанными линиями, перейдет в часть полосы, ограниченной вышеуказанными прямыми,параллельными оси u = 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
