1610915348-99a8a2e15f9c5b33e840849c87014c18 (824742), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Приэтом можно использовать дробно-линейное преобразование единичного круга в самого себя с той целью, чтобы три заданные точки контура области B перешли в три заданные точки окружностиединичного круга. При этом функция, совершающая конформноепреобразование, определяется вполне. Можно формулировать дополнительные условия еще и другим образом, а именно: потребуемпрежде всего, чтобы данная точка z0 внутри B перешла в начало.180Гл.
II. Конформное преобразование и плоское поле[37После этого у нас остается еще возможность поворачивать единичный круг вокруг начала, и мы можем использовать этот поворотдля того, чтобы заданная точка контура области B перешла в заданную точку единичной окружности, и, как можно показать, приэтом функция определяется вполне.Итак, при выполнении условий, гарантирующих непрерывностьфункции, совершающей конформное преобразование, вплоть доконтура области B, можно вполне определить эту функцию, задавая произвольно соответствие трех точек контура области Bтрем точкам единичной окружности или задавая произвольно соответствие одной внутренней точки и одной точки контура области B таким же точкам единичного круга.Если у нас имеются на плоскости z две односвязные областиB1 и B2 , то существуют, согласно теореме Римана, две регулярныефункцииw1 = f1 (z1 ) и w1 = f2 (z2 ),(40)которые преобразуют эти области в единичный круг |w1 | < 1.
Исключая из предыдущих равенств переменную w1 , мы придем к регулярной функции z2 = ϕ(z1 ), которая преобразует B1 в B2 .При этом каждой точке z1 будет соответствовать такая точкаz2 , что точкам z1 и z2 отвечает в силу (40) одно и то же w1 . Такимобразом, существует конформное преобразование любых двух односвязных областей (за указанными двумя исключениями) друг вдруга.
При этом, конечно, можно ставить такие же дополнительныеусловия, какие мы указывали выше при преобразовании области вкруг.Отметим одно важное свойство функции f (z), преобразующейодносвязную область в круг или в другую односвязную область.Будем считать, что наши области суть однолистные областиили — более общо — что они, хотя и могут налегать сами на себя, ноне имеют внутри себя точек разветвления. При этом производнаяf (z) не может обращаться внутри области в нуль, так как обращение в нуль производной влечет за собой точку разветвления преобразованнойобласти [23]. Заметим еще, что если возьмем функцииlg f (z) и f (z), то они при аналитическом продолжении внутринашей односвязной области B не будут иметь особых точек и бу-38]Формула Кристоффеля181дут, следовательно, однозначными [18] и регулярными функциямивнутри области.1Если мы имеем на плоскости z не односвязную, а, например,двусвязную область: некоторое кольцо, ограниченное двумя замкнутыми кривыми, то его невозможно, очевидно, преобразоватьконформно в односвязную область так, чтобы каждой точке кольцасоответствовала определенная точка односвязной области и наоборот.В случае многосвязной области имеет место одно обстоятельство, отличающее этот случай от случая односвязной области, аименно не всякие две области одной и той же связности могут бытьконформно преобразованы одна в другую.
Так, например, два кольца, ограниченных концентрическими окружностями, могут бытьконформно преобразованы одно в другое в том лишь случае, если для обоих этих колец отношение радиусов ограничивающих ихокружностей одно и то же.Но и в случае многосвязной области существует возможностьпреобразовать любую область в область определенного типа, аименно: всякую n-связную область можно преобразовать на плоскость с n вырезами, которые имеют вид параллельных отрезковпрямых, причем некоторые из этих вырезов могут выродиться вточку.Прежде чем переходить к изложению приближенных методовпостроения функции, совершающей конформное преобразование,мы выведем аналитическое выражение для функций, дающих конформное преобразование единичного круга или верхней полуплоскости в область, ограниченную ломаной линией, т.
е. в многоугольник. Формула эта часто встречается в приложениях.38. Формула Кристоффеля. Пусть на плоскости z имеется многоугольник A1 A2 . . . An (рис. 38), и положим, что величиныуглов этого многоугольника суть α1 π, α2 π, . . . , αn π. Введем в рассмотрение функциюz = f (t),(41)1 В данном случае обозначение lg использовано для обозначения обычногонатурального логарифма ln.182Гл. II. Конформное преобразование и плоское поле[38которая совершает конформноепреобразование верхней полуплоскости t в наш многоугольник.
Нашей задачей будет построение аналитического выражения этой функции. Положим,что вершинам многоугольникаAk соответствуют точкиt = ak(k = 1, 2, . . . , n),лежащие на вещественной оси,причем мы считаем, что все этиточки находятся на конечномРис.
38.расстоянии, чего всегда можнодостигнуть при помощи дробно-линейного преобразования плоскости t. Кроме того, пусть a1 — крайняя точка слева и an — крайняяточка справа. Рассмотрим вопрос об аналитическом продолжениифункции f (t) через вещественную ось. Возьмем некоторый определенный отрезок ak ak+1 вещественной оси, которому соответствует сторона Ak Ak+1 многоугольника. В силу принципа симметриимы можем функцию f (t) аналитически продолжить через отрезокak ak+1 , и значения этого продолжения в нижней полуплоскости дадут новый многоугольник, который получается из основного припомощи отображения в стороне Ak Ak+1 .
Мы можем затем дальшеаналитически продолжить вновь полученную функцию из нижнейполуплоскости в верхнюю через некоторый отрезок al al+1 вещественной оси. При этом опять в силу принципа симметрии новыезначения f (t) в верхней полуплоскости дадут многоугольник, который получается из второго многоугольника при помощи его отображения в той его стороне, которая соответствовала упомянутомуотрезку al al+1 вещественной оси и т. д. Мы видим, таким образом,что можно беспрепятственно продолжать нашу функцию f (t) черезвещественную ось, и при этом значения этой функции будут преобразовывать всякую полуплоскость в многоугольник, который получается из основного путем нескольких отображений в тех сторонах,которые соответствуют тем отрезкам вещественной оси, через которые мы совершали аналитическое продолжение.
Заметим при этом,38]Формула Кристоффеля183что стороне многоугольника An A1 соответствует на вещественнойоси отрезок, идущий от an к ∞ и затем от ∞ к a1 , так что бесконечно далекая точка в плоскости t соответствует некоторой точке, лежащей на стороне An A1 многоугольника. Сами точки ak будут, вообще говоря, особыми точками функции f (t).
Исследуем характерэтих особых точек. Возьмем для определенности точку a2 и обойдемвокруг этой точки, отправляясь из верхней полуплоскости и вновьтуда возвращаясь. При этом нам сначала придется пройти из верхней полуплоскости в нижнюю через отрезок a1 a2 и затем вернутьсяиз нижней в верхнюю через отрезок a2 a3 . Согласно вышесказанному, значения f (t) в нижней полуплоскости дадут многоугольникA1 A2 A3 . . . An , который получается из основного отображением встороне A1 A2 , и затем возвращение в верхнюю полуплоскость сведется к отображению в стороне A2 A3 этого нового многоугольника(рис. 39).Таким образом, вышеуказанному обходу вокруг точки a2 будет соответствовать на плоскостиz отображение в прямых A2 A1и A2 A3 , т.
е., как мы видели в[33], линейное преобразование вида z − b2 = eiϕ (z − b2 ), где b2 —координата точки A2 .Отсюда непосредственно следует∗f (t) = eiϕ f (t) + γ,где γ — некоторая постоянная (γ =Рис. 39.∗b2 − eiϕ b2 ) и f (t) — новая ветвь f (t) в верхней полуплоскости.Отсюда следует∗f (t)∗f (t)т. е. функция=f (t),f (t)f (t)f (t)(42)184Гл. II. Конформное преобразование и плоское поле[38будет регулярной и однозначной в окрестности точки a2 , и эта точка может для функции (42) быть полюсом или существенно особойточкой.
Покажем, что эта точка будет простым полюсом с вычетом (α2 − 1). Действительно, введем вместо z новую комплекснуюпеременную z :1z = (z − b2 ) α2 ,где b2 — координата вершины A2 . Этой вершине будет соответствовать значение z = 0, и стороны A2 A1 и A2 A3 , образующие угол a2 π,перейдут в две прямые, образующие угол π, т. е. на плоскости z вышеупомянутые стороны превратятся в два отрезка одной и той жепрямой l, выходящих из начала в разные стороны. Если мы обратимся теперь к плоскости переменной t, то увидим, что окрестностьточки a2 , лежащая над вещественной осью, перейдет на плоскостиz в окрестность точки z = 0, лежащую по одну сторону от прямойl. В силу принципа симметрии то же самое будет иметь место и дляокрестностей точек t = a2 и z = 0, лежащих по другую сторонуот упомянутых прямых.
Таким образом, окрестность точки t = a2перейдет в однолистную окрестность точки z = 0, и мы должныбудем иметь разложение вида1z = (z − b2 ) α2 = c1 (t − a2 ) + c2 (t − a2 )2 + . . .(c1 = 0).Отсюда непосредственно следует, чтоα2c2c3α2221+(t−a)(t−a)+(t−a)+...z = b 2 + cα2221c1c1или, если применить формулу бинома Ньютона [ср. 23],f (t) = b2 + (t − a2 )α2 f1 (t),где f1 (t) — регулярна в точке t = a2 и отлична там от нуля.Отсюдаf (t) = α2 (t − a2 )α2 −1 f1 (t) + (t − a2 )α2 f1 (t),38]Формула Кристоффеля185f (t) = α2 (α2 − 1)(t − a2 )α2 −2 f1 (t) + 2α2 (t − a2 )α2 −1 f1 (t)++ (t − a2 )α2 f1 (t),и, следовательно,f (t)1α2 (α2 − 1)f1 (t) + 2α2 (t − a2 )f1 (t) + (t − a2 )2 f1 (t)=.·f (t)t − a2α2 f1 (t) + (t − a2 )f1 (t)Второй множитель справа есть регулярная функция в точкеt = a2 , и значение его в этой точке равно (α2 − 1), т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
