1610915348-99a8a2e15f9c5b33e840849c87014c18 (824742), страница 33
Текст из файла (страница 33)
. . An , и пусть z = 0 — егоцентр (рис. 43 для n = 6). Возьмем конформное преобразованиетреугольника OA1 A2 на сектор O A1 A2 единичного круга с центральным углом 2π/n так, чтобы вершинам треугольника O, A1 иA2 отвечали центр круга O и концы дуги A1 и A2 . Совершая отображение треугольника в его сторонах, мы, согласно принципу симметрии, будем иметь отображение сектора в соответствующих радиусах. Таким образом, при аналитическом продолжении функцияотобразит весь правильный многоугольник в единичный круг. Изэтих рассуждений непосредственно следует, что при отображенииправильного многоугольника на единичный круг вершинам многоугольника соответствуют точки, делящие окружность единичногокруга на равные части.
Кроме того, в формуле (48) мы должны вданном случае считатьα1 = α2 = . . . = αn =2n−2=1− .nnПоворачивая единичный круг вокруг начала, мы можем, конечно, считать, что вершине A1 соответствует любая точка окруж-192Гл. II. Конформное преобразование и плоское поле[40Рис. 43.ности, например точка τ = 1. При этом остальные точки окруж2πkности, соответствующие вершинам многоугольника, будут ei n(k = 1, 2, . .
. , n − 1), так что подынтегральная функция формулы (48) в данном случае будет иметь вид− n24π2πi 2πii(n−1)n(τ − 1) τ − e nτ − e n ... τ − e.(53)Считая, что центр многоугольника находится в начале координат, получаем следующую формулу преобразования единичногокруга в правильный n-угольник:z = Aω0dτ.n(τ n − 1)2(54)Модуль постоянной A определяется из размеров многоугольника, а аргумент этой постоянной дает просто поворот многоугольника вокруг центра.40. Случай внешности многоугольника. Рассмотрим частьплоскости, лежащей вне многоугольника (рис.
44). Эта односвязная область содержит бесконечно далекую точку z = ∞. Сумма40]Случай внешности многоугольника193углов, содержащихся в B, равнаπ(n+2), и, обозначая эти углы попрежнему через αk π, получим соотношениеα1 + α2 + . . . + αn = n + 2. (55)Пусть z = f (τ ) — функция, совершающая конформное преобразование единичного круга |τ | < 1 наB, причем мы считаем, что точке τ = 0 соответствует z = ∞,из чего следует, что ω = 0 естьполюс f (τ ) первого порядка.
Проводя рассуждения, аналогичныерассуждениям из [38], получимτz = f (τ ) = AРис. 44.(τ − a1 )α1 −1 (τ − a2 )α2 −1 . . . (τ − an )αn −1dτ+ B, (56)τ2τ0где ak — точки окружности |τ | = 1, соответствующие вершинам ломаной линии.Заменяя τ на 1/τ , мы получим, принимая во внимание (55),формулу того же вида, что и формула (56), для конформного преобразования области |τ | > 1 на многоугольник.Сделаем одно замечание по поводу формулы (56), считая, чтоона дает преобразования области |τ | > 1 на многоугольник.
Разлагая подынтегральную функцию вблизи τ = ∞, получим, принимаяво внимание (55),1−(α1 − 1)a1 + (α2 − 1)a2 + . . . + (αn − 1)anc2+ 2 + ...ττ(57)Коэффициент при τ1 должен обращаться в нуль, ибо в противном случае точка τ = ∞ была бы точкой ветвления бесконечногопорядка. Это приводит к следующему соотношению:(α1 − 1)a1 + (α2 − 1)a2 + . . . + (αn − 1)an = 0.(58)194Гл. II. Конформное преобразование и плоское поле[41Если предположить, что формула (56) дает преобразование круга|τ | < 1 на многоугольник, то, строя разложение подынтегральнойфункции в начале, придем к соотношению(α1 − 1)111+ (α2 − 1) + . .
. + (αn − 1) = 0.a1a2an(59)Оно совпадает с (58), ибо по условию |ak | = 1, и, следовательно,= ak , а числа αk вещественны (и положительны).a−1kРассмотрим в качестве примера преобразование |τ | < 1 на частьплоскости, находящуюся вне квадрата. В силу его симметрии точкиak (k = 1, 2, 3, 4) делят окружность на равные части, и мы можемсчитать, что это будут точкиa1 = 1, a2 = i, a3 = −1, a4 = −i.(60)Для углов имеем3π,2(61)τ dττ 4 − 1 2 + B.z=Aτ(62)α1 = α2 = α3 = α4 =так что окончательноτ0Значение постоянных A и B зависит от длины сторон квадрата иего расположения на плоскости.41. Минимальное свойство преобразования на круг. Рассмотримфункциюz = f (τ ) = τ + c2 τ 2 + .
. . ,(63)регулярную в круге |τ | < R. Она преобразует его в некоторую область B, которая может быть многолистной и может содержать точки разветвления. Круг|τ | < R1 , где 0 < R1 < R, переходит в некоторую область B1 . Площадь еевыражается, как мы знаем [31], интеграломS1 =|f (τ )|2 ds.(64)|τ |R141]Минимальное свойство преобразования на круг195Мы можем написать этот интеграл в следующем виде:S1 =R12π(1 + 2c2 reiϕ + 3c3 r 2 ei2ϕ + . . .)(1 + 2c2 re−iϕ + 3c3 r 2 e−i2ϕ + . .
.)r dr dϕ.00Ввиду абсолютной и равномерной сходимости ряда в круге |τ | < R1 мы можем перемножить наши два ряда почленно и интегрировать их также почленно. Заметим при этом, что при интегрировании функции вида eikϕ , где k —целое число, отличное от нуля, по промежутку (0, 2π) мы получаем нуль. Следовательно, при перемножении рядов в предыдущей формуле нам достаточносохранить лишь члены, не содержащие множителей вида eikϕ , и интегрирование по ϕ сведется просто к умножению на 2π.
Таким образом получимS1 = 2πR1(1 + 22 |c2 |2 r 2 + . . . + n2 |cn |2 r 2n−2 + . . .)r dr(65)0илиS1 = πR21 + π∞n|cn |2 R2n1 .(66)n=2При стремлении R1 к R последняя сумма будет, увеличиваясь, стремиться или к конечному пределу или к бесконечности. Но во всяком случае этотпредел, который дает нам площадь всей области B, будет больше числа πR2 ,равного площади исходного круга |τ | < R, если в разложении (65) хоть одиниз коэффициентов ck отличен от нуля. Мы получаем таким образом следующий результат: при преобразовании круга |τ | < R функцией (65), регулярнойвнутри этого круга, площадь области увеличивается, если хоть один из коэффициентов ck отличен от нуля.Установив эту предварительную теорему, мы перейдем теперь к выяснению одного важного свойства функции, совершающей конформное преобразование.
Пусть B — некоторая односвязная ограниченная область плоскости z,причем, не ограничивая общности, мы будем считать, что начало z = 0 находится внутри этой области. Пусть, далее, F1 (z) — функция, совершающая конформное преобразование B в единичный круг, причем начало z = 0 переходитв центр круга. Эта функция будет иметь в окрестности z = 0 разложение видаF1 (z) = d1 z + d2 z 2 + . . . ,где мы можем считать d1 > 0. Рассмотрим теперь вместо функции F1 (z) новуюфункцию1F (z) =F1 (z).d1Она будет давать преобразование B в круг |τ | < R, где R =жение вблизи z = 0 будет иметь видτ = F (z) = z + a2 z 2 + a3 z 3 + . .
.1,d1и ее разло(67)Гл. II. Конформное преобразование и плоское поле196[41Функция, обратная ей, будет регулярна внутри круга |τ | < R и будет иметьразложение формыz = f (τ ) = τ + c2 τ 2 + c3 τ 3 + . . .Двойной интеграл(68)|F (z)|2 ds,(69)Bдающий площадь круга, равен, очевидно, πR2 . Если мы вместо функции F (z)возьмем какую-нибудь другую функцию ϕ(z), регулярную внутри B и имеющую в окрестности z = 0 разложение вида (67), то, подставляя вместо zразложение (68), получим в результате некоторую функцию от τ , регулярнуювнутри круга |τ | < R и имеющую там разложение:ϕ(z) = ϕ[f (τ )] = τ + e2 τ 2 + e3 τ 3 + . . . = f1 (τ ).(70)Вычислим двойной интеграл (69) для этой новой функции ϕ(z). Переходя на плоскость τ и принимая во внимание выражение элемента площади наплоскости τ через элемент площади на плоскости z [31]:dsz = |f (τ )|2 dsτ ,найдемB|ϕ (z)|2 dsz =|τ |<R|ϕ (z) · f (τ )|2 dsτ =|f1 (τ )|2 dsτ ,|τ |<Rи, согласно доказанному выше предложению, величина этого интеграла будет больше πR2 , если в разложении (70) хоть один из коэффициентов ek будет отличным от нуля.
Если же все эти коэффициенты равны нулю, т. е. еслиϕ(z) = τ , то, очевидно, ϕ(z) = F (z). Приходим, таким образом, к следующейтеореме:Т е о р е м а. Среди всех функций, регулярных внутри B и имеющих вблизиz = 0 разложение вида (67), функция, конформно преобразующая B в круг сцентром в начале, дает интегралу (69) наименьшее значение.Можно использовать эту теорему для построения приближенного выражения функции F (z), преобразующей B в круг, в виде полинома. Итак, будемсчитать, что F (z) представляется приближенно полиномом степени n:F (z) = z + a2 z 2 + .
. . + an z n ,(71)и определим коэффициенты этого полинома ak из того условия, что полином (71), среди всех полиномов такого же вида минимизирует интеграл (69),т. е. дает этому интегралу наименьшее значение. Построим произвольныйполиномω(z) = b2 z 2 + b3 z 3 + . . . + bn z nи построим затем новый полином, имеющий ту же форму (71), что и полиномF (z):Φ(z) = F (z) + εω(z),41]Минимальное свойство преобразования на круг197где ε — некоторый параметр, который мы будем считать вещественным. Составим интеграл (69) для нашего нового полинома[F (z) + εω (z)][F (z) + εω (z)]ds.BЭта функция от ε должна иметь минимум при ε = 0. Приравнивая нулю еепроизводную по ε при ε = 0, мы получаем следующее условие:[F (z)ω (z) + F (z)ω (z)]ds = 0,(721 )Bкоторое должно иметь место при любом выборе полинома ω(z).Совершенно так же заменяя ε на iε, где ε — вещественно, получим вместо(721 ) условие[F (z)ω (z) − F (z)ω (z)]ds = 0.(722 )BСкладывая, получим условиеF (z)ω (z)ds = 0.BПринимая последовательно ω(z) равнымω(z) = z 2 , z 3 , .
. . , z nи вводя обозначениеpik =z i z k ds,(73)Bмы будем иметь для искомых коэффициентов ak полинома (71) следующуюсистему уравнений первой степени:⎫p10 + 2p11 a2 + 3p12 a3 + . . . + np1, n−1 an = 0,⎪⎪⎪p20 + 2p21 a2 + 3p22 a3 + . . . + np2, n−1 an = 0,⎬(74). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .⎪⎪⎪⎭pn−1,0 + 2pn−1,1 a2 + 3pn−1,2 a3 + . .
. + npn−1, n−1 an = 0.Таким образом, в существенном дело сводится к вычислению интеграловвида (73).Если контур области есть простая замкнутая, сама себя не пересекающаякривая, то можно доказать, что построенные таким образом полиномы стремятся при n → ∞ равномерно внутри B к функции, отображающей B на круг.Сделаем в заключение одно замечание по поводу первой из доказанных внастоящем номере теорем. Функция (65) может преобразовывать круг |τ | < Rв область B, чрезвычайно сложную по своим геометрическим свойствам как вотношении многолистности, так и в отношении вида контура. Такая область,Гл.
II. Конформное преобразование и плоское поле198[42как можно показать, может даже не иметь площади в обычном смысле этого слова, и то, что мы называли выше площадью области, надо понимать какпредел площадей областей B1 , находящихся внутри B и расширяющихся такимобразом, что всякая точка B попадает внутрь этих областей так, что эти области B1 стремятся к B как к пределу. Если B имеет площадь в обычном смыслеслова, то эта площадь совпадает, очевидно, с указанным выше пределом.42.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
