1610915348-99a8a2e15f9c5b33e840849c87014c18 (824742), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Положим, что нам задан наплоскости простой замкнутый контур l, и мы ищем течение жидкости вне этого контура, которое бы удовлетворяло следующим двумусловиям: 1) контур l должен быть одной из линий тока и 2) скорость на бесконечности должна быть определенной по величине инаправлению. Будем, кроме того, требовать, чтобы комплексныйпотенциал f (z) был однозначной функцией. Не ограничивая общности, можем считать, что скорость на бесконечности характеризуется некоторым вещественным положительным числом c (т. е.выберем направление скорости на бесконечности за положительноенаправление вещественной оси).Положим, что известна функция, конформно преобразующаячасть плоскости z, находящуюся вне l, на внешность единичногокруга |τ | > 1.
Таких функций, как известно, бесчисленное множество, и мы берем ту из них, которая преобразует бесконечно далекую точку в самое себя и не меняет направлений в этой точке. Для2 Можно считать, что этот отрезок проходится сначала в направлении от −∞к −1 (по переменной x), а затем в обратном направлении.210Гл. II. Конформное преобразование и плоское поле[45этой функции ω (∞) есть вещественное положительное число, такчто имеем следующее ее разложение вблизи точки z = ∞:τ = ω(z) = bz + b0 +b1+ . . .
(b > 0).z(101)Как нам уже известно, выражение комплексного потенциаладля задачи обтекания окружности представляется так:1kf1 (τ ) =τ+,(102)2τгде k — некоторая вещественная постоянная, которую мы дальшеопределим. Если подставим в выражение (102) вместо τ его выражение (101), то получим функцию однозначную, регулярную внеконтура l, мнимая часть которой сохраняет постоянное значениена контуре l, так как мнимая часть (102) сохраняла постоянноезначение на окружности |τ | = 1:1kf (z) = f1 [ω(z)] =ω(z) +.(103)2ω(z)Остается теперь только подобрать постоянную k так, чтобы скорость на бесконечности была равна c, т. е. так, чтобы f (∞) = c. Мыимеем, очевидно, на бесконечности, принимая во внимание формулы (101) и (102),1kkf (z) =1− 2ω (z) и f (∞) = · b,2ω (z)2откуда и следует непосредственно, что мы должны считать k =2c/b.Мы видим, таким образом, что задача полного обтекания некоторого контура приводит к задаче конформного преобразованиичасти плоскости вне этого контура на внешность единичногокруга.Можно показать, что при условии однозначности функции f (z)решение задачи единственно, причем предполагается, что f (z) внеl не имеет особых точек, кроме простого полюса z = ∞.46]Формула Н.
Е. Жуковского21146. Формула Н. Е. Жуковского. Пусть f (z) — комплексныйпотенциал, который дает обтекание контура l, причем на бесконечности скорость равна положительному числу c. Будем считать, чтоf (z) не является однозначной функцией, но при обходе вокруг контура l вещественная ее часть ϕ(x, y) получает постоянное слагаемоеγ.
Составляющие давления на обтекаемое тело будут выражаться,очевидно, криволинейными интеграламиFx = p(x, y) cos(n, x)ds, Fy = p(x, y) cos(n, y)ds,(104)llгде p(x, y) — величина давления и n — направление внутренней нормали к контуру.Элементу контура ds, как вектору, соответствует комплексноечисло dz = eiθ ds, где θ — угол, образованный касательной к контурус осью OX. Поскольку умножению комплексного числа на i соответствует добавление к аргументу π/2, комплексному числу ieiθ dsсоответствует вектор величины ds, направленный по внутреннейнормали к l, мы будем, очевидно, иметьFx + iFy = pi dz.(105)lСогласно формуле (97)1p = C − |f (z)|2 = C −2и поэтомуFx + iFy = i1Cdz − i2lНо ясно, чтоdz = 0,l 2 df dz. dz l 21 df ,2 dz 212Гл.
II. Конформное преобразование и плоское поле[46и, кроме того, удобно перейти в предыдущем равенстве к комплексным сопряженным значениям, после чего получим 2 df df dfdf111· dz = iFx − iFy = i dz = idf .(106)2dz2dz dz2dzlllТак как контур l есть линия тока, то на нем ψ(x, y) постоянна:ψ(x, y) = C1 , и, следовательно, на lf (z) = ϕ(x, y) + iC1 , f (z) = ϕ(x, y) − iC1 ,откуда следует, что df = df . Умножив обе части (106) на i, получим комплексное выражение, которое будет вполне характеризовать вектор общего давления, испытываемого обтекаемым телом:df1dfR = Fy + iFx = −2dzlили окончательноR = Fy + iFx = −12 dfdz2dz.(107)lФункцию f (z) мы считаем уже регулярной и однозначной внеl. В окрестности бесконечности она должна иметь разложениевидаb2b1++ ...,(108)zz2где c есть как раз заданное значение скорости на бесконечности.Для самой функции f (z) мы имеем в окрестности бесконечностивыражениеf (z) = c +b2+ ...,zи при обходе вокруг l в положительном направлении функцияf (z) будет, очевидно, приобретать слагаемое i2πb1 , которое раньше было обозначено буквой γ.
Таким образом, мы должны иметьf (z) = C + cz + b1 ln z −47]Плоская электростатическая задача213b1 = 1/(2πi)γ и вместо (108) можем написатьf (z) = c +b2γ++ ...2πiz z 2Отсюда, возводя в квадрат, получим разложение вида[f (z)]2 = c2 +d2cγ+ 2 + ...πizz(109)При вычислении интеграла (106) мы можем в силу теоремы Коши производить интегрирование не по самому контуру l, а по замкнутой кривой, обходящей вокруг l и расположенной в окрестности бесконечно далекой точки. При этом интегрировании мы можемвоспользоваться разложением (109) и, как нетрудно видеть, получим для R следующее выражение:R = Fy + iFx = −cγ2πi = −cγ,2πiт.
е.Fy = −cγ,Fx = 0.(110)Эти формулы были впервые даны Н. Е. Жуковским.47. Плоская электростатическая задача. Обратимся теперьк вопросу о приложении теории функций комплексного переменного к задачам электростатики. Мы здесь встретимся во многом сзадачами, аналогичными предыдущим. Прежде всего выясним, вчем состоит плоская электростатическая задача. Как известно, точечный заряд e создает в пространстве силовое поле, действующеепо закону Кулона, причем интенсивность этого поля выражаетсяобщеизвестной формулойf=e,ρ2где ρ — расстояние от заряда e до той точки M , где мы определяем вектор силы.
Этот вектор силы имеет направление отрезка,идущего от заряда к точке M . Представим теперь себе, что мыимеем заряженную прямую, параллельную оси Z и пересекающую214Гл. II. Конформное преобразование и плоское поле[47плоскость XY в некоторой точке O, причем плотность заряда вовсех точках прямой одинакова. Обозначим через e величину заряда, рассчитанного на единицу длины.
Картина электростатическогополя будет одинакова, очевидно, во всех плоскостях, параллельныхплоскости XY , так что достаточно рассмотреть лишь саму плоскость XY , причем, опять-таки в силу симметрии, вектор силы будет, очевидно, расположен в самой этой плоскости и будет иметьнаправление отрезка, идущего от точки O к той точке M плоскости, для которой мы вычисляем силу. Элементарный заряд наотрезке dz нашей прямой будет выражаться произведением e · dz ичтобы получить величину силы в точке M с координатами (x, y, 0),мы должны вычислить сумму проекций составляющих силы на направление OM вышеупомянутого отрезка.Для величины силы имеем выражениеedz,x2 + y 2 + z 2где точку O мы приняли за начало координат.
Предыдущее выражение надо еще помножить на косинус угла ϕ, образованногонаправлением N M из переменной точки N оси Z с направлениемOM , причем из прямоугольного треугольника ON M имеемrcos ϕ = и z = r tg ϕ,2x + y2 + z 2где r = x2 + y 2 . Вводя в интеграл+∞−∞e cos ϕ dzx2 + y 2 + z 2вместо z переменную ϕ, получим для величины силы выражениеef=rилиf=2erπ/2cos ϕ dϕ−π/2(r =x2 + y 2 ).(111)47]Плоская электростатическая задача215Соответствующая потенциальная функция имеет, очевидно, видr0,(112)rгде r0 — некоторая произвольная постоянная, которую считаем положительной.
Таким образом, логарифмический потенциал (112)является в электростатической задаче элементарным потенциалом,происходящим как бы от точечного заряда, если мы отвлечемся отвсего пространства и будем рассматривать только плоскость XY .Заметим, что этот элементарный потенциал (112) обращается набесконечности не в нуль, как обычный ньютоновский потенциалтрехмерного пространства 1/r, а в бесконечность, что существенным образом отличает электростатические задачи в плоском случае.
Если мы имеем заряженной не одну прямую, а некоторый цилиндр, имеющий основание B на плоскости XY , то вместо элементарного потенциала (112) будем иметь потенциал, выражающийсядвойным интеграломr0V (x, y) = 2(113)ρ(ξ, η) ln dξ dη,rV (x, y) = 2e lnBгде ρ(ξ, η) — плотность и r — расстояние от переменной точки (ξ, η)области B до точки M (x, y):r = (ξ − x)2 + (η − y)2 .Аналогично, если заряженной оказывается поверхность некоторого цилиндра, то потенциал выразится криволинейным интегралом.
Известно, далее, что функция ln r и, следовательно, функция(112) удовлетворяют уравнению Лапласа [II, 131]∂2V∂2V+= 0.2∂x∂y 2Такому же уравнению удовлетворяет и потенциал (113) вне зарядов, т. е. вне области B.Но мы можем считать всякую гармоническую функцию вещественной или мнимой частью регулярной функции комплексного216Гл.
II. Конформное преобразование и плоское поле[47переменного. В данном случае будем считать потенциал V (x, y)мнимой частью некоторой регулярной функцииf (z) = U (x, y) + iV (x, y).(114)Таким образом, всякая электростатическая картина вне зарядов приводит нас к некоторой регулярной функции f (z) (комплексному потенциалу), и наоборот, всякая такая регулярная функциядает некоторую электростатическую картину плоского поля.В данном случае оба семейства изотермической сетки функцииU (x, y) = C1 , V (x, y) = C2(115)имеют простое физическое значение. Второе из семейств (115) даетсемейство эквипотенциальных линий, а первое семейство, ортогональное ко второму, дает, как хорошо известно, семейство силовыхлиний, т.
е. таких линий, касательные к которым определяют в каждой точке направление действующей силы. Составляющие векторасилы имеют следующие выражения:Fx = −∂V (x, y),∂xFy = −∂V (x, y)∂yили в силу уравнений Коши—РиманаFx = −∂V,∂xFy = −∂U.∂xТаким образом, вектору силы соответствует комплексное числоFx + iFy = −∂U∂V−i= −if (z).∂x∂x(116)Если мы имеем замкнутый ограниченный проводник, то внутри него, как известно, потенциал сохраняет постоянное значение, иплотность заряда на его поверхности вычисляется, как это доказывается в электростатике, с точностью до знака по формулеρ=1 2Fx + Fy24π48]Формула Шварца217или при помощи комплексного потенциала по формулеρ=1 |f (z)|.4π(117)Нетрудно подметить аналогию между всеми этими понятиямии соответствующими понятиями в задаче плоской гидродинамики.48.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
