1610915348-99a8a2e15f9c5b33e840849c87014c18 (824742), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Покажем, чтовторая из функций (122) имеет внутри контура столько же корней,сколько и первая. Для этого рассмотрим аргумент этой функциина контуре, причем будем помнить, что на этом контуре f (z) = 0:ϕ(z)arg[f (z) + ϕ(z)] = arg f (z) + arg 1 +.f (z)Для доказательства нашего утверждения достаточно показать, чтопри обходе контура l изменение аргументаϕ(z)arg 1 +(123)f (z)будет равно нулю. Согласно условию (121), на контуре l дробьϕ(z)/f (z) будет по модулю меньше единицы, и, следовательно, приобходе контура l переменная точкаz = 1 +ϕ(z)f (z)будет все время заключаться внутри окружности C с центром вточке z = 1 и радиусом единица. Эта переменная точка опишет116Гл.
I. Основы теории функций комплексного переменного[22некоторую замкнутую кривую, находящуюся внутри окружностиC и не обходящую, очевидно, вокруг начала координат. Мы видимтаким образом, что, действительно, изменение аргумента выражения (123) будет равно нулю.Т е о р е м а Р у ш е. Если f (z) регулярна в замкнутой областис контуром l и ϕ(z) также регулярна замкнутой области и наконтуре l удовлетворяет условию (121), то функции f (z) и f (z) +ϕ(z) имеют внутри области одинаковое число корней.Заметим, что из этой теоремы Руше непосредственно вытекаетосновная теорема алгебры о том, что всякий полином степени na 0 + a 1 z + . .
. + an z n(a0 = 0)(124)имеет на плоскости ровно n корней. Действительно, положим в данном случае f (z) = an z n и ϕ(z) = a0 + a1 z + . . . + an−1 z n−1 . Навсякой окружности с центром в начале и с достаточно большим радиусом мы будем иметь, очевидно, |ϕ(z)| < |f (z)|, так как степеньполинома ϕ(z) ниже степени полинома f (z). В силу теоремы Рушеполином (124) будет иметь внутри такой окружности столько жекорней, сколько их имеется у полинома f (z) = an z n , а последнийполином имеет в начале z = 0корень кратности n.Укажем еще на одно следствие теоремы Коши, котороеиграет важную роль в теории конформного преобразования. Положим, что функцияw = f (z)Рис.
20.(125)регулярна в замкнутой области и при обходе точкой z контура lточка w описывает простой замкнутый контур l1 , который не пересекает сам себя (рис. 20). Покажем, что при таком условии функция(125) преобразует исходную область B в область B1 , ограниченнуюконтуром l1 . Возьмем некоторую точку w1 внутри контура l1 и некоторую точку w2 вне контура l1 .
Нам надо показать, что функцияF1 (z) = f (z) − w122]Теоремы о числе корней117имеет внутри области B один корень, а функцияF2 (z) = f (z) − w2ни одного корня. При обходе точкой z контура l разности f (z) −w1 = w − w1 будет соответствовать вектор, идущий из точки w1 впеременную точку w контура l1 . При этом мыслимы два случая:или точка w описывает контур l1 против часовой стрелки, или этотобход совершается по часовой стрелке, причем точку z мы заставляем описывать контур l в положительном направлении, т.
е. противчасовой стрелки. В первом случае изменение аргумента функцииF1 (z) будет, очевидно, равно 2π, и, следовательно, эта функция будет действительно иметь один корень внутри l. Во втором случаемы получили бы для изменения аргумента функции F1 (z) отрицательное число (−2π), и вышло бы, что функция F1 (z) имеет внутриобласти минус один корень, что нелепо, ибо число корней должнобыть равно нулю или целому положительному числу. Таким образом, второй случай встретиться не может, и при положительномобходе точкой z контура l и соответствующая точка w должна описывать l1 тоже в положительном направлении. Обращаемся теперьк функции F2 (z). Соответствующий вектор, идущий из w2 в переменную точку w контура l1 , при обходе этого контура не получитникакого приращения аргумента, и, следовательно, действительнофункция F2 (z) не будет иметь корней внутри l.
Мы приходим, таким образом, к следующей теореме: если f (z) регулярна в замкнутой области B с контуром l и преобразует l в простой замкнутыйконтур l1 , который не пересекает сам себя, то при положительномобходе контура l контур l1 также обходится в положительном направлении, и функция f (z) преобразует область B в часть плоскости, ограниченную контуром l1 .Мы получили теорему Коши, рассматривая интеграл, стоящийв левой части формулы (120), в предположении, что f (z) регулярнав замкнутой области и на контуре отлична от нуля. Предположимтеперь, что f (z) имеет внутри области конечное число полюсов, ав остальном регулярна и на контуре регулярна и отлична от нуля.При этом, как мы видели, подынтегральная функция будет иметьвнутри области простые полюсы в корнях функции f (z) с вычетом,равным кратности корня, и в полюсах функции f (z) — с вычетом,118Гл.
I. Основы теории функций комплексного переменного[22равным минус кратность полюса. Применяя к интегралу основнуютеорему о вычетах, будем иметь в рассматриваемом случае вместоформулы (120) 1f (z)dz = m − n,(126)2πif (z)lгде m — общее число корней и n — общее число полюсов нашейфункции внутри области. Положим, что корни находятся в точках b1 , .
. . , bm , а полюсы — в точках c1 , c2 , . . . , cn , причем кратные корни и полюсы считаются несколько раз. Нетрудно доказать,пользуясь основной теоремой вычетов, следующую формулу:1f (z)dz = (b1 + b2 + . . . + bm ) − (c1 + c2 + . . . + cn ), (127)z2πif (z)lт. е. интеграл, стоящий слева, выражает разность между суммойкоординат корней и суммой координат полюсов. Действительно, например, в случае корня b кратности k мы имеем вблизи этой точкиразложениеf (z)kz= [b + (z − b)]+ a0 + a1 (z − b) + . .
. ,f (z)z−bоткуда непосредственно следует, что вычет в этой точке равен kb.Аналогично рассуждение и для полюса.Сделаем в заключение некоторое добавление к предыдущей теореме о конформном преобразовании области в область. Пусть намизвестно, что f (z) имеет внутри области B один простой полюс,т. е. в формуле (126) n = 1, и что f (z) переводит контур l в простойзамкнутый контур, не пересекающий сам себя, но положительномуобходу контура l соответствует отрицательный обход по контуруl1 . Обратимся вновь к рассмотрению функций F1 (z) и F2 (z). Обеони имеют внутри области тот же простой полюс, что и f (z). Дляпервой из них изменение аргумента, выраженное в долях 2π, будет равно минус единице, но, с другой стороны, согласно формуле(126), это изменение аргумента должно давать разность между числом корней и числом полюсов, причем по условию функция имеетодин полюс.
Отсюда непосредственно следует, что функция F1 (z)23]Обращение степенного ряда119не имеет ни одного корня. Наоборот, изменение аргумента функции F2 (z) при обходе точкой z контура l будет равно нулю, т. е.разность числа корней и полюсов у этой функции будет равна нулю. Но эта функция имеет один полюс, а следовательно, она имеети один корень. Таким образом, в рассматриваемом случае функцияf (z) преобразует часть плоскости, находящуюся внутри контура l,в часть плоскости, находящуюся вне контура l1 , причем полюс f (z)переходит в бесконечно далекую точку.23.
Обращение степенного ряда. Мы применим сейчас теорему Руше для исследования функции, обратной степенному рядуw = a0 + a1 (z − b) + a2 (z − b)2 + . . . = F (z).(128)Будем сначала считать, что коэффициент a1 отличен от нуля,т. е. что F (b) = 0. При значениях z, близких к b, мы будем получать значения w, близкие к a0 . Покажем, что в рассматриваемом случае некоторая окрестность точки b перейдет в однолистнуюокрестность точки a0 , содержащую эту точку внутри себя.
Из этого,между прочим, будет непосредственно следовать, что функция, обратная (128), будет однозначной и регулярной в окрестности точкиa0 и будет, следовательно, разлагаться в ряд Тейлора по степеням(w − a0 ).Функцияf (z) = a1 (z − b) + a2 (z − b)2 + . . .имеет в точке b простой корень и в некоторой окрестности этойточки наверно отлична от нуля [18]. Пусть K — такой круг с центром b, в котором функция f (z) регулярна и имеет единственныйкорень z = b. На окружности C этого круга |f (z)| в нуль не обращается, и существует такое положительное число m, что на этойокружности |f (z)| > m.
Пусть далее K1 есть круг на плоскости wс центром a0 и радиусом ρ, меньшим числа m. Возьмем некоторуюфиксированную точку w0 , принадлежащую этому кругу.Мы имеем, следовательно, |a0 −w0 | ρ < m, т. е. на окружностиC круга K имеем |a0 − w0 | < |f (z)|, так как |f (z)| > m на C.Согласно теореме Руше, функцияa0 − w0 + f (z) = a0 + f (z) − w0 = F (z) − w0Гл. I. Основы теории функций комплексного переменного120[23имеет внутри круга K столько же корней, что и функция f (z), т. е.один корень. Иначе говоря, значения w = F (z) покроют однолистно круг K1 , когда z меняется в некоторой окрестности точки z = b,т.
е. однолистному кругу K1 плоскости w будет соответствовать наплоскости некоторая, вообще говоря, не круговая окрестность точки z = b (содержащая точку z = b внутри себя). Наше утверждение, таким образом, доказано, т. е. если в ряде (128) коэффициентa1 = 0, то окрестность точки z = b переходит в однолистнуюокрестность w = a0 , и обращение ряда (128) при w, близких кw = a0 , имеет видz =b+∞cn (w − a0 )n .(129)n=1Перейдем теперь к рассмотрению того случая, когда в ряде (128)несколько первых коэффициентов обращаются в нуль:w − a0 = am (z − b)m + am+1 (z − b)m+1 ++ am+2 (z − b)m+2 + .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
