1610915348-99a8a2e15f9c5b33e840849c87014c18 (824742), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Мы надеемся все же, чточитатель составил себе представление об основных идеях аналитического продолжения. Надо заметить, что изложенное выше имеетлишь теоретический характер и не дает никаких указаний на практическую возможность аналитического продолжения.Упомянем еще об одном принципе теории функций, тесно связанном с аналитическим продолжением и называемом обычнопринципом перманентности. Положим, что исходный элемент аналитической функции f1 (z) удовлетворяет некоторому уравнению,например дифференциальному уравнению второго порядка:p0 (z)d2 f (z)df (z)+ p2 (z)f (z) = 0,+ p1 (z)dz 2dz(94)коэффициенты которого pk (z) суть данные полиномы от z. При ана-92Гл.
I. Основы теории функций комплексного переменного[18литическом продолжении f1 (z) производные f1 (z) и f1 (z), а такжеи вся левая часть нашего уравнения испытывают аналитическоепродолжение. Следовательно, если эта левая часть была равна нулю в исходной области, то она будет равной нулю и при аналитическом продолжении, т. е., иначе говоря, если исходный элементаналитической функции удовлетворяет уравнению (94), то этомууравнению будет удовлетворять и вся аналитическая функция, получаемая из исходного элемента путем аналитического продолжения.Обратимся теперь к некоторому конкретному способу аналитического продолжения, а именно будем пользоваться лишь круговыми областями и разложением Тейлора в таких областях (рис.
15).Пусть начальный элемент функции задан некоторым рядом Тейлора с центром b1 :f1 (z) =∞(1)ak (z − b1 )k .(95)k=0Проведем из точки b1 некоторый контур l и будем аналитически продолжать нашу функциювдоль этого контура. Для этогобудем поступать следующим образом: возьмем на нашей кривойРис. 15.l некоторую точку b2 такую, чтобы дуга b1 b2 лежала внутри круга K1 сходимости ряда (95).
Поль(n)зуясь этим рядом, мы можем вычислить производные f1 (b2 ) инаписать разложение нашей функции с центром b2 :f2 (z) =∞k=0(2)ak (z − b2 )k =∞(k)f (b2 )1k=0k!(z − b2 )k .(96)Эта новая функция будет определена в некотором круге K2 сцентром b2 . Если этот круг будет выходить за круг K1 , то функция(96) даст аналитическое продолжение f1 (z).
В точке b2 значенияфункций f1 (z) и f2 (z) и всех их производных будут совпадать, и18]Аналитическое продолжение93эти функции будут совпадать в той круговой луночке, по которойнаши круги перекрываются. Заметим, что мы можем получить ряд(96) из ряда (95) следующим образом. Перепишем ряд (95) в виде∞(1)ak [(z − b2 ) + (b2 − b1 )]k .(97)k=0Разлагая [(z − b2 ) + (b2 − b1 )]k по биному Ньютона и собирая всумме (97) члены с одинаковыми степенями (z − b2 ), получим ряд(96).Совершив первое аналитическое продолжение, переходим к следующему. Для этого выбираем на кривой l новую точку b3 такую,чтобы дуга b2 b3 принадлежала кругу K2 . Ряд (96) мы можем, каки выше, перестроить по степеням (z − b3 ) и получим новый элементфункции∞(3)f3 (z) =ak (z − b3 )k ,k=0определенный в некотором круге K3 с центром b3 и т.
д.Отметим, что аналитическое продолжение можно совершать ичерез полюс f (z), а также через точку z = ∞, если эта точка естьточка регулярности или полюс аналитически продолжимой функции. В качестве простого примера рассмотрим аналитическое продолжение при помощи ряда Тейлора функции1= 1 + z + z2 + . .
.1−z(98)Ряд сходится и определяет регулярную функцию лишь в круге|z| < 1. Но его сумма 1/(1−z) есть регулярная функция на всей расширенной плоскости, кроме точки z = 1 (полюс), и, следовательно,мы можем аналитически продолжить ряд (98) при помощи рядаТейлора на всю плоскость.
Если мы возьмем внутри круга |z| < 1некоторую точку b2 и перестроим ряд (98) по степеням (z − b2 ), тополучим новый ряд вида∞k=01(z − b2 )k .(1 − b2 )k+194Гл. I. Основы теории функций комплексного переменного[19Этот ряд будет сходиться в круге с центром b2 и радиусом, равным расстоянию от этой точки до точки z = 1. Если точка b2не лежит на отрезке вещественной оси (0, 1), то этот новый кругвыйдет за старый, и мы получим аналитическое продолжение, которое затем можем продолжать и дальше. Практически в данномслучае, конечно, не надо применять аналитического продолженияряда (98), а естественно пользоваться выражением функции в конечном виде 1/(1 − z).
Но если функция задана только степеннымрядом, и никакого другого выражения для нее не известно, то намостается лишь путь аналитического продолжения. В этом направлении было много работ, посвященных вопросу о возможно болеепростом практическом осуществлении аналитического продолжения. В дальнейшем мы дадим один из таких практических способовдля одного частного случая.
Сейчас перейдем к выяснению аналитического продолжения на примерах элементарных многозначныхфункций.19. Примеры многозначных функций. Рассмотрим функциюz = w2(99)и положим, что переменная w меняется в верхней полуплоскости,т. е. в той части плоскости, где коэффициент мнимой части положителен (над вещественной осью), так что arg w изменяется от 0до π. При возведении в квадрат модуль |w| будет возводиться вквадрат, а аргумент умножаться на два, и, следовательно, значения z заполнят уже всю плоскость, причем как положительная, таки отрицательная части вещественной оси плоскости w перейдут наплоскости z в положительную часть вещественной оси.
Мы видим,таким образом, что в результате преобразования (99) верхняя частьплоскости w перейдет во всю плоскость z с разрезом, проведеннымвдоль положительной части вещественной оси от 0 до +∞. Обозначим плоскость с таким разрезом через T1 . Мы можем, наоборот,считать, что w — однозначная функция от z в области T1 :√(100)w = z,причем мы должны брать то значение радикала, для которого19]Примеры многозначных функций95√коэффициент мнимой части z положителен.
Вещественные положительные значения z будут находиться как на верхнем, таки на √нижнем берегу нашего разреза. На верхнем берегу функцию z надо брать положительной, а на нижнем берегу — отрицательной.Будем теперь считать, что w меняется в нижней полуплоскости.Возводя его в квадрат, получим, как нетрудно видеть, для z второй экземпляр той же самой прежней области T1 .
Обозначим егочерез T2 . В этой новой области T2 функция (100) опять будет регулярной и однозначной, причем√ радикал надо брать таким, чтобыкоэффициент мнимой части у z был отрицательным.Из предыдущих рассуждений непосредственно следует также,что значения функции (100) на верхнем берегу разреза в области T1совпадают со значениями этой функции на нижнем берегу разрезаобласти T2 и наоборот.Таким образом, проводя разрез от 0 к +∞, мы получаем область, где функция (100) однозначна, но для того чтобы иметь всезначения этой функции, надо считать ее за две различные функции, определенные в областях T1 и T2 так, как это мы делали выше.
Такое разбиение функции (100) на две отдельные однозначныефункции представляется искусственным, и мы свяжем сейчас этидве функции в единую аналитическую функцию, однозначную ирегулярную на некоторой двулистной плоскости. Для того чтобысоздать эту двулистную плоскость T , наложим экземпляр T1 на экземпляр T2 и соединим мысленно берега разрезов этих двух экземпляров крест-накрест, а именно: верхний берег разреза на T1 соединим с нижним на T2 и наоборот. Точки z = 0 и z = ∞ будем считатьсовпадающими на обоих экземплярах плоскости.
Это соответствует тому факту, что функция (99) имеет значение z = 0 только приw = 0 и значение z = ∞ только при w = ∞ (w = ∞ есть полюс этойфункции). Всякое другое значениеz = a (a = 0 и ∞) получается√при двух значениях w = ± z. Построенная вышеуказанным образом двулистная область T получается, очевидно, из расширеннойплоскости z при помощи преобразования (99), причем, как указановыше, точки z = 0 и z = ∞ на двулистной плоскости T отождествляются, т. е. считается, что два листа T «скреплены» в этих точках. Применяя правило дифференцирования обратной функции,96Гл. I. Основы теории функций комплексного переменного[19получимdz= 2w,dwdw1=,dz2wт.
е.dw1= √ ,dz2 z(101)откуда мы видим, что функция (100) регулярна на двулистной области T везде, кроме точек z = 0 и z = ∞.Выясним особую роль этих последних точек. Если мы на обычной плоскости (z) из какой-либо точки z0 , отличной от z = 0, опишем простой замкнутый контур вокруг z = 0 (например, противчасовой стрелки), так что аргумент z при возвращениив исходную√точку z0 получит приращение 2π, а аргумент z получит прира√щение π, то мы придем в точку z0 уже с другим знаком z0 .
Такойобход на плоскости (z) приведет на двулистной области T в точкуz, лежащую на другом листе.Если мы возьмем, например, на плоскости (z) окрестность|z| < ρ и произведем в этой окрестности разрез √вдоль радиуса0 z ρ, то на полученной окрестности z функция z будет однозначной, непрерывной и регулярной (кроме z = 0). Но, как видно извышесказанного, она не будет однозначной на полной окрестностибез разреза, т.
е., точнее говоря, при аналитическом продолжениипо линии, обходящей z = 0, наша функция не однозначна. Такаяточка называется обычно точкой разветвления функции. На двулистной области T это соответствует тому факту, что при обходеточки z = 0 мы попадаем на другой лист. В данном случае при вторичном обходе точки z = 0 мы возвращаемся к исходному значению√z0 на плоскости (z) и соответственно возвращаемся на исходныйлист двулистной области T .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
