1610915348-99a8a2e15f9c5b33e840849c87014c18 (824742), страница 18

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 18)

Точка z = 0 является, очевидно, точкойразветвления нашей функции (108), а именно: совершая аналитическое продолжение этой функции по замкнутому контуру вокругначала и обходя это начало n раз против часовой стрелки, мы добавим к функции (108) слагаемое 2nπi, и всякий новый обход будетнам давать новые значения функции, т.

е. в данном случае точкаz = 0 является точкой разветвления бесконечного порядка.Обратим внимание на бесконечно далекие точки плоскостей z иw. Функция (107) имеет точку w = ∞ существенно особой точкой,и она не определена в этой точке, а для функции (108) точка z = ∞есть точка разветвления бесконечного порядка. Значение z = ∞ непринадлежит области значений ew , и точка z = ∞ не принадлежитбесконечнолистной плоскости функции ln z. Совершенно аналогично предыдущему можно рассмотреть функцию ln(z − a), имеющуюточки разветвления z = a и z = ∞ бесконечного порядка.Рассмотрим еще функциюw = lnz−b= ln(z − b) − ln(z − a),z−a(110)имеющую точки разветвления z = a и z = b.

Если описать замкнутый контур, содержащий z = a и z = b внутри, то уменьшаемое ивычитаемое написанной выше разности получат одно и то же слагаемое, разность не изменится, т. е. точка z = ∞ не будет точкойразветвления функции (110). Если мы перепишем функцию (110)в видеbaw = ln 1 −− ln 1 −,zzто при |z| > ρ, где ρ — наибольшее из чисел |a| и |b|, мы можемразложить оба логарифма по формуле (80) и получимw=∞ kb − akk=1kz k.(111)104Гл.

I. Основы теории функций комплексного переменного[20Эта формула дает одну из ветвей нашей многозначной функциив окрестности z = ∞. Остальные ветви w получаются добавлениемк (111) слагаемого 2nπi, где n — любое целое число (n = 0). При любом фиксированном n мы получим другую ветвь w. Рассмотреннаяфункция будет однозначной на плоскости с прямолинейным разрезом, соединяющим точки z = a и z = b, и точка z = ∞ будет натакой плоскости регулярной точкой функции w, причем мы фиксируем в окрестности z = ∞ для w, например, разложение (111).Если образовать, пользуясь указанным выше разрезом ab, бесконечнолистную плоскость так же, как это мы делали для функцииln z, пользуясь разрезом 0 z < ∞, то на полученной бесконечнолистной плоскости функция (110) будет однозначной, к каждому листу будет принадлежать точка z = ∞, и в окрестности этойточки мы будем иметь разложение (111) с добавлением слагаемого2nπi, причем целое число n различно на различных листах.

Какуказано выше, на исходном листе мы приняли n = 0. При всякомцелом фиксированном n мы получим некоторую другую ветвь нашей функции.Рассмотрим еще функцию1i−zln,2i i + zимеющую точки разветвления z = i и z = −i бесконечного порядка.Для производной этой функции мы, как и в случае вещественногопеременного, будем иметьw = arctg z =dw1=dz1 + z2илиdw1=−.dz(i + z)(i − z)20. Особые точки аналитических функций и римановыповерхности. В предыдущем пункте мы разобрали ряд примеровмногозначных функций и построили соответствующие им римановы поверхности, на которых они однозначны. Рассмотрим соответствующие вопросы в общем случае. Мы не будем при этом за недостатком места входить в детали и ограничимся общими указаниями.20] Особые точки аналитических функций и римановы поверхности105Предварительно выясним понятие об изолированной особой точкепри аналитическом продолжении.Пусть в точке z = a задан начальный элемент аналитическойфункции f (z), который мы затем продолжаем вдоль линии l.

Положим, что аналитическое продолжение возможно до точки z = bисключительно, но не дальше, так что точка z − b является особой точкой при аналитическом продолжении вдоль l [18]. Пустьсуществует круг K с центром z = b такой, что элементы функции f (z), соответствующие точкам участка cb линии l (рис. 18),лежащего внутри K, можно аналитически продолжать вдоль любой линии, лежащей внутри Kи не проходящей через точкуz = b.

В этом случае точкаz = b называется изолированной особой точкой f (z) (соответствующей пути l). Упомянутое аналитическое продолжениепо всевозможным линиям внутриK может привести к однозначнойили многозначной функции внутри K. В первом случае полученРис. 18.ная однозначная внутри K функция будет регулярной везде внутри K, кроме z = b, будет разлагаться в ряд Лорана по целым степеням (z − b), и точка z = b будетили полюсом или существенно особой точкой нашей аналитическойфункции f (z) (при аналитическом продолжении вдоль l). Во втором случае, при многозначности получаемой внутри K функции,точка z = b называется точкой разветвления.

Положим, что привсевозможных аналитических продолжениях внутри K мы получаем в некоторой точке z = α внутри K конечное число различныхэлементов. Обозначим это число через m. Нетрудно видеть, что влюбой другой точке z = β, принадлежащей K, мы получим тожеm различных элементов. Это непосредственно следует из того, чтопри аналитическом продолжении из α в β или из β в α различныхисходных элементов по одному и тому же пути в конечной точкеполучаются различные элементы. В рассматриваемом случае точка106Гл. I. Основы теории функций комплексного переменного[20z = b называется точкой разветвления порядка (m−1).

Если числоразличных элементов, получаемых при аналитическом продолжении внутри K, в каждой точке K не конечно, то z = b называетсяточкой разветвления бесконечного порядка.Рассмотрим подробнее случай точки разветвления конечногопорядка (m − 1). По условию аналитическое продолжение внутриK выполнимо, исключая точку z = b. Такой круг K с исключенной точкой z = b есть двусвязная область. Возьмем m экземпляровкруга K и разрежем каждый из этих экземпляров вдоль одного итого же радиуса. Такой разрезанный вдоль радиуса круг K1 будет односвязной областью. Возьмем внутри каждого экземпляраK1 одну и ту же точку z = α.

Мы имеем в этой точке m элементов нашей аналитической функции. Возьмем в каждом экземплярев точке z = α определенный элемент и будем его аналитическипродолжать внутри K1 . По теореме однозначности [18] получим вкаждом экземпляре определенную однозначную функцию. Будемназывать один из берегов разреза в каждом экземпляре левым, адругой — правым. Например, назовем правым берегом такой берег,что из точек его можно попасть на левый берег, двигаясь внутриK1 и обходя z = b против часовой стрелки. Возьмем некоторыйэкземпляр круга K1 с определенной на нем однозначной функцией. Назовем этот экземпляр первым, а определенную на нем однозначную функцию обозначим через f1 (z).

Значения f1 (z) на левомберегу разреза будут совпадать со значениями нашей функции направом берегу разреза в некотором другом экземпляре K1 . Назовем этот последний экземпляр K1 вторым, а определенную на немфункцию обозначим через f2 (z). Соединим мысленно левый берегпервого экземпляра с правым берегом второго. Значения f2 (z) налевом берегу второго экземпляра будут совпадать со значенияминашей функции на правом берегу разреза в некотором другом экземпляре K1 . Назовем этот экземпляр третьим, а определенную нанем функцию обозначим через f3 (z).

Соединим мысленно левыйберег второго экземпляра с правым берегом третьего экземпляра.Продолжая так и дальше, дойдем до последнего экземпляра с номером m. Нетрудно видеть, что значения fm (z) на левом берегу этогоm-го экземпляра должны совпадать со значениями f1 (z) на правомберегу первого экземпляра. Соединим мысленно эти два берега. Та-20] Особые точки аналитических функций и римановы поверхности107ким образом мы получим m-листный круг L с точкой разветвленияz = b порядка (m − 1). Эта точка считается совпадающей на всехэкземплярах. На m-листном круге наша функция будет однозначной и регулярной везде за исключением точки z = b. Введем вместоz новую независимую переменную√√ ϕmz = z − b = m ρei m ,(112)где ρ = |z − b| и ϕ = arg(z − b), причем ϕ фиксировано определенным образом в некоторой точке L.

Точка z = b перейдет в z = 0.Общее изменение аргумента на L при обходе z = b равно 2πm, апри обходе z = 0 общее изменение аргумента будет 2π. Круг L,имеющий m листов, перейдет на √плоскости z в однолистный кругmC с центром z = 0 и радиусомR, где R есть радиус L. В этомоднолистном круге C наша функция будет однозначной и регулярной, кроме, может быть, точки z = 0. Следовательно, она будетразлагаться внутри C в ряд Лорана:f (z) =+∞an z n ,n=−∞или, если вернуться к прежней переменной:f (z) =+∞n=−∞an (+∞√nz − b)n =an (z − b) m ,m(113)n=−∞т. е. в окрестности точки разветвления порядка (m − 1) функцияразлагается по целым степеням аргумента (112).

Можно произвольным, но определенным образом фиксировать значение аргумента(112) в некоторой точке z из окрестности точки z = b. Могут представиться различные случаи в отношении разложения (113). Можетслучиться, что в этом разложении вовсе не будет членов с отрицательными значениями n:√√mmf (z) = a0 + a1 z − b + a2 ( z − b)2 + . . .При этом, очевидно, f (z) → a0 при z → b, причем z может стремиться к b любым образом, оставаясь лишь в L. В рассматриваемом108Гл.

I. Основы теории функций комплексного переменного[20случае полагаем f (b) = a0 и назовем z = b точкой разветвлениярегулярного типа. Если разложение (113) содержит лишь конечноечисло членов с отрицательными значениями n, то f (z) → ∞ приz → b. В этом случае полагаем f (b) = ∞ и называем z = b точкойразветвления полярного типа. Если разложение (113) содержитбесчисленное множество членов с отрицательными значениями n,то назовем z = b точкой разветвления существенно особого типа.Все предыдущие определенияможно перенести и на бесконечно далекую точку. Положим, чтосовершается аналитическое продолжение f (z) вдоль контура lи существует такая окрестностьK(|z| > R) бесконечно далекойточки (рис. 19), что элементыфункции f (z) соответствующиеточкам дуги l, принадлежащейK, можно аналитически продолжать по любому пути, лежащемувнутри K.

Если это аналитичеРис. 19.ское продолжение дает однозначную функцию, то точка z = ∞будет или регулярной точкой для f (z), или полюсом, или существенно особой точкой [10]. При многозначности упомянутого аналитического продолжения z = ∞ называют точкой разветвления.Если эта точка разветвления будет конечного порядка (m − 1), тов ее окрестности будет иметь место разложениеf (z) =+∞n=−∞an1√mzn=+∞nan z − m ,n=−∞причем дословно можно повторить все, что сказано выше о такомразложении.

Характер точки z = ∞ может зависеть, конечно, оттого пути аналитического продолжения l, которым мы приходим вокрестность бесконечно далекой точки.Выясним теперь в основных чертах понятие римановой поверхности для данной многозначной аналитической функции f (z). По-20] Особые точки аналитических функций и римановы поверхности109ложим, что при аналитическом продолжении исходного элементамы пришли в некоторую точку z = α. Мы будем иметь в этойточке некоторый элемент, т.

Характеристики

Список файлов книги