1610915348-99a8a2e15f9c5b33e840849c87014c18 (824742), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Последнюю формулу можнопереписать в следующем виде:F (z + Δz) − F (z)1= f (z) +ΔzΔzz+Δz[f (z ) − f (z)]dz .(23)zОстается доказать, что последнее слагаемое, стоящее справа,стремится к нулю при Δz → 0. Пользуясь оценкой интеграла, данной в [4], и принимая во внимание, что длина пути интегрированияв данном случае равна |Δz|, можем написатьz+Δz 11· max |f (z ) − f (z)| · |Δz| =[f (z ) − f (z)]dz Δz|Δz|z= max |f (z ) − f (z)|.Нам надо взять maximum модуля разности |f (z ) − f (z)| при изменении z вдоль прямолинейного отрезка, соединяющего z и z+Δz.Гл.
I. Основы теории функций комплексного переменного36[6Непрерывная неотрицательная функция |f (z ) − f (z)| от z принимает на упомянутом отрезке наибольшее значение в некоторой точке z = z0 , т. е. max |f (z ) − f (z)| = |f (z0 ) − f (z)|. Но при Δz → 0точка z0 , принадлежащая упомянутому отрезку, стремится к z, и всилу непрерывности f (z) разность f (z0 ) − f (z) → 0, откуда и следует, что последнее слагаемое справа в выражении (23) стремитсяк нулю, т. е.
F (z) = f (z).Покажем теперь, что если имеются две первообразные функцииF1 (z) и F2 (z) для функции f (z), то они отличаются постояннымслагаемым. По условию имеемF1 (z) = f (z) и F2 (z) = f (z),т. е.[F1 (z) − F2 (z)] = 0.Таким образом, нам остается показать, что если внутри областиB производная некоторой функции равна тождественно нулю, тоэта функция в области B есть постоянная. Итак, пусть f1 (z) =u1 (x, y) + iv1 (x, y) иf1 (z) ≡ 0.Составляем два выражения для производнойf1 (z) =∂v1∂v1∂u1∂u1+i=−i≡ 0,∂x∂x∂y∂yи, следовательно, имеем∂u1≡ 0,∂x∂u1≡ 0,∂y∂v1≡ 0,∂x∂v1≡ 0,∂yоткуда непосредственно следует, что u1 и v1 не зависят ни от x, ниот y, т.
е. являются постоянными, а следовательно, и функция f1 (z)будет постоянной.Положим, что мы имеем некоторую первообразную функциюF1 (z) для функции f (z). Она отличается от первообразной функции(20) лишь постоянным слагаемым, т. е. zf (z )dz = F1 (z) + C.z06]Основная формула интегрального исчисления37Для определения этого постоянного слагаемого положим, конецz совпадает с началом пути z0 , что даст нам0 = F1 (z0 ) + C,илиC = −F1 (z0 ),и предыдущую формулу можно переписать в виде zf (z )dz = F1 (z) − F1 (z0 ),(24)z0т. е.
величина контурного интеграла равна приращению первообразной функции вдоль пути интегрирования. При этом предполагается, конечно, что первообразная функция F (z) однозначна ирегулярна в некоторой области, содержащей путь интегрированиявнутри себя.П р и м е р. Рассмотрим интеграл(z − a)n dz,(25)lгде n — некоторое целое число и l — замкнутый контур.
Если n отлично от (−1), то первообразная функция будет1(z − a)n+1 .n+1(26)Это будет однозначная регулярная функция или везде, еслиn 0, или везде, кроме z = a, если n < −1. Предполагаем контурl не проходящим через z = a. При обходе по замкнутому контуру однозначная функция (26) будет иметь, очевидно, приращение,равное нулю, и, следовательно, величина интеграла (25) при n = −1будет по любому замкнутому контуру равна нулю.
Если n 0, тоэто непосредственно следует из теоремы Коши. Если n < −1, то этотакже следует из теоремы Коши, если только точка z = a не находится внутри контура l. Предыдущее рассуждение показывает, чтои при отрицательном n, не равном −1, величина интеграла (25) будет равна нулю, даже если a находится внутри контура l.
При этомподынтегральная функция не будет уже регулярной в точке z = a,так как в этой точке она будет обращаться в бесконечность.38Гл. I. Основы теории функций комплексного переменногоРассмотрим теперь случай n = −1, т. е. интеграл видаdz.z−a[7(27)lЕсли a находится вне замкнутого контура l, то по теоремеКоши интеграл (27) равен нулю.Положим, что точка a находитсявнутри контура l (рис. 5).
Проведем окружность C с центром aи малым радиусом ρ. Подынтегральная функция (z − a)−1 будет регулярной в кольце, ограниченном контуром l и окружностью C, и, следовательно, согласно теореме Коши, мы можем при вычислении интеграла(27) интегрировать по окружности C. На этой окружностиРис. 5.z − a = ρeiϕ ,где ϕ меняется в промежутке (0, 2π). Отсюдаdz = iρeiϕ dϕ.Подставляя в интеграл (27), будем иметьCт. е.
окончательноdz=z−al2π0iρeiϕ dϕ= 2πi,ρeiϕdz= 2πi.z−a(28)7. Формула Коши. Пусть f (z) — некоторая функция, регулярная в замкнутой области B, которую мы пока для простоты будем7]Формула Коши39считать односвязной. Пусть l — контур этой области и a — некоторая точка внутри этой области.Составим новую функциюf (z).z−a(29)Эта новая функция также регулярна везде в B, кроме, можетбыть, точки z = a, так как в этой точке знаменатель дроби (29)обращается в нуль. Исключим эту точку кружком с центром a ималым радиусом ε, и пусть Cε — окружность этого круга. В кольце,ограниченном контурами l и Cε , наша функция (29) будет регулярной без всякого исключения, и, следовательно, согласно теоремеКоши, мы можем написатьf (z)f (z)dz =dz.z−az−alCεВ интеграле, стоящем справа, положим f (z) = f (a)+f (z)−f (a).Тогдаf (z)dzf (z) − f (a)dz = f (a)+dz,z−az−az−alCεили в силу (28)lf (z)dz = f (a)2πi +z−aCεCεf (z) − f (a)dz.z−a(30)Обратим теперь внимание на следующее обстоятельство: интеграл, стоящий в левой части формулы (30), и первое слагаемое правой части не зависят от выбора радиуса ε, поэтому можно утверждать, что и второе слагаемое, стоящее справа, на самом деле независит от ε.
Но мы сейчас докажем, что оно стремится к нулю,когда ε → 0. Отсюда будет непосредственно следовать, что оно вточности равно нулю.Применяя оценку из [4] и принимая во внимание, что при движении z по окружности Cε с центром a, очевидно, |z − a| = ε,40Гл. I. Основы теории функций комплексного переменного[7получим max |f (z) − f (a)| f (z) − f (a) наCεdz 2πε = max |f (z) − f (a)| · 2π.на Cεz−aεCεПри беспредельном уменьшении ε точки окружности z стремятся к a, и максимум модуля разности max |f (z) − f (a)| будет стремиться к нулю, т. е. действительно второе слагаемое правой частиформулы (30) стремится к нулю вместе с ε, и по высказанным выше соображениям оно равно нулю.
Таким образом, формула (30)переписывается в виде1f (z)f (a) =dz.2πiz−alПеременим несколько наше обозначение, а именно будем обозначать через z переменную интегрирования и через z — любую точкувнутри нашей области. При этом предыдущая формула примет вид1f (z ) f (z) =dz .(31)2πiz − zlЭта формула Коши выражает значение регулярной функциив любой точке z внутри области через ее значения на контуреобласти.
Интеграл, входящий в формулу Коши, содержит z подзнаком интеграла в качестве параметра и притом в чрезвычайнопростой форме.Точка z находится внутри области, а переменная точка интегрирования z пробегает контур области. Таким образом, z − z = 0,и интеграл, стоящий в формуле Коши, представляет собою интеграл от непрерывной функции, и его можно дифференцировать поz под знаком интеграла сколько угодно раз. Мы получаем, последовательно дифференцируя,f (z )12!f (z )f (z) =dz,f(z)=dz 22πi(z − z)2πi(z − z)3l7]Формула Коши41и вообще при любом целом положительном nf (z )n!(n)f (z) =dz .2πi(z − z)n+1(32)lМы видим, таким образом, что регулярная функция имеет производные всех порядков, и эти производные выражаются через контурные значения функции по формуле (32).Докажем строго возможность дифференцировать под знаком интеграладля определения f (z).
Мы имеемf (z ) 11f (z )dzdz =f (z + Δz) − f (z) =−2πiz − z − Δz2πiz − zl=Δz2πilили1f (z + Δz) − f (z)=Δz2πi(z lf (z )dz ,(z − z)(z − z − Δz)f (z )dz .− z)(z − z − Δz)Если справа перейти к пределу при Δz → 0 под знаком интеграла, то мыполучим для этого предела выражение1f (z )f (z) =dz .(321 )2πi(z − z)2lОстается доказать возможность упомянутого предельного перехода под знакоминтеграла, т. е. надо доказать, что разность11f (z )f (z )δ=dz dz−2πi(z − z)22πi(z − z)(z − z − Δz)llстремится к нулю при Δz → 0.После элементарных преобразований получаем−Δzf (z )dz .δ=2πi(z − z)2 [z − (z + Δz)]lФункция f (z ), во всяком случае непрерывная на l, будет ограниченной помодулю, т.
е. |f (z )| M . Обозначим через 2d положительное число, равноекратчайшему расстоянию от точки z до контура l, т. е. |z − z| 2d. Точка(z + Δz) при Δz, близких к нулю, близка к z, а потому |z − (z + Δz)| > d.Применяя обычную оценку интеграла, получим|δ| <|Δz| M s· 3,2π4d42Гл. I. Основы теории функций комплексного переменного[7где s — длина контура, откуда и вытекает, что δ → 0 при Δz → 0. Совершенно так же можно показать, исходя из формулы (321 ), что f (z) также имеетпроизводную2!f (z )dz ,f (z) =2πi(z − z)3lчто и требовалось доказать.Формулы (31) и (32), как и теорема Коши, непосредственно применимы и для многосвязной области, при этом надо только интегрировать по всему контуру области в положительном направлении, т. е.
имея область слева.Распространим теперь формулу Коши на случаи бесконечнойобласти. Пусть f (z) регулярна в области B, образованной частьюплоскости, находящейся вне замкнутого контура l, и подчиняетсяеще дополнительному условию, а именно — при беспредельном удалении точки z функция f (z) стремится к нулю:f (z) → 0 приz → ∞.(33)Покажем, что при этом также имеет место формула Кошиf (z) =12πilf (z ) dz , (34)z − zпричем направление интегрирования берется так, чтобыобласть B (в данном случаечасть плоскости вне l) находилась слева. Для доказательства проведем круг с центромв начале и с большим радиусомR.
Наша функция f (z) регулярна в кольце, ограниченномРис. 6.контуром l и окружностью CR(рис. 6) проведенного круга, и мы имеем для любой точки z внутри7]Формула Коши43этого кольцаf (z) =12πil1f (z ) dz +z −z2πiCRf (z ) dz .z − z(35)Как и при доказательстве формулы Коши, мы убеждаемся, чтовторое слагаемое в правой части по существу не зависит от выбораR, и, следовательно, если мы докажем, что оно стремится к нулюпри беспредельном возрастании R, то отсюда будет следовать, чтооно тождественно равно нулю, и при этом формула (35) перейдетв формулу (34).
Оценим второе слагаемое правой части формулы(35). При этой оценке мы заменим модуль знаменателя |z −z| меньшей величиной, а именно разностью модулей |z | − |z| = R − |z|. Врезультате получится оценка видаf (z ) 2πRdz max |f (z )|,Cz −zR − |z|RCRилиf (z ) 2πdz max |f (z )|.CRz − z 1 − |z|RCRПри беспредельном возрастании R написанная дробь стремитсяк 2π, а первый из множителей max |f (z )| стремится к нулю согласCRно условию (33). Таким образом, мы доказали формулу Коши дляслучая бесконечной области.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
