1610915348-99a8a2e15f9c5b33e840849c87014c18 (824742), страница 3
Текст из файла (страница 3)
I. Основы теории функций комплексного переменного[1заданном положительном ε существует такое N , что |zn − zm | < ε,если только n и m > N . В общем случае комплексного переменногомы должны повторить о комплексном переменном то, что мы говорили в начале тома I о вещественном переменном. Необходимоеи достаточное условие существования предела комплексного переменного z состоит в следующем: при любом заданном положительном ε существует такое значение переменной z, что |z −z | < ε, еслитолько z и z — любые два значения, следующие после упомянутого значения.
В дальнейшем мы будем говорить, что комплексноепеременное z стремится к бесконечности, если |z| → +∞.Перейдем теперь к рассмотрению функции комплексного переменногоw = f (z)и условимся относительно некоторых терминов. Функция f (z) может быть определена или на всей плоскости, или лишь в некоторойобласти плоскости комплексного переменного z, например в некотором круге, или прямоугольнике, или кольце и т. д. У всякой такойобласти мы будем отличать внутренние ее точки и точки контура. Так, например, в случае круга с центром в начале координат ирадиусом единица, внутренние точки характеризуются условием|z| < 1,или x2 + y 2 < 1,а контуром является окружность|z| = 1,или x2 + y 2 = 1.Характерным свойством внутренней точки является то свойство, что не только она сама, но и некоторая ее окрестность целиком принадлежит области, т.
е. точка M будет внутренней точкойобласти, если этой области принадлежит целиком некоторый достаточно малый круг с центром M . Точки контура не являются ужевнутренними точками области, но в сколь угодно малой окрестности точки контура находятся внутренние точки области. Мы будем,кроме того, считать, что наша область не распадается на отдельныекуски (связность области), иначе говоря, будем предполагать, чтолюбые две точки области могут быть соединены некоторой линией,1]Функции комплексного переменного13которая целиком находится внутри области.
В дальнейшем под областью будем подразумевать обычно лишь совокупность внутренних точек области. Если же к области присоединяется и граница,то будем называть область замкнутой [II, 91].Кроме того, мы будем называть область ограниченной, если всеее точки находятся на конечном расстоянии от начала. В дальнейшем еще несколько дополним характеристику понятия области.Вернемся к рассмотрению функции w = f (z). Положим, чтоона определена внутри некоторой области B, т.
е. во всякой точкеz, лежащей внутри B, f (z) имеет определенное комплексное значение (мы говорим об однозначных функциях). Пусть z0 — некотораяточка внутри B. Функция f (z) называется непрерывной в точке z0 ,если f (z) → f (z0 ) при z → z0 , т. е. при любом данном положительном ε существует такое положительное η, что |f (z) − f (z0 )| < ε,если только |z − z0 | < η. Функция называется непрерывной внутриB, если она непрерывна во всякой точке, находящейся внутри B.Функция f (z) может быть определена не только внутри B, но ина границе l области, т.
е. в замкнутой области B. Мы будем говорить, что такая функция непрерывна в замкнутой области B, еслиона непрерывна в каждой точке этой замкнутой области B. Приопределении непрерывности в какой-либо точке z0 границы l надоиметь в виду, что точка z может стремиться к z0 любым образом,но не покидая замкнутой области B.
Как и в случае вещественногопеременного, имеет место теорема: если f (z) непрерывна в ограниченной замкнутой области, то она равномерно непрерывна в этойобласти, т. е. для любого заданного положительного ε существует такое положительное η (одно и то же для всей области), что|f (z1 ) − f (z2 )| < ε, если |z1 − z2 | < η, где z1 и z2 принадлежатупомянутой замкнутой области.Напишем z и w = f (z) разложенными на вещественную и мнимую части:z = x + yi;w = f (z) = u + vi.Задать z это значит задать x и y, и задать f (z) — значит задать u14Гл.
I. Основы теории функций комплексного переменного[1и v, т. е. u и v мы должны считать функциями x и y:w = f (z) = u(x, y) + v(x, y)i.(3)В элементарных функциях такое разделение вещественной имнимой частей может быть произведено при помощи простых операций, например:w = z 2 = (x + yi)2 = (x2 − y 2 ) + 2xyi.Положим, что z0 = x0 + y0 i; условие z → z0 равносильно x → x0и y → y0 .Определение непрерывности в точке z0 дает, что при z → z0 ,т. е. при x → x0 и y → y0 , мы должны иметьf (z) → f (z0 ),илиu(x, y) + v(x, y)i → u(x0 , y0 ) + v(x0 , y0 )i,что равносильноu(x, y) → u(x0 , y0 )иv(x, y) → v(x0 , y0 ).Следовательно, непрерывность f (z) в точке z0 равносильна непрерывности u(x, y) и v(x, y) в точке (x0 , y0 ).Разделяя вещественную и мнимую части и пользуясь свойствомнепрерывности элементарных функций вещественного переменного, мы убеждаемся в том, что полином, ez , sin z, cos z — непрерывные функции на всей плоскости комплексного переменного.
Рациональная дробь непрерывна везде, кроме тех точек z, где ее знаменатель обращается в нуль. Точно так же tg z непрерывен везде,кроме тех точек z, где cos z обращается в нуль. Как и в случае вещественного переменного, сумма и произведение конечного числанепрерывных функций — также непрерывные функции, а частноедвух непрерывных функций непрерывно, кроме тех значений z, вкоторых знаменатель обращается в нуль.2]Производная15При изложении дальнейшей теории мы будем заниматься сначала однозначными функциями, а затем специально рассмотрим вопрос и о многозначныхфункциях. Примерами многозначных функ√ций являются z − 1, функция (2) и обратные круговые функции.2.
Производная. Выше мы видели, что функция f (z) согласно формуле (3) определяется двумя вещественными функциямиu(x, y) и v(x, y), и непрерывность f (z) равносильна непрерывности u(x, y) и v(x, y). Выбор их при построении f (z) остается произвольным без дополнительных требований на f (z). Основой тойтеории, которую мы будем излагать в дальнейшем, является требование, чтобы f (z) имела производную по комплексной независимойпеременной z.
Это требование наложит некоторые связи на u(x, y)и v(x, y), и из них будут следовать свойства этих функций. Положим, что f (z) определена в некоторой точке z и во всех точках,достаточно близких к z. Производная f (z) в точке z определяется,как мы уже упоминали, как предел отношенияf (z + Δz) − f (z),Δz(4)причем этот предел должен быть конечным и одним и тем же прилюбом законе стремления комплексного приращения Δz = Δx+iΔyк нулю. Точнее говоря [ср. I, 45], при любом заданном числе ε > 0существует такое число η > 0, что f (z + Δz) − f (z) < ε, если |Δz| = (Δx)2 + (Δy)2 < η.−f(z)ΔzНетрудно показать, как и в случае вещественного переменного, чтосправедливы обычные теоремы о производной суммы, произведения и частного [I, 47].
Применяя формулу бинома Ньютона, получим при целом положительном z(z n ) = nz n−1 .(5)Из сказанного следует существование производной у любого полинома от z, а у рациональной дроби — везде, кроме тех значений,16Гл. I. Основы теории функций комплексного переменного[2при которых знаменатель дроби обращается в нуль. Имеет местообычное правило дифференцирования сложных функций:Fz (w) = Fw (w) · wz(6)Точную формулировку для этого правила мы приведем в [5]. Нижемы выразим f (z) через частные производные функций u(x, y) иv(x, y).Положим, что функция f (z) определена внутри некоторой области B и имеет в каждой точке внутри B производную. При этомпросто говорят, что f (z) имеет производную внутри области B. Этапроизводная f (z) будет также однозначной функцией внутри B.Введем новое важное определение.
Будем говорить, что f (z) регулярна, или голоморфна, внутри B, если она однозначна внутри Bи имеет внутри B непрерывную производную f (z). Заметим прежде всего, что из существования производной вытекает и непрерывность f (z) внутри B. Иногда говорят, что f (z) регулярна (или голоморфна) в точке z0 . Это значит, что f (z) регулярна внутри некоторой области, содержащей точку z0 внутри себя.Обратимся к формуле (3), в которой отделены вещественная имнимая части как у z, так и у функции f (z), и поставим следующийвопрос: каким условиям должны удовлетворять функции u(x, y) иv(x, y), для того чтобы f (z) была регулярной внутри области B.Положим сначала, что f (z) регулярна внутри B и выведем отсюдаследствия, касающиеся u(x, y) и v(x, y).Как уже упоминалось выше, при определении производной, существование которой предполагается, можно стремить приращениенезависимого переменного Δz = Δx + Δyi к нулю любым образом.Отметим внутри B некоторую точку M с координатой z = x+yiи переменную точку N с координатой z + Δz = (x + Δx) + (y + Δy)i,причем N стремится к M .Возьмем два частных способа стремления N к M , т.
е. стремления Δz к нулю.При первом способе будем считать, что N стремится к M , оставаясь на прямой, параллельной оси X, т. е. при первом способебудем иметьΔy = 0 и Δz = Δx,(7)2]Производная17а при втором способе будем считать, что N стремится к M , оставаясь на прямой, параллельной оси Y , и при этом будем иметьΔx = 0и Δz = iΔy.(8)Составим производную f (z) для обоих этих случаев. В общемслучае мы имеемf (z + Δz) − f (z)=Δz[u(x+Δx, y+Δy)−u(x, y)]+i[v(x+Δx, y+Δy)−v(x, y)].= limΔx→0Δx + iΔyf (z) = limΔz→0Δy→0(9)Отсюда при первом способе стремления N к M получимv(x + Δx, y) − v(x, y)u(x + Δx, y) − u(x, y)+i.f (z) = limΔx→0ΔxΔxМы видим, таким образом, что вещественная и мнимая части вправой части равенства должны иметь предел, т.
е. функции u(x, y)и v(x, y) должны иметь частные производные по x, причем имеетместо формулаf (z) =∂u(x, y) ∂v(x, y)+i.∂x∂x(10)Точно так же при втором способе стремления N к M будемиметь согласно (8) и (9)v(x, y + Δy) − v(x, y)1 u(x, y + Δy) − u(x, y)+i,Δy→0 iΔyΔyf (z) = limилиf (z) =∂v(x, y) ∂u(x, y)−i.∂y∂y(11)18Гл. I. Основы теории функций комплексного переменного[2Сравнивая выражения (10) и (11) для f (z), получаем условия, которым должны удовлетворять частные производные u(x, y)и v(x, y):∂u(x, y)∂v(x, y)=,∂x∂y∂v(x, y)∂u(x, y)=−.∂x∂y(12)Заметим еще, что из непрерывности f (z) вытекает, на основании (10) и (11), непрерывность частных производных первого порядка функций u(x, y) и v(x, y). Предыдущие рассуждения приводят нас к следующему результату.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
