1610915348-99a8a2e15f9c5b33e840849c87014c18 (824742), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Асимптотические представления (658). 154. Функции Бесселя и уравнениеЛапласа (663). 155. Волновое уравнение в цилиндрических координатах (666). 156. Волновое уравнение в сферических координатах(670).§ 3. Полиномы Эрмита и Лаггерра . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .157. Линейный осциллятор и полиномы Эрмита (672). 158. Свойство ортогональности (678). 159. Производящая функция (680).160. Параболические координаты и функции Эрмита (682). 161. Полиномы Лагерра (685). 162. Связь полиномов Эрмита и Лагерра(693). 163. Асимптотическое выражение полиномов Эрмита (695).164. Асимптотическое выражение полиномов Лежандра (698).674§ 4. Эллиптические интегралы и эллиптические функции . . . . .165. Приведение эллиптических интегралов к нормальному виду(702).
166. Приведение интегралов к тригонометрической форме(706). 167. Примеры (711). 168. Обращение эллиптического интеграла (714). 169. Общие свойства эллиптических функций (718).170. Основная лемма (724). 171. Функции Вейерштрасса (726).172. Дифференциальное уравнение для ℘(u) (732). 173. Функции σk (u) (735). 174. Разложение целой периодической функции(739). 175. Новые обозначения (741).
176. Функция ϑ1 (v) (743).177. Функции ϑk (v) (747). 178. Свойства функций тэта (750).179. Выражение чисел ek через ϑs (754). 180. Эллиптические функции Якоби (757). 181. Основные свойства функций Якоби (760).182. Дифференциальные уравнения для функций Якоби (762).183. Формулы сложения (764). 184. Связь функций ℘(u) и sn(u)(766).
185. Эллиптические координаты (768). 186. Введение эллиптических функций (770). 187. Уравнение Лямэ (772). 188. Простоймаятник (774). 189. Пример конформного преобразования (776).700ДОБАВЛЕНИЕПРИВЕДЕНИЕ МАТРИЦ К КАНОНИЧЕСКОЙ ФОРМЕ190. Вспомогательные предложения (779). 191. Случай простыхкорней (786). 192. Первый этап преобразований в случае кратных корней (789). 193. Приведение к канонической форме (794).194. Определение структуры канонической формы (801). 195. Пример (805).ГЛАВА IОСНОВЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙКОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО1.
Функции комплексного переменного. При изложениидифференциального и интегрального исчисления мы считали, чтокак независимая переменная, так и функция принимают лишь вещественные значения. Далее, при изложении основ высшей алгебрымы рассматривали наиболее элементарную функцию, а именно —полином, и в том случае, когда независимая переменная принимает комплексные значения. Целью настоящей главы является распространение основ анализа на случай функции от комплексногопеременного.Возьмем, например, полиномf (z) = a0 z n + a1 z n−1 + . . . + an ,где ak — заданные комплексные числа. Мы можем считать, что инезависимая переменная z принимает любые комплексные значения, и таким образом функция f (z) будет определена для любыхкомплексных значений z.То же самое можно сказать о рациональной функцииa0 z n + a1 z n−1 + .
. . + anb0 z m + b1 z m−1 + . . . + bmили о выражениях, содержащих радикалы, например:√z − 1.8Гл. I. Основы теории функций комплексного переменного[1В главе VI тома I мы определили элементарные трансцендентные функции для случаев комплексных значений независимого переменного, а именно для показательной функции мы имеем:ez = ex+iy = ex (cos y + i sin y),и, определив таким образом показательную функцию, сможемопределить и тригонометрические функции при комплексных значениях аргументаeiz − e−iz,2i1 ei2z − 1sin z=,tg z =cos zi ei2z + 1sin z =eiz + e−iz,2cos zei2z + 1ctg z == i i2z.sin ze −1cos z =(1)Напомним выражение для натурального логарифма комплексного числа:ln z = ln |z| + i arg z,(2)где |z| есть модуль z, arg z обозначает аргумент переменной z.
Точно так же, рассматривая функции, обратные (1), мы приходим кобратным круговым функциям комплексного переменного:arcsin z,arccos z,arctg z,arcctg z.Нетрудно показать, что эти функции могут быть выражены черезлогарифм. Положим, например,z = tg w =ei2w − 1,i(ei2w + 1)откудаi(ei2w + 1)z = ei2w − 1,или1 + iz.1 − izУмножая числитель и знаменатель на i и логарифмируя, получим1i−zw = arctg z =ln.2i i + zei2w =1]Функции комплексного переменного9Совершенно так же, если положитьz = sin w =eiw − e−iw,2iто получим квадратное уравнение для eiw :ei2w − 2izeiw − 1 = 0,откудаeiw = iz +1 − z 2,и, следовательно,1ln(iz + 1 − z 2 ),iгде надо брать оба значения квадратного радикала.Как мы увидим в дальнейшем, все вышеуказанные элементарные функции комплексного переменного имеют производную какфункции комплексного переменного, т.
е. для них существует определенный предел отношенияw=f (z + Δz) − f (z),Δzкогда комплексное выражение Δz стремится к нулю. Вся настоящая глава и будет посвящена изложению основ теории функцийкомплексного переменного, имеющих производную. Эта теория отличается чрезвычайно большой отчетливостью и простотой, с однойстороны, а с другой стороны, имеет широкое применение ко многим отделам естествознания и техники.
В настоящей главе будетдан краткий очерк самой теории, а приложения будут изложеныв следующих главах. Мы надеемся таким путем достигнуть болееотчетливого и компактного изложения теоретических основ.В дальнейшем мы будем очень часто пользоваться геометрической интерпретацией комплексного числа, о которой говорили ужев [I, 170].Напомним кратко основную идею этой интерпретации.
Отнесяплоскость к прямолинейным прямоугольным осям OX, OY , мы можем каждой точке этой плоскости сопоставить или две вещественные координаты (x, y) или одну комплексную координату x + iy,10Гл. I. Основы теории функций комплексного переменного[1что и будем делать дальше. В этом смысле плоскость называется плоскостью комплексного переменного, ось X — вещественнойосью и ось Y — мнимой осью. Кроме этой точечной интерпретации комплексного числа мы будем пользоваться, главным образомв следующих главах, еще и векторной интерпретацией, при которой комплексному числу x + iy сопоставляется вектор, составляющие которого на координатные оси равны x и y.
Непосредственноочевидна связь между двумя этими интерпретациями, а именно:если провести вектор из начала координат в точку с комплекснойкоординатой x + iy, то этому вектору будет соответствовать то жесамое комплексное число x + iy. Вообще, если на нашей плоскостипровести вектор, имеющий начало в точке A с комплексной координатой a1 + ia2 и конец в точке B с комплексной координатойb1 + ib2 , то этому вектору AB будет соответствовать комплексноечисло, равное разности комплексных координат конца и начала:(b1 − a1 ) + i(b2 − a2 ).Напомним некоторые результаты, изложенные раньше [I, 171 и172].Сложению комплексных чисел соответствует геометрическоесложение соответствующих этим числам векторов.
Модуль комплексного числа есть длина соответствующего вектора, а аргументравен углу, образованному вектором с осью X.Если комплексная переменная z меняется, то соответствующаяточка двигается по плоскости.Мы будем говорить, что z = x+iy стремится к пределу α = a+ib,где a и b — постоянные, если модуль разности|α − z| = (a − x)2 + (b − y)2стремится к нулю.Из написанного выражения непосредственно следует, посколькупод радикалом стоят положительные слагаемые, что |α − z| → 0равносильно тому, чтоx→aи y → b.1]Функции комплексного переменного11Итак,x + iy → a + ibравносильноx→aи y → b.При этом, очевидно, переменная точка M , соответствующаячислу z = x + iy, стремится к точке A с комплексной координатой α = a + ib как к своему предельному положению. Как нетруднопоказать, на чем мы останавливаться не будем, для комплексного переменного имеют место обычные теоремы о пределе суммы,произведения и частного.Заметим еще, что из определения предела вытекает, что z → 0равносильно |z| → 0.
Далее, если z → α, то, очевидно, |z| → |α|.Для комплексного переменного имеет место также признакКоши существования предела.Пусть имеется, например, последовательность значений комплексного переменногоz1 = x1 + y1 i,z2 = x2 + y2 i,..............zn = xn + yn i,..............Существование предела у этой последовательности равносильно существованию пределов у вещественных последовательностей xn иyn , а для существования этих пределов необходимо и достаточно,чтобы абсолютные значения разностей |xn − xm | и |yn − ym | становились сколь угодно малыми при достаточно больших n и m [I,31].Принимая во внимание, что|zn − zm | = (xn − xm )2 + (yn − ym )2и что под радикалом стоят положительные слагаемые, мы видим,что для существования предела последовательности zn необходимои достаточно, чтобы |zn − zm | становился сколь угодно малым привсех достаточно больших n и m, т. е., точнее говоря, при любом12Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
