1610915348-99a8a2e15f9c5b33e840849c87014c18 (824742), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Границейобласти может быть весьма сложное множество. Мы в дальнейшембудем предполагать, если не оговорено особо, что граница областисостоит из одной или нескольких простых замкнутых кривых, гладких или кусочно гладких [4]. Определим точно понятие простой замкнутой кривой. Пусть замкнутой кривой l соответствует параметрическое представление x(t), y(t), при котором параметр t меняетсяна промежутке a t b, причем x(a) = x(b) и y(a) = y(b). Криваяназывается простой, если ни для какой пары различных значенийt = t1 и t = t2 (кроме концов t = a и t = b) точки x = x(t1 ), y = y(t1 )и x = x(t2 ), y = y(t2 ) не совпадают.
В некоторых случаях, которыебудут оговариваться особо, замкнутая кривая может вырождатьсяв точку. Например, если область есть круг |z| < 1 с исключеннойточкой z = 0, граница состоит из окружности |z| = 1 и точки z = 0.Поставим теперь основной вопрос о том, при каких условияхконтурный интеграл (16) не зависит от пути. Для этого, очевидно, необходимо и достаточно, чтобы оба криволинейных интеграла,стоящих в правой части и дающих вещественную и мнимую частиконтурного интеграла, не зависели от пути. Применяя указанный в[II, 74] критерий независимости криволинейного интеграла от пути,приходим к уравнениям∂u(x, y)∂v(x, y)=−,∂y∂x∂v(x, y)∂u(x, y)=,∂y∂xа это суть в точности условия (12) из [2]. Итак, окончательно, условие независимости контурного интеграла от пути совпадает с5]Теорема Коши31условием регулярности f (z).
Это является основным фактом интегрального исчисления теории функций комплексного переменного.Отметим, что при выводе условий независимости криволинейного интеграла от пути мы пользовались формулой ∂Q(x, y) ∂P (x, y)−dxdy.P (x, y)dx + Q(x, y)dy =∂x∂ylBПри выводе этой формулы мы предполагали непрерывность нетолько самих функций P (x, y) и Q(x, y), но и их частных производных, поскольку они входят под знак двойного интеграла. В данном случае это будет иметь место, т. к. для регулярной функцииf (z) функции u(x, y) и v(x, y) имеют непрерывные частные производные первого порядка.
В дальнейшем мы будем применять интегрирование и по самому контуру области B. Это будет вполнезаконным, если предположить, что f (z) регулярна в замкнутой области B. Мы понимаем под этим, что f (z) регулярна в несколькоболее широкой области, содержащей область B вместе с ее контуром внутри себя, т. е. f (z) называется регулярной в замкнутойобласти B, если она регулярна внутри некоторой области, содержащей B вместе с ее контуром внутри себя.Для более подробного исследования вопроса необходимо принять во внимание вид области, в которой функция f (z) регулярна,а именно существенную роль играет здесь, так же как и при исследовании вещественных контурных интегралов, то обстоятельство,является ли область односвязной или многосвязной.
Напомним относящиеся сюда основные определения и сформулируем результаты, которые совершенно аналогичны соответствующим результатам для вещественных контурных интегралов [II, 75].Если ограниченная область плоскости z имеет контуром однузамкнутую кривую (иначе говоря, область не имеет дыр), то область называется односвязной. Если при этом f (z) — регулярнаяфункция в такой области и z0 — некоторая точка этой области, тоинтегралz(20)F (z) = f (z )dz z032Гл. I.
Основы теории функций комплексного переменного[5(через z обозначена переменная интегрирования), взятый по любойкривой внутри этой области, не зависит от пути и дает однозначнуюфункцию своего верхнего предела z. При этом, конечно, величинаинтеграла по любому замкнутому контуру внутри области будетравна нулю. Если наша функция f (z) регулярна в замкнутой области, то мы можем интегрировать и по самому контуру области B,и результатом интегрирования будет нуль.Положим теперь, что наша область B многосвязна и ограничена одним замкнутым внешним контуром и несколькими замкнутымивнутренними контурами. Положимдля определенности, что имеетсялишь один внутренний контур [область двусвязна (рис.
4)]. Проведемв нашей области разрез λ, соединяющий внешний контур с внутренним. Таким образом разрезанная область B будет уже односвязРис. 4.ной, и выражение (20) будет даватьоднозначную функцию от z в B . Если предположить, что f (z) регулярна в замкнутой области, то можно интегрировать и по самомуконтуру области.
Мы можем при этом утверждать, что интегралпо всему контуру односвязной области B должен равняться нулю.При этом, как указано на рисунке, нам придется интегрировать повнешнему контуру против часовой стрелки, по внутреннему контуру — по часовой стрелке и по разрезу λ — два раза в противоположных направлениях. Интегралы по разрезу взаимно уничтожатся, имы будем, следовательно, иметьf (z)dz +f (z)dz = 0,(21)l1l2где l1 — внешний контур, l2 — внутренний и стрелками обозначенонаправление интегрирования. Как непосредственно следует из чертежа, это направление для обоих контуров можно определить изодного и того же условия, а именно из того условия, что при обходе5]Теорема Коши33контура область остается слева. Такое направление назовем положительным относительно области.
Пользуясь равенством (21),можем сказать, что и для случая многосвязной области интегралпо контуру будет равняться нулю, если интегрировать везде в положительном относительно области направлении.Если изменить направление интегрирования по внутреннемуконтуру, то вместо формулы (21) мы можем написатьf (z)dz =f (z)dz,(22)l1l2т. е. интеграл по внешнему контуру равен сумме интегралов повнутренним контурам (здесь только один), если согласиться интегрировать по всем контурам против часовой стрелки.Полученные нами результаты составляют основную для теориифункций комплексного переменного теорему, которая называетсяобычно теоремой Коши.
Мы ее формулируем несколькими различными способами.Т е о р е м а К о ш и I. Если функция регулярна в замкнутой односвязной области, то интеграл от нее по контуру этой областиравен нулю.Т е о р е м а К о ш и II. Если функция регулярна в замкнутой многосвязной области, то интеграл от нее по всему контуруэтой области в положительном направлении равен нулю.Т е о р е м а К о ш и III. Если функция регулярна в замкнутоймногосвязной области, то интеграл от нее по внешнему контуруравен сумме интегралов по всем внутренним контурам при условии, что интегрирование по всем контурам производится противчасовой стрелки.Выясним одно практически важное следствие теоремы Коши.Пусть два разных контура l и l имеют одни и те же концы A иB. Положим, что l можно непрерывной деформацией перевести вl , не покидая области, где f (z) регулярна, и сохраняя неизменными концы A и B.
Из теоремы Коши непосредственно вытекает, чтопри этом величина интеграла от f (z) не будет меняться, т. е. еслинекоторый контур при закрепленных концах непрерывно деформируется и при этом не выходит из области регулярности функции34Гл. I. Основы теории функций комплексного переменного[6f (z), то при такой деформации величина интеграла от функцииf (z) по контуру не меняется.
То же самое имеет место и при деформировании замкнутого контура, если при этом он все времяостается замкнутым.В заключение сделаем одно замечание, имеющее принципиальное значение. При выводе теоремы Коши мы пользовались, как указывалось, не только существованием, но и непрерывностью производной f (z).
Эта непрерывность f (z) входит в определение регулярной функции. Применяя другой метод доказательства, можнодоказать теорему Коши, пользуясь только существованием f (z),но не ее непрерывностью. Но в дальнейшем мы увидим, что из теоремы Коши вытекает, что f (z) имеет производные всех порядков,откуда сразу следует, что f (z) непрерывна.Таким образом, второе доказательство теоремы Коши, котороемы не приводим, имеет то принципиально важное значение, чтооно не пользуется непрерывностью f (z), но из него, как следствие,вытекает, что из наличия производной f (z) следует и ее непрерывность.В дальнейшем, если не будет оговорено особо, мы будем всегдасчитать, что при интегрировании по замкнутому контуру направление обхода берется против часовой стрелки.6.
Основная формула интегрального исчисления. Положим, что f (z) регулярна в некоторой области, и рассмотрим функцию, определяемую формулой (20). Если наша область многосвязна, то все же мы можем считать F (z) однозначной, произведя соответствующие разрезы. Совершенно так же, как в интегральномисчислении функций вещественного переменного [I, 96], можно показать, что F (z) является первообразной функцией для f (z), т. е.F (z) = f (z).Для этого заметим прежде всего, что из самого определенияинтеграла как предела суммы непосредственно вытекаетdz = β − α,lгде α и β — комплексные координаты начала и конца l. Далее,6]Основная формула интегрального исчисленияочевидно,35z+Δzf (z )dz ,F (z + Δz) − F (z) =zгде интегрирование можно совершать, например, по прямолинейному отрезку, соединяющему точки z и z + Δz.
При достаточномалом |Δz| этот отрезок не выходит из области регулярности функции f (z) (поскольку z считается внутренней точкой этой области),и мы имеем, очевидно,z+Δz[f (z ) − f (z) + f (z)]dz =F (z + Δz) − F (z) =zz+Δz= f (z)z+Δz[f (z ) − f (z)]dz ,dz +zzгде f (z) вынесена за знак интегрирования, так как она не содержит переменной интегрирования z .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
