1610915348-99a8a2e15f9c5b33e840849c87014c18 (824742), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Мы будем рассматривать лишь вектор напряжения,действующего на площадку, перпендикулярную к оси Y . Составляющие этоговектора выражаются по следующим формулам:⎫∂2ψ∂2ϕ∂2ψ⎪⎪Yx = μ 2⎪,+−⎬∂x∂y∂y 2∂x2.(199) 2 2∂2ϕ∂2ϕ∂2ψ ⎪b∂ ϕ⎪⎪Yy = μ+2−2+−2⎭a2∂x2∂y 2∂y 2∂x∂yПосле этих предварительных сведений перейдем к постановке задачи. Положим, что в момент времени t = 0 из точки x = 0, y = y0 распространяетсявозмущение чисто продольного типа, которое xapaктеризуется некоторым потенциалом ϕ, удовлетворяющим уравнению (196), причем этот потенциал представляет собою однородное решение уравнения относительно аргументов t, x и(y −y0 ), т.
е. он определяется как вещественная часть некоторой аналитическойфункцииϕ = Re[Φ(θ)],(200)где комплексная переменная θ определяется из уравненияt − θx + a2 − θ 2 (y − y0 ) = 0.(201)Последнее уравнение отличается от уравнения (177) лишь заменою y на(y−y0 ). Это соответствует тому факту, что потенциал (200) соответствует некоторой силе, сосредоточенной в момент t = 0 в точке x = 0, y = y0 . Мы не будем250Гл. II. Конформное преобразование и плоское поле[55останавливаться подробнее на выяснении этого обстоятельства с точки зрениямеханической характеристики источника, определяемого формулой (200).Будем считать, что заданная функция Φ(θ), входящая в формулу (200), регулярна на плоскости θ с разрезом (−a, a), кроме бесконечно далекой точки,и что ее вещественная часть обращается в нуль на разрезе.
Последнее обстоятельство соответствует тому факту, что заданный потенциал ϕ обращается внуль на поверхности конического пучка с вершиной t = 0, x = 0, y = y0 и суглом arctg (1/a) при вершине. Эта поверхность соответствует фронту распространяющегося возмущения. Мы считаем, конечно, потенциал равным нулюи везде вне конического пучка. Положим, что имеем не всю плоскость, гдераспространяется возмущение, но лишь полуплоскость y > 0, внутри которойнаходится центр возмущения x = 0, y = y0 > 0.
Потенциал ϕ будет вполнеопределять движение лишь в промежуток времени t < ay0 . В момент времениt = ay0 фронт возмущения дойдет до линии y = 0, которая является границейнашей среды, и появятся отраженные волны, причем закон отражения долженполучиться из предельных условий, которые имеют место на этой границе. Мыбудем предполагать, что эта граница свободна от напряжений, и в дальнейшемнапишем соответствующие предельные условия, приравнивая нулю выражения(199) при y = 0.В результате отражения мы должны будем присоединить к заданному потенциалу ϕ еще два потенциала: один — отраженный продольный потенциалϕ1 , а другой — отраженный поперечный потенциал ψ1 . Будем считать, что обаэти потенциала выражаются как вещественные части некоторых аналитических функций комплексных переменныхϕ1 = Re[Φ1 (θ1 )],ψ1 = Re[Ψ1 (θ2 )].(202)Нам надо найти как уравнения, определяющие эти комплексные переменные θ1 и θ2 , так и вид аналитических функций Φ1 (θ1 ) и Ψ1 (θ2 ) по заданномупадающему потенциалу ϕ и по предельным условиям.
Упомянутые комплексные переменные в соответствии со сказанным в [53], а также с тем обстоятельством, что волновое уравнение для поперечного потенциала ψ содержит непостоянную a, а постоянную b, будут определяться из уравнений вида⎫⎬t − θ1 x ± a2 − θ12 y + p1 (θ1 ) = 0,⎪(203)⎪t − θ2 x ± b2 − θ 2 y + p2 (θ2 ) = 0, ⎭2и нам надо прежде всего выбрать вид функций p1 (θ1 ) и p2 (θ2 ) и знаки у радикалов, причем значения радикалов на плоскости с разрезом определяютсявсегда так, как это было указано в [53].Обратимся к коническому пучку лучей, соответствующему уравнению (201)и имеющему вершину в точке t = x = 0, y = y0 .
В данном случае разность(y − y0 ) играет роль буквы y, если мы сравним наше теперешнее рассуждение срассуждением из [53]. Плоскость y = y0 будет делить наш пучок на две части,и та часть пучка, где y > y0 , вовсе не встретит границы y = 0 в пространстве(S) с координатами (t, x, y). Другая часть пучка, где y < y0 , встретит эту55]Отражение упругих волн от прямолинейной границы251плоскость, и точки пересечения прямых пучка с этой плоскостью заполнят на этой плоскости область, определяемую неравенством(рис. 53)1x2 + y02 < 2 t2 .(204)aЭто непосредственно следует из того, чтоуравнение самого пучка в данном случае будет иметь видx2 + (y − y0 )2 <1 2t .a2Область (204) представляет собою, очевидно, внутреннюю часть некоторой гиперболы плоскости y = 0 пространства (S).
Как мывидели в [53], той половине конического пучРис. 53.ка, которая пересекается с плоскостью y = 0и где y − y0 < 0, соответствует верхняя полуплоскость значений комплексного переменного θ. Кроме того, очевидно, вдолькаждого из наших лучей y уменьшается и t одновременно увеличивается. Выберем в уравнениях (203) знаки у радикалов противоположными знаку радикалав уравнении (201) и, кроме того, функции p1 (θ1 ) и p2 (θ2 ) определим так, чтобыуравнения (205) совпадали с уравнением (201) при y = 0. Мы получим, такимобразом, для новых комплексных переменных уравнения видаt − θ1 x − a2 − θ12 (y + y0 ) = 0,(205)(206)t − θ2 x − b2 − θ22 y − a2 − θ22 y0 = 0.Возьмем некоторую точку M1 (t1 , x1 ) в области (204) плоскости y = 0,лежащей в пространстве (S). В эту точку упадет некоторый луч нашего конического полупучка, соответствующий определенному значению θ = θ .
Еслиподставить координаты точки t = t1 ; x = x1 и y = 0 в уравнения (205) и (206),то для комплексных переменных θ1 и θ2 получится то же самое значение. Еслимы теперь подставим это значение θ1 = θ и θ2 = θ в полные уравнения (205)и (206), то полученные уравнения определят нам два луча, которые мы будемв дальнейшем называть отраженным продольным и отраженным поперечнымлучами (все это имеет место в пространстве (S)). Отметим одно важное обстоятельство, а именно: в силу определенного выбора знаков у радикалов в уравнениях (205) и (206) мы может утверждать, что вдоль этих отраженных лучейпри увеличении t y также увеличивается, т. е. эти отраженные лучи идут вглубьнашей полуплоскости или, лучше сказать, вглубь полупространства при увеличении времени, т.
е. иначе говоря, отраженные волны не меняют ничего в тойкартине возмущения, которая имела место до отражения. Проверим указанноеобстоятельство для уравнения (205). Сравнивая его с уравнением (201), нетрудно убедиться, что ему соответствует конический пучок с вершиной t = x = 0,y = −y0 , симметричной с центром возмущения относительно плоскости y = 0.252Гл. II. Конформное преобразование и плоское поле[55Принимая во внимание, что знак у радикала в уравнении (205) отличается отзнака при радикале уравнения (201), мы можем утверждать, что в данном случае значениям θ из верхней полуплоскости, которые мы сейчас и будем иметьв результате отражения, соответствуют те лучи, где t > 0 и y + y0 > 0, причем при увеличении t y увеличивается вдоль луча.
Аналогичное обстоятельствобудет иметь место и для лучей, определяемых уравнением (206), но только вданном случае пучок этих лучей не будет уже коническим. Таким образом, изкаждой точки M1 области (204) будут выходить два отраженных луча. Ищемпотенциалы отраженных волн согласно формулам (202), т. е. так, чтобы они сохраняли постоянное значение вдоль отраженных лучей. Остается еще выбратьвид функций в формулах (202). Мы рассматриваем, как уже было упомянутовыше, в данном случае предельные условия вида∂ψ12∂ 2 (ϕ + ϕ1 )∂ 2 ψ1 2+−= 0,∂x∂y∂y 2∂x2 y=0 2 2∂ 2 (ϕ + ϕ1 )∂ 2 (ϕ + ϕ1 )∂ 2 ψ1 ∂ (ϕ + ϕ1 )b+2−2+−2= 0.a2∂x2∂y 2∂y 2∂x∂y y=0Для вычисления производных от функций ϕ, ϕ1 и ψ1 , определяемых поформулам (200) и (202), мы можем воспользоваться формулами из [52], заменяяl(τ ), m(τ ) и n(τ ) соответствующими коэффициентами из уравнений (201), (205)и (206).
Заметим при этом, что для отраженного поперечного потенциала ψ1мы должны заменить a на b. При y = 0 наши комплексные переменные θ, θ1 ,θ2 совпадают, и мы можем обозначить их одной и той же буквой θ. Приходим,таким образом, к условиям следующего вида:√⎫1 ∂ −2θ a2 − θ 2 [Φ (θ) − Φ1 (θ)] + (b2 − 2θ 2 )Ψ1 (θ)⎪⎪⎪Re =0,⎬δ ∂θδ(207)√22⎪22⎪1 ∂ (b − 2θ )[Φ (θ) + Φ1 (θ)] − 2θ b − θ Ψ1 (θ)⎪⎭=0,Re δ ∂θδгдеδ = −x + √θa2 − θ 2y0 .Условия (207) должны быть выполнены во всей области (204), т. е. во всейверхней полуплоскости θ.Мы получим, очевидно, решение уравнений (207), если определим искомыефункции Φ1 (θ) и Ψ1 (θ) из уравнений−2θ a2 − θ 2 [Φ (θ) − Φ1 (θ)] + (b2 − 2θ 2 )Ψ1 (θ) = 0,(b2 − 2θ 2 )[Φ (θ) + Φ1 (θ)] − 2θ b2 − θ 2 Ψ1 (θ) = 0.Можно показать, что эти уравнения не только достаточны, но и необходимыдля выполнения условий (207).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
