1610915348-99a8a2e15f9c5b33e840849c87014c18 (824742), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Рассмотрим интеграл2π0dx1 + ε cos x(0 < ε < 1).Проделывая указанные выше преобразования, приведем его к следующемувиду:dziz(1 + ε(z + z −1 )/2)Cили2idz.εz 2 + 2z + εCПолюсы подынтегральной функции будут совпадать с корнями квадратного уравненияεz 2 + 2z + ε = 0,(7)один из корней которого по модулю меньше единицы. Этот корень определяетсяпо формуле√−1 + 1 − ε2z0 =,εпричем радикал надо брать положительным. Вычет подынтегральной функциимы можем определить согласно тому правилу, которое было указано в [21], аименно этот вычет будет равен частному от деления числителя подынтегрального выражения на производную от знаменателя при z = z0 , т.
е. в данномслучае этот вычет будет11r== √,2εz0 + 22 1 − ε2и окончательно мы получаем2π02πdx= √.1 + ε cos x1 − ε2П р и м е р II. Рассмотрим еще интеграл2π0dx(1 + ε cos x)2(0 < ε < 1).Совершая такие же преобразования, что и выше, мы будем иметьz4dz.i(εz 2 + 2z + ε)2C(8)260Гл. III. Применение теории вычетов, целые и дробные функции [58В данном случае значение z = z0 будет единственным полюсом внутри единичной окружности, причем это будет полюс уже второго порядка.
Согласноуказанию [21], для определения вычета r в этом полюсе мы должны умножитьподынтегральную функцию на (z − z0 )2 , взять первую производную от полученного произведения и положить затем z = z0 . Пусть z = z1 — второй кореньуравнения (7), по модулю больший единицы:√−1 − 1 − ε2z1 =.εПроделывая указанные операции, в данном случае будем иметьz + z1zr= 2=−,ε (z − z1 )2 z=z0ε2 (z − z1 )3 z=z0и затем, полагая z = z0 и принимая во внимание выражения z0 и z1 получимследующее значение для вычета:r=13/4(1 − ε2 )2.Окончательно теорема о вычетах дает2π02πdx=.3(1 + ε cos x)2(1 − ε2 ) /2(9)58. Интегрирование рациональной дроби. Рассмотрим интеграл от рациональной дроби+∞−∞ϕ(x)dx.ψ(x)(10)Для того чтобы такой интеграл имел смысл, необходимо и достаточно [II, 85], чтобы полином ψ(x), стоящий в знаменателе, не имелвещественных корней и чтобы его степень по крайней мере на двеединицы превышала степень полинома ϕ(x).
Если мы рассмотримпри этом функцию комплексного переменногоf (z) =ϕ(z),ψ(z)то она, очевидно, будет обладать тем свойством, что произведениеzf (z) будет стремиться к нулю при z → ∞ и притом равномерно,58]Интегрирование рациональной дроби261т. е. независимо от способа стремления z к бесконечности. Точнееговоря, эта равномерность будет сводиться к следующему: для любого малого положительного ε существует такое положительное Rε ,что |zf (z)| < ε, если только |z| > Rε .
Покажем, что если функцияf (z) удовлетворяет этому условию, то интеграл от нее по любойдуге окружности |z| = R стремится к нулю при беспредельном возрастании R.Л е м м а. Если f (z) непрерывна в окрестности бесконечно далекой точки и zf (z) → 0 равномерно при z → ∞, то интеграл отf (z) по любой дуге окружности |z| = R стремится к нулю прибеспредельном возрастании R.Применяя к интегралу обычную оценку из [4], мы будем иметь f (z)dz = zf (z) 1 dz max|zf (z)| · 1 s, lz Rllгде s — длина упомянутой дуги l, которая, очевидно, не превышает2πR, так что окончательно f (z)dz 2π max|zf (z)|.llПринимая во внимание, что zf (z) на нашей дуге стремится кнулю при беспредельном возрастании R, мы и получаем непосредственно утверждение нашей леммы.Вернемся к нашему примеру и проинтегрируем рациональнуюдробь ϕ(z) : ψ(z) по контуру, состоящему из отрезка (−R, R) вещественной оси и полуокружности в верхней полуплоскости, имеющей упомянутый отрезок диаметром.
Мы можем взять R настолькобольшим, чтобы все полюсы функции f (z), лежащие в верхней полуплоскости, оказались внутри построенного полукруга. Обозначаяпостроенную полуокружность через CR , имеемR−Rϕ(x)dx +ψ(x)CRϕ(z)dz = 2πir,ψ(z)(11)262Гл. III. Применение теории вычетов, целые и дробные функции [59где черезr мы обозначили сумму вычетов функции f (z) относительно полюсов, находящихся в верхней полуплоскости. При беспредельном увеличении R правая часть равенства не будет меняться, а второе слагаемое левой части будет, согласно лемме, стремиться к нулю, и мы получим в пределе+∞−∞ϕ(x)dx = 2πir,ψ(x)т.
е. интеграл (10) от рациональной дроби равен произведению 2πiна сумму вычетов подынтегральной функции относительно полюсов, находящихся в верхней полуплоскости.П р и м е р. Рассмотрим интеграл+∞−∞dx.(x2 + 1)nВ данном случае в верхней полуплоскости находится единственный полюсподынтегральной функции z = i порядка n. Для определения вычета в этомполюсе мы должны, согласно [21], помножить подынтегральную функцию (z 2 +1)−n на (z −i)n , полученное произведение продифференцировать n−1 раз по z,разделить на (n − 1)! и положить затем z = i, т. е.
искомый вычет определяетсяпо формуле11dn−1 (z − i)n dn−1 (z + i)−n r==(n − 1)! dz n−1 (z 2 + 1)n z=i(n − 1)!dz n−1z=iилиr=n(n + 1) . . . (2n − 2)(−n)(−n − 1) . . . (−n − n + 2)(2i)−2n+1=−i,(n − 1)!(n − 1)!22n−1и окончательно будем иметь+∞−∞(2n − 2)!dxπ=.(x2 + 1)n[(n − 1)!]2 22n−2(12)59. Некоторые новые типы интегралов с тригонометрическими функциями. Заметим, что при выводе предыдущего правила вычисления интегралов с бесконечными пределами мы59]Некоторые новые типы интегралов . . .263нигде, по существу, не пользовались тем, что подынтегральнаяфункция f (z) есть рациональная дробь.
Для нас достаточно, чтобы функция f (z) удовлетворяла следующим двум условиям: 1) онарегулярна в верхней полуплоскости и на вещественной оси, кроме конечного числа полюсов, лежащих в верхней полуплоскости, и2) при z → ∞ в упомянутой области zf (z) → 0 равномерно. Приэтом мы, как и выше, придем к равенству (11), причем второе слагаемое в левой части стремится к нулю, так что, переходя к пределу,будем иметьRlimf (x)dx = 2πir,(13)R→∞−Rгдеr — сумма вычетов f (z) относительно полюсов, лежащихв верхней полуплоскости.
Разбивая промежуток интегрирования(−R, R) на части (−R, 0) и (0, R) и заменяя в первом из интегралов x на (−x), мы можем вместо равенства (13) написатьRlim[f (x) + f (−x)]dx = 2πirR→∞0или∞[f (x) + f (−x)]dx = 2πir.(14)0Применим полученный результат к тому частному случаю, когда подынтегральная функция имеет видf (z) = F (z)eimz(m > 0),(15)причем функция F (z) удовлетворяет поставленным выше двумусловиям. При этом, как нетрудно видеть, и функция f (z) будетудовлетворять этим двум условиям. Чтобы убедиться в этом, достаточно показать, что множитель eimz , регулярный на всей плоскости, остается ограниченным в верхней полуплоскости и на вещественной оси.
Мы имеем, очевидно,eimz = eim(x+iy)и |eimz | = e−my(m > 0; y 0),264Гл. III. Применение теории вычетов, целые и дробные функции [59откуда непосредственно следует, что |eimz | 1 при y 0. Такимобразом, если F (z) удовлетворяет поставленным выше двум условиям, то мы имеем∞[F (x)eimx + F (−x)e−imx ]dx = 2πir,(16)0гдеr — сумма вычетов функции (15) в верхней полуплоскости.Рассмотрим два частных случая. Положим сперва, что F (z) —функция четная, т. е. что F (−z) = F (z), при этом предыдущаяформула дает∞F (x) cos mx dx = πir.(17)0Если же F (z) — функция нечетная, т. е.
если F (−z) = −F (z), топредыдущая формула дает∞F (x) sin mx dx = πr.(18)0П р и м е р I. Рассмотрим интеграл∞cos mxdx (a > 0; m > 0).x2 + a20В данном случае функция1a2 + z 2удовлетворяет, очевидно, поставленным выше двум условиям и является функцией четной, так что мы имеем возможность применить формулу (17). Единственный полюс функцииeimzf (z) = 2(19)a + z2в верхней полуплоскости есть простой полюс z = ia. Мы можем определитьвычет в этом полюсе по тому правилу, которое уже применяли и которое можноформулировать кратко как правило: числитель, деленный на производную отзнаменателя.
В данном случае это правило дает следующее выражение длявычета функции (19):e−mar=,i2aF (z) =59]Некоторые новые типы интегралов . . .265и мы окончательно получаем∞0π −macos mxedx =.x2 + a22a(20)П р и м е р II. Рассмотрим интеграл∞0x sin mxdx.(x2 + a2 )2В данном случае будет применима формула (18), и функцияf (z) =zeimz(z 2 + a2 )2будет иметь единственный полюс z = ia в верхней полуплоскости второй кратности. Вычет в этом полюсе будет определяться по формулеdzeimz2 r=(z−ia)222dz (z + a )z=iaилиr=m −madzeimz e=,2dz (z + ia) z=ia4aоткуда непосредственно получаем окончательный результат:∞0πm −max sin mxedx =.(x2 + a2 )24a(21)З а м е ч а н и е. Заметим, что формулу (13) мы не имеем права,вообще говоря, писать в виде+∞f (x)dx = 2πir.−∞Действительно, интеграл между бесконечными пределами+∞f (x)dx−∞(22)266Гл. III.
Применение теории вычетов, целые и дробные функции [60определяется как сумма пределов интеграловR0t(x)dxf (x)dxи0−Rпри стремлении R к +∞. Если этих пределов в отдельности нет,но сумма написанных интегралов стремится к конечному пределу,т. е. существует конечный пределRlimR→+∞−Rf (x)dx,то этот предел называется главным значением интеграла по бесконечному промежутку и его обозначают следующим образом:+∞Rv.
p.f (x)dx = limf (x)dx.−∞R→+∞−R(23)В формуле (13) мы должны интеграл рассматривать в смысле главного значения. Но если из каких-либо соображений мы знаем, чтоинтеграл этот существует как обычный несобственный интеграл, тоэтого не надо делать, так как в этом случае интеграл в смысле главного значения совпадает с обычным несобственным интегралом. В[26] мы определили главное значение интеграла в том случае, когдаf (x) терпит разрыв непрерывности в какой-либо точке на конечномрасстоянии.60. Лемма Жордана. Можно облегчить те условия, которыемы наложили на функцию F (z) в предыдущем номере для того,чтобы формулы (17) и (18) имели место. Для этого докажем важную для дальнейшего лемму.Л е м м а Ж о р д а н а. Если F (z) в верхней полуплоскости ина вещественной оси удовлетворяет условию: F (z) → 0 равномерно при z → ∞ и m есть некоторое положительное число,60]Лемма Жорданато при R → +∞267F (z)eimz dz → 0,(24)CRгде CR есть полуокружность с центром в начале координат ирадиусом R, находящаяся в верхней полуплоскости.Вводя полярные координаты z = Reiϕ , перепишем интеграл (24)в видеπF (Reiϕ )eimR(cos ϕ+i sin ϕ) iReiϕ dϕ,0и отсюда, принимая во внимание, что |ieimR cos ϕ+iϕ | = 1, будемиметь π imz F (z)e dz < F (Reiϕ )e−mR sin ϕ R dϕ,0CRили π F (z)eimz dz max F (z) e−mR sin ϕ R dϕ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
