1610915348-99a8a2e15f9c5b33e840849c87014c18 (824742), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Уравнение (179) или (180) приводит в соответствие лучам этого пучкакомплексные значения плоскости θ с разрезом (−a, a). Пользуясьформулой (180), нетрудно проследить это соответствие более подробно. Отметим некоторые существенные факты, непосредственновытекающие из формулы (180). Прежде всего, отметим, что лучам,образующим поверхность конического пучка, т. е.
лучам, которыеудовлетворяют равенствуξ 2 + η2 =1a2или x2 + y 2 =1 2t ,a2соответствуют точки разреза плоскости θ. Оси нашего конического пучка, которая характеризуется значениями x = y = 0 илиξ = η = 0, соответствует бесконечно далекая точка плоскости θ. Наконец, отметим еще, что тем лучам, которые находятся в плоскостиy = 0 и для которых η = 0, соответствуют вещественные значенияθ, по абсолютному значению большие a, т. е. соответствуют точки,лежащие на вещественной оси плоскости θ и находящиеся вне разреза (−a, a). Если мы разделим наш конический пучок плоскостьюy = 0 на две части, то одной из них будет соответствовать верхняяполуплоскость θ и другой — нижняя полуплоскость, а именно: тойполовине, где y > 0, будет соответствовать нижняя полуплоскость,а там, где y < 0, — верхняя полуплоскость.Если мы возьмем решение уравнения (173), построенное указанным выше способом, т.
е. являющееся вещественной частью некоторой аналитической функции f (θ), то такое решение будет иметьпостоянное значение на каждом из вышеуказанных лучей.Исследуем теперь значения θ для точек пространства (S), которые лежат вне упомянутого конического пучка, т. е. для всех точек,53]Основная теорема239в которых выполнено неравенствоξ 2 + η2 >1a2или x2 + y 2 >1 2t .a2Уравнение (179) даст нам при этом два вещественных корня,принадлежащих отрезку (−a, a):ξ ± η a2 (ξ 2 + η 2 ) − 1xt ± yt a2 (x2 + y 2 ) − t2θ==.(183)ξ 2 + η2x2 + y 2Этот отрезок (−a, a) является разрезом на плоскости,и на про√тивоположных берегах этого разреза радикал a2 − θ2 имеет противоположные знаки, так что в уравнении (179) мы должны в данном случае принимать во внимание двойной знак радикала и вместе с тем в формуле (183) брать также оба знака у радикала. ПустьM0 (t0 , x0 , y0 ) — некоторая точка вне нашего конического пучка,а θ1 и θ2 — соответствующие значения θ, получаемые из формулы(183).
Если мы подставим эти значения θ = θ1 и θ2 в левую частьуравнения (179), то у нас получатся два вещественных уравненияпервой степени относительно t, x и y, и, следовательно, мы будемиметь две плоскости, проходящие через точку M0 . Мы можем выразить это и иначе, а именно: всякому значению θ = θ0 , находящемусяна разрезе (−a, a), соответствует некоторая плоскость P пространства (S).
Пусть λ — та образующая нашего конического пучка, которая соответствует точке θ = θ0 разреза. Плоскость P должна,очевидно, содержать в себе эту образующую λ. Нетрудно показать,что плоскость P будет касательной плоскостью к поверхности нашего конического пучка вдоль образующей λ. Действительно, еслибы плоскость P не была касательной к поверхности конуса вдоль λ,то она пересеклась бы с этой поверхностью и часть плоскости попала бы внутрь конического пучка. Но тогда мы получили бы, чтоточкам, лежащим внутри конического пучка, соответствует вещественное θ = θ0 из промежутка (−a, a), что, как мы видели выше,не имеет места. Итак, каждому вещественному θ, находящемусяна разрезе (−a, a), в силу (179) соответствует плоскость, касательная к поверхности конического пучка вдоль той образующей,которая отвечает взятому значению θ.240Гл.
II. Конформное преобразование и плоское поле[53Вместо того чтобы говорить о коническом пучке и касательныхплоскостях к его поверхности, мы можем пользоваться и плоскимчертежом, а именно мы можем пересечь наш конический пучокнекоторой плоскостью, перпендикулярной к оси t. При этом самконический пучок изобразится некоторым кругом, а касательныеплоскости изобразятся касательными к окружности этого круга. Вчастности, мы можем воспользоваться переменными ξ и η для того,чтобы перейти к плоскому чертежу.
Вместо конического пучка мыбудем иметь на плоскости (ξ, η) круг K:ξ 2 + η2 1,a2(184)так что каждой точке этого круга будет соответствовать определенный луч нашего пучка и наоборот. Касательной к окружностинашего круга будет соответствовать упомянутая выше касательнаяплоскость к поверхности пучка. Полуплоскости η > 0 будет соответствовать та часть пространства, где y > 0. Оси η = 0 будетсоответствовать плоскость y = 0.Пусть f (θ) — аналитическая однозначная функция на плоскостиθ с разрезом (−a, a).
Возьмем соответствующее решение уравнения(173):u = Ref (θ).(185)Это решение будет определено внутри нашего конического пучка или, для случая плоскости (ξ, η), в круге (184). Укажем один,важный в приложениях, способ продолжения этого решения внеконического пучка. Для этой цели проведем семейство касательных полуплоскостей к поверхности нашего конического пучка так,чтобы эти касательные полуплоскости шли в одном и том же направлении, т. е. соответствующие им касательные к окружностиξ 2 + η2 =1a2(186)имели вид, указанный на рис.
49. Эти касательные полуплоскостине будут пересекаться друг с другом и заполнят часть пространства (S), лежащую вне конического пучка. На каждой из такихполуплоскостей f (θ) сохраняет постоянное значение, и мы можем53]Основная теорема241определить однозначным образом решение u вне конического пучка, пользуясь той же самой формулой (185), которая нам даваларешение внутри конического пучка. В данном случае вне пучка решение будет сохранять постоянное значение уже не на лучах, а наполуплоскостях. Заметим, что мы можем, очевидно, двояким образом определять направление касательных к окружности (186) и,значит, получим два различных способа продолжения решения поуказанному выше методу.Рис. 49.Соответствующие поверхности конического пучка θ принадлежат разрезу −a < θ < a. Мы можем при этом разбить значениеu, определяемое формулой (185), на два вещественных слагаемых:u = u1 (θ) + u2 (θ), и продолжать одно из них по полукасательнымI (рис.
49), а другое — по полукасательным II. Это даст нам тоженекоторое решение уравнения вне круга. Мы имеем, таким образом,по существу, бесчисленное множество различных способов продолжения, причем при всех этих продолжениях сохраняется непрерывность решения u при переходе через окружность. В конкретныхзадачах способ продолжения определяется из рассмотрения движения фронта волны.Все предыдущее относилось к тому случаю, когда мы рассматривали решение во всем пространстве (S). Положим теперь, что насинтересует только полупространство y 0 или на плоскости (ξ, η)только полуплоскость η 0. Положим, что формула (185) даетнам решение в полукруге, причем это решение обращается в нульна некоторой дуге AB полуокружности так, как это изображено на242Гл.
II. Конформное преобразование и плоское поле[53рис. 50. В данном случае во многих задачах, связанных с распространением колебаний, мы приходим к однозначному продолжению решения (185), пользуясь полукасательными к окружности, изображенными на рис. 50,Рис. 50.т. е. соответствующими полуплоскостями, касательными к поверхности конического пучка. При этомрешение будет равно нулю вне контура A1 ABB1 A1 .Соображения, аналогичные предыдущим, применимы и к общему случаю уравнения (176), но при этом, конечно, вместо конического пучка мы будем иметь более сложный геометрический образ(семейство прямых с двумя параметрами), связанный с выборомфункции p(θ).Мы можем в уравнениях (176) или (177) выбирать вместо θ другую комплексную переменную z, связанную с θ некоторой аналитической функциональной зависимостью.
Укажем на один особенноудобный выбор комплексной переменной. Пусть z связана с θ формулойa1θ=z+.(187)2zПри этом, как мы знаем [35], вместо плоскости θ с разрезом (−a, a)мы будем иметь для переменной z единичный круг |z| 1. Пользуясь формулой (187), нетрудно видеть, что при нашем выборе значения радикала будет иметь место формула1az−.(188)a2 − θ 2 = i2zИсследуем в данном случае более подробно уравнение (177). Онобудет иметь видa1a1t−z+x+i z−y=02z2zилиa1a11 − (z +ξ+iz−η = 0,2z2z53]Основная теорема243что можно переписать следующим образом:a1a(ξ + iη) = 0.1 − z(ξ − iη) −22z(189)Введем для круга (184) полярные координаты по формулам1.ξ = ρ cos ϕ, η = ρ sin ϕ0ρaУравнение (189) перепишется при этом так:aρe−iϕ z 2 − 2z + aρeiϕ = 0,и мы имеем, очевидно, для z решение вида z = reiϕ , где r определяется из квадратного уравненияaρr2 − 2r + aρ = 0(0 r 1),т.
е. в данном случае каждой точке круга (184) (т. е. лучу) соответствует значение комплексного переменного z = reiϕ с тем же самымаргументом, и точкам окружности круга (186) соответствуют точкиединичной окружности с тем же самым аргументом. Иначе говоря,всякому радиусу круга (184) соответствует радиус единичного круга |z| 1 с тем же самым полярным углом.Указанные в настоящем пункте основные идеи приложениятеории функций комплексного переменного к решению волновогоуравнения (173) имеют обширные приложения в задачах распространения колебаний (акустических, электромагнитных), связанных с волновым уравнением, а также в более сложных задачах распространения упругих колебаний.
Предыдущий метод дает тольконекоторый класс решения уравнения (173), но, как оказывается, вэтот класс входят решения имеющие важное физическое значение,и, пользуясь этим классом решений, можно доводить до конца ввиде, удобном для вычисления, задачи, связанные с отражением идифракцией волн.Уравнение (173) есть волновое уравнение для плоского случая (цилиндрические волны), но, пользуясь принципом наложения,можно, из решений указанного выше типа составлять новые решения и исследовать таким образом волновое уравнение и в общем244Гл. II. Конформное преобразование и плоское поле[54случае трехмерного пространства.
Обоснование изложенного вышеметода можно найти в работах С. Л. Соболева и автора, напечатанных в «Трудах Сейсмологического института Академии наукСССР». Его применение к конкретным задачам находится в работах Е. А. Нарышкиной и С. Л. Соболева. Не вдаваясь в подробности,которые завели бы нас слишком далеко и потребовали бы много места, мы изложим весьма кратко применение этого метода к двумзадачам: к задаче дифракции плоской волны и к задаче отраженияупругих колебаний от плоской границы.54.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
