1610915348-99a8a2e15f9c5b33e840849c87014c18 (824742), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Решая эти уравнения, получаем выражения для55]Отражение упругих волн от прямолинейной границы253производных искомых функций:√√⎫−(2θ 2 − b2 )2 + 4θ 2 a2 − θ 2 b2 − θ 2 ⎪Φ (θ),⎪⎪⎬F (θ)√2222⎪4θ(2θ − b ) a − θ ⎪⎪⎭Φ (θ),Ψ1 (θ) = −F (θ)Φ1 (θ) =гдеF (θ) = (2θ 2 − b2 )2 + 4θ 2a2 − θ 2b2 − θ 2 .(208)(209)Для решения задачи нам и интересны только производные от потенциалов.Согласно формулам (195) будем иметь для смещений следующие формулы∂θ∂θ1∂θ2 ⎫u = Re Φ (θ)⎪+ Φ1 (θ1 )+ Ψ1 (θ2 ),⎪∂x∂x∂y ⎬(210)∂θ∂θ1∂θ2 ⎪⎭+ Φ1 (θ1 )− Ψ1 (θ2 ).⎪v = Re Φ (θ)∂y∂y∂xЕсли через рассматриваемую точку M (t, x, y) не проходит падающий илиотраженный луч, то в выражениях (210) мы должны вычеркнуть соответствующее слагаемое. Отметим одно важное обстоятельство, а именно: согласно условию вещественная часть Φ (θ) равна нулю при −a < θ < a.
Из формул (208) иочевидного в силу (198) соотношения b > a непосредственно следует, что то жебудет иметь место для Φ1 (θ) и Ψ1 (θ), так что отраженные потенциалы ϕ1 и ψ1 ,также будут постоянными на поверхностях отраженных пучков лучей, и мыможем их считать равными нулю как на этих поверхностях, так и вне пучков.Если бы мы стали рассматривать источник колебания не продольного, апоперечного типа, то картина получилась бы несколько иной. В этом случаенам был бы задан потенциал поперечных колебаний как вещественная частьнекоторой аналитической функцииψ = Re[Ψ(θ)],(211)регулярной на плоскости θ с разрезом (−b, b), причем комплексная переменнаяθ определяется уравнениемt − θx + b2 − θ 2 (y − y0 ) = 0(212)и вещественная часть Ψ(θ) равна нулю при −b < θ < b. Мы должны были быискать отраженные продольные и поперечные потенциалы в видеϕ1 = Re[Φ1 (θ1 )], ψ1 = Re[Ψ1 (θ2 )],где θ1 и θ2 определяются уравнениямиt − θ1 x − a2 − θ12 y − b2 − θ12 y0 = 0,t − θ2 x − b2 − θ22 (y + y0 ) = 0.(213)(214)(215)254Гл.
II. Конформное преобразование и плоское поле[55Совершенно так же, как и выше, мы получили бы для функций, входящихв выражения (213), вместо формул (208) следующие:√⎫4θ(2θ 2 − b2 ) b2 − θ 2 ⎪⎪Φ1 (θ) =Ψ (θ),⎪⎬F (θ)(216)√√⎪−(2θ 2 − b2 )2 + 4θ 2 a2 − θ 2 b2 − θ 2 ⎪⎭Ψ (θ).⎪Ψ1 (θ) =F (θ)В данном случае разрез на плоскости θ, точки которого соответствуют лучам, лежащим на поверхности конического пучка, будет −b < θ < √b. Коэффициенты при Ψ (θ) в обоих выражениях (216) содержат радикал a2 − θ 2 ,а потому эти коэффициенты, оставаясь вещественными при −a < θ < a, ужеперестанут быть вещественными при −b < θ < −a и a < θ < b.
При этом произведение мнимой части коэффициента на мнимую часть Ψ (θ) даст для Φ1 (θ)и Ψ1 (θ) вещественную часть, отличную от нуля при−b < θ < −aиa < θ < b.(217)Если мы подставим такое значение θ в левую часть уравнения (214), то этоуравнение после отделения вещественной и мнимой частей распадется на двауравнения:t − θx − b2 − θ 2 y0 = 0, y = 0,т. е. для отраженного продольного потенциала эти критические лучи, на которых потенциал будет отличным от нуля, не попадут внутрь среды, а будутидти в плоскости y = 0 (рис. 54).
Дляотраженного поперечного потенциалаотраженный пучок лучей, определяемый уравнением (215), будет просто коническим пучком с вершиной t = x = 0,y = −y0 , и вдоль тех образующих поверхности этого пучка, которые соответствуют значениям θ, удовлетворяющим условиям (217), значения отраженного потенциала будут отличны от нуля.В данном случае нам придется, следовательно, продолжить отраженный поперечный потенциал и вне указанногоконического пучка тем методом, о котором мы упоминали в [53].
Это обстоятельство имеет простое механическоеРис. 54.значение, а именно: поперечные волны,исходящие из источника колебания, падая на границу y = 0, вызывают отраженные продольные волны, которые, распространяясь вдоль границы быстрее,чем поперечные, вызывают, в свою очередь, поперечную волну, которая как бызабегает вперед по отношению к отраженной по обычному закону поперечнойволне.55]Отражение упругих волн от прямолинейной границы255Мы ограничиваемся этими краткими указаниями и не останавливаемся наподробном механическом исследовании формул (208) и (216). Заметим только,что знаменатель F (θ), определяемый уравнением (209), имеет вещественныйкорень θ = ±c, удовлетворяющий неравенству c > b, и наличие этого корнядаст то явление, которое обычно называется явлением поверхностных волн.Г Л А В А IIIПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ВЫЧЕТОВ,ЦЕЛЫЕ И ДРОБНЫЕ ФУНКЦИИ56.
Интеграл Френеля. В [2] была доказана основная теоремао вычетах, которая является исходным моментом при применениитеории аналитических функций к различного рода вычислительным процессам и аналитическим представлениям функций. Мы будем дальше заниматься задачами вычисления определенных интегралов, интегрирования линейных дифференциальных уравнений,разложения функций в бесконечные ряды и представления функций контурными интегралами.Начнем с вычисления определенного интеграла вида [II, 86]∞sin(x2 )dx,(1)0который называется обычно интегралом Френеля и встречается в задаче дифракции света.
Рассмотрим интеграл2e−z dz,(2)lгде l — замкнутый контур, состоящий из отрезка OA вещественной оси дуги ABокружности с центром O и радиуса R = OA и отрезка прямой BO, причем мыберем угол AOB равным π/4. Внутри этого контура подынтегральная функция2e−z не имеет вовсе особых точек, а потому величина интеграла (2) равна нулю.Разобьем этот интеграл на три части соответственно трем, указанным выше,кускам контура. Вдоль OA переменная z будет вещественной, и мы положимz = x, причем 0 x R. Вдоль BO мы имеем z = xei π/4 , z 2 = ix2 и dz =ei π/4 dx.
Наконец, вдоль AB имеем:π,z = Reiϕ 0 ϕ 456]Интеграл Френеля257откуда z 2 = R2 ei2ϕ и dz = iReiϕ dϕ. Таким образом, мы получаем следующееравенство:R2πe−x dx + ei 4002e−ix dx +π/42iRe−R (cos 2ϕ+i sin 2ϕ)+iϕ dϕ = 0.(3)0RПокажем, что третий из написанных выше интегралов стремится к нулю прибеспредельном возрастании R. Принимая во внимание, что eτ при чисто мнимом τ по модулю дает единицу, и заменяя подынтегральную функцию в интеграле ее модулем, мы придем к неравенству вида π/4π/42−R2 (cos 2ϕ+i sin 2ϕ)+iϕiRedϕ<Re−R cos 2ϕ dϕ.00Докажем, что выражение, стоящее справа, стремится к нулю при R → ∞.Вводя вместо ϕ новое переменное ψ = 2ϕ и отбрасывая постоянный множитель,не играющий роли, мы получим выражениеRπ/22e−R cos ψ dψ.0Разделим промежуток интегрирования на две части (0, α) и (α, π/2), гдеα — некоторое число, лежащее между 0 и π/2:Rπ/2π/2α222e−R cos ψ dψ =Re−R cos ψ dψ +Re−R cos ψ dψ.00(4)αВ первом из написанных интегралов заменим отрицательный показательнаибольшим из его значений, т.
е. наименьшим по абсолютной величине, аименно значением (−R2 cos α). Подынтегральную функцию второго интегралаумножим на дробь sin ψ/ sin α, которая все время больше единицы в промежутке α < ψ < π/2. Таким образом, увеличивая сумму (4), мы придем к суммевидаπ/2αsin ψ −R2 cos ψ−R2 cos αeRedψ +Rdψ,sin α0αи нам достаточно показать, что эта последняя сумма стремится к нулю. Но обаинтеграла, входящих в эту сумму, вычисляются до конца, и сумма их имеетвид22211 − e−R cos αψ= π[e−R cos ψ ]ψ=α2 = αRe−R cos α +,R sin αR sin αоткуда непосредственно и следует, что она стремится к нулю при беспредельномвозрастании R. Таким образом, мы показали, что третье слагаемое в левойαRe−R2cos α+258Гл. III.
Применение теории вычетов, целые и дробные функции [57части (3) стремится к нулю при R → ∞. Первое же из слагаемых левой частиимеет предел∞2e−x dx,0√который, как мы знаем [II, 81], равен 1/2 π. Можно, следовательно, утверждать, что и второе слагаемое имеет определенный предел, причем в пределеполучаем равенство1√π+2√ 0222+ie−ix dx = 022√∞или, отделяя вещественную и мнимую части под знаком интеграла,√ ∞√1√22+i[cos(x2 ) − i sin(x2 )]dx =π.2220Приравнивая вещественные и мнимые части, находим отсюда непосредственновеличину интеграла Френеля:∞∞1 π.(5)cos(x2 )dx =sin(x2 )dx =2 20057. Интегрирование выражений с тригонометрическимифункциями.
Рассмотрим теперь интегралы вида2πR(cos x, sin x)dx,(6)0где R(cos x, sin x) — рациональная функция от cos x и sin x. Введем вместо вещественной переменной x комплексную переменнуюz = eix . При изменении x в промежутке (0, 2π) комплексная переменная z пробегает, очевидно, единичную окружность. Кроме того,согласно формулам Эйлера, мы можем написатьcos x =z + z −1,2sin x =z − z −12iи, кроме того, очевидно, dx = 1/(iz) dz. Подставляя все это в (6),мы получим интеграл от рациональной дроби по единичной окружности |z| = 1, которую будем обозначать через C.57] Интегрирование выражений с тригонометрическими функциями259Этот интеграл равен произведению 2πi на сумму вычетовподынтегральной функции относительно полюсов, лежащих внутри единичной окружности.П р и м е р I.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
