1610915347-b0cdcab04f9552ce71235da8ebe43143 (824740), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

. + a2k xk = b2 − a2,k+1 xk+1 − . . . − a2n xn , ⎬............................................................ ⎪⎪⎪⎭ak1 x1 + ak2 x2 + . . . + akk xk = bk − ak,k+1 xk+1 − . . . − akn xn .(12)Будем рассматривать эти уравнения как систему для определения x1 , x2 , . . . , xk . Ее определитель Δ уже отличен от нуля, и мыможем получить для нее одно определенное решение согласно формуле Крамера. Заметим только, что свободные члены последней9]§ 2. Решение систем уравнений51системы содержат буквы xk+s , . . . , xn , которым можно придаватьлюбые значения.

Из формул Крамера непосредственно вытекает,что решение системы (12) будет иметь вид(j)xj = αj + βk+1 xk+1 + . . . + βn(j) xn(j = 1, 2, . . . , k),(13)(q)где αs и βp — некоторые численные коэффициенты и xk+1 , . . . , xnостаются произвольными. Из предыдущего вытекает, что эти формулы и дают самое общее решение системы (6) при сделанном предположении о равенстве нулю всех характеристических определителей.Т е о р е м а II. Если все характеристические определители системы равны нулю, то достаточно решить лишь те уравнениясистемы, которые содержат главный определитель относительно тех неизвестных, коэффициенты которых и составляют этотглавный определитель. Это решение может быть произведенопо формулам Крамера и дает выражение для k неизвестных (гдеk — ранг таблицы коэффициентов) в виде линейных функций (13)остальных (n − k) неизвестных, значения которых остаются совершенно произвольными.

Таким образом получаются все решениясистемы (6).Сравнивая теоремы I и II, приходим к выводу:Т е о р е м а III. Необходимым и достаточным условием существования решений системы (6) является равенство нулю всеххарактеристических определителей этой системы.Заметим, что если k = n, т. е. если ранг равен числу неизвестных, то формулы (13) вовсе не содержат в правых частях xj , и всенеизвестные от x1 до xn вполне определяются.Т е о р е м а IV.

Для того чтобы система имела одно определенное решение, необходимо и достаточно, чтобы все характеристические определители были равны нулю и чтобы ранг таблицы еекоэффициентов был равен числу неизвестных.Заметим, что все предыдущие рассуждения годятся, очевидно, идля того случая, когда число уравнений равно числу неизвестных,т. е. когда m = n.П р и м е р. Рассмотрим систему четырех уравнений с тремя неизвестнымиx − 3y − 2z = −1,52Гл. I.

Определители и решение систем уравнений[102x + y − 4z = 3,x + 4y − 2z = 4,5x + 6y − 10z = 10.Напишем таблицу ее коэффициентов: 1 −3−2 21−4 .14−2 56−10Нетрудно убедиться, что все определители третьего порядка, входящие вэту таблицу, равны нулю и что определитель второго порядка, стоящий в левомверхнем углу, отличен от нуля. Таким образом, его можно принять за главныйопределитель, и ранг системы будет равен двум. Составляем характеристические определители.

Их будет в данном случае два:1 −3 −11 −3 −1Δ3 = 213 = 0; Δ4 = 213 = 0.1544610Оба они равны нулю, и, следовательно, данная система совместна. Поэтому достаточно решить первые два уравнения относительно x и y, перенося zнаправо:x − 3y = 2z − 1, 2x + y = 4z + 3.Решение получится в виде2z − 1 −34z + 318x== 2z + ,1 −37211 2z − 12 4z + 35 = ,y= 1 −3721причем z — произвольно.10. Однородные системы. Система называется однородной,если в ней все свободные члены bi равны нулю. Если такая однородная система имеет характеристические определители, то их последний столбец состоит из нулей, и они все равны нулю.

Совершенноочевидно, что всякая однородная система имеет решениеx1 = x2 = . . . = xn = 0,которое в дальнейшем мы будем называть нулевым. Для однородной системы основным является вопрос о том, имеет ли она решения, отличные от нулевого, и если имеет, то какова будет совокупность всех таких решений. Рассмотрим сначала тот случай, когда10]§ 2.

Решение систем уравнений53число уравнений равно числу неизвестных. Система будет иметьвид⎫a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = 0, ⎪⎪⎪a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = 0, ⎬(14). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .⎪⎪⎪⎭an1 x1 + an2 x2 + . . . + ann xn = 0.Если определитель этой системы отличен от нуля, то, согласнотеореме Крамера, эта система имеет одно определенное решение, аименно в данном случае нулевое решение. Если же этот определитель равен нулю, то ранг k таблицы коэффициентов будет меньшечисла неизвестных n и, следовательно, значения (n−k) неизвестныхостанутся совершенно произвольными, и мы будем иметь бесчисленное множество решений, отличных от нулевого.

Мы приходимтаким образом к следующей основной теореме:Т е о р е м а I. Для того чтобы система (14) имела решение,отличное от нулевого, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель равнялся нулю.Проведем параллель тех результатов, которые мы получили длянеоднородной системы (1) и однородной системы (14). Если определитель системы отличен от нуля, то неоднородная система (1) имеетодно определенное решение, а однородная система — только нулевоерешение. Если же определитель системы равен нулю, то однородная система (14) имеет решения, отличные от нулевого, но при этомусловии неоднородная система (1), вообще говоря, вовсе решенияне имеет, ибо для того, чтобы она имела решение, необходимо, чтобы свободные ее члены были выбраны так, чтобы они обращали внуль все характеристические определители.

Приведенный параллелизм результатов будет играть в дальнейшем существенную роль.В вопросах физики однородные системы встретятся при рассмотрении собственных колебаний, а неоднородные — при рассмотрениивынужденных колебаний, и указанный выше случай равенства нулю определителя будет характеризовать для однородной системыналичие собственных колебаний, а для неоднородной системы — явление резонанса.Переходим теперь к более подробному рассмотрению решениясистемы (14), когда ее основной определитель равен нулю.

Пусть54Гл. I. Определители и решение систем уравнений[10k есть ранг таблицы ее коэффициентов, причем, очевидно, k < n.Согласно доказанной в предыдущем номере теореме, мы должнывзять те k уравнений, которые содержат главный определитель, ирешить их относительно k неизвестных. Положим, не ограничиваяобщности, что эти неизвестные будут x1 , .

. . , xk . Решения получатся в виде(j)xj = βk+1 xk+1 + . . . + βn(j) xn(j = 1, 2, . . . , k),(15)(q)где βp — определенные численные коэффициенты и xk+1 , . . . , xnмогут принимать произвольные значения.Отметим одно общее свойство решения системы (14), непосредственно вытекающее из линейности и однородности этой системы,и которое может быть названо принципом наложения решений, аименно: если мы имеем несколько решений системы(2)(3)(l)xs = x(1)s ; xs = xs ; xs = xs ; . . . ; xs = xs(s = 1, 2, . . . , n),(16)то, умножая их на произвольные постоянные и складывая, мы получим также решение системы(2)(3)(l)xs = C1 x(1)s + C2 xs + C3 xs + . .

. + Cl xs(s = 1, 2, . . . , n).Поступая аналогично тому, как это мы делали для линейных дифференциальных уравнений [II, 27], назовем решения (16) линейнонезависимыми, если не существует никаких значений постоянныхCi , среди которых есть отличные от нуля, таких, что при всяком sимеют место равенства:lCi x(i)s = 0.i=1Нетрудно построить (n − k) линейно независимых решений системы таких, что, умножая их на произвольные постоянные и складывая, получим все решения системы. Действительно, обратимся кформулам (15), дающим общее решение системы, и построим на основе этих формул решения следующим образом: в первом решении11]§ 2. Решение систем уравнений55положим xk+1 = 1, а все остальные xk+s равными нулю; во второмрешении положим xk+2 = 1, а все остальные xk+s равными нулю ит.

д. и, наконец, в последнем (n−k)-м решении положим xn = 1 и всеостальные xk+s равными нулю. Нетрудно видеть, что построенныерешения линейно независимы, так как каждое из них содержит одно из неизвестных равным единице, которое в остальных решенияхравно нулю. Обозначим полученные решения следующим образом:xs = x(k+1); xs = x(k+2); . .

. ; xs = xs(m)ss(s = 1, 2, . . . , n).Возьмем теперь какое-нибудь решение системы (14). Оно получается по формулам (15) при некоторых частных значениях:xk+1 = γk+1 ; xk+2 = γk+2 ; . . . ; xn = γn .Непосредственно очевидно, что это решение есть линейная комбинация построенных нами решений, а именно:xs = γk+1 x(k+1)+ γk+2 x(k+2)+ . . .

+ γn xs(n)ss(s = 1, 2, . . . , n).Мы вернемся к исследованию решений однородной системы (14)и покажем, что при любом выборе линейно независимых решенийих общее число будет равно (n − k).Обратимся к общему случаю m однородных уравнений с n неизвестными. Если m < n, то ранг k, который не может превышатьm, также будет меньше n, и (n − k) неизвестных останутся произвольными, т. е. если число однородных уравнений меньше числанеизвестных, то система имеет решения, отличные от нулевого.Вообще k n и при k = n система будет иметь только нулевоерешение.11.

Линейные формы. С вопросом о решении систем уравнений первой степени тесно связано исследование систем линейныхформ. Под линейной формой переменных x1 , x2 , . . . , xn мы подразумеваем линейную однородную функцию этих переменных. Пустьимеются m таких линейных форм:ys = as1 x1 + as2 x2 + . . .

+ asn xn(s = 1, 2, . . . , m).(17)56Гл. I. Определители и решение систем уравнений[11Написанные формы называются линейно независимыми, если существуют постоянные α1 , α2 , . . . , αm , среди которых есть отличные от нуля, такие, что имеет место, тождественно относительнопеременных x1 , x2 , . . . , xn , соотношение:α1 y1 + α2 y2 + . . .

+ αm ym = 0.Если таких постоянных нет, то формы (17) называются линейнонезависимыми. Мы должны в написанном тождестве приравнятьнулю коэффициенты при всех переменных xl . Таким образом, написанное тождество равносильно следующей системе n равенств:α1 a11 + α2 a21 + . . . + αm am1 = 0,α1 a12 + α2 a22 + .

. . + αm am2 = 0,.................................α1 a1n + α2 a2n + . . . + αm amn = 0.Формы ys линейно независимы тогда и только тогда, когда этасистема однородных уравнений относительно α1 , α2 , . . . , αm имеет только нулевое решение. Полученные выше результаты приводят к ряду следствий, касающихся линейной зависимости форм.Если m > n, то написанная однородная система имеет, наверно,не нулевые решения, и формы линейно зависимы. Для того чтобы формы были независимыми, необходимо и достаточно, чтобыранг k таблицы коэффициентов apq был равен числу форм m.

Характеристики

Список файлов книги