1610915347-b0cdcab04f9552ce71235da8ebe43143 (824740), страница 68
Текст из файла (страница 68)
III. Основы теории групп и линейные представления групп [90Инвариантный интеграл в параметрах (α, β, γ) записывается при этом в виде1(280)f (α, β, γ) sin β sin2 (α − γ)dα dβ dγ,2Vпричем 0 α < 2π, 0 β < π, 0 γ < 2π. Отметим, что в интеграле (279)функция11= !a021 − a1 − a22 − a23обращается в бесконечность, если ω = π.
Это связано с тем, что в формулах(276) для a1 , a2 , a3 вместо ω стоит sin 12 ω. Отметим в связи с этим, что тесвойства, о которых говорилось в [89] в связи с определением компактности,должны быть выполнены лишь при некотором выборе параметров. При перемене параметров эти свойства могут уже потеряться. Кроме того, для группывращения трехмерного пространства будет иметь место особенность в непрерывности и определении производных, о которых мы уже упоминали в концепервого примера в связи с группой вращения плоскости вокруг начала.Отметим еще, что совпадение инвариантных интегралов для группы вращения пространства может быть непосредственно связано с тем, что это — простаяне абелева группа.3.
Легко непосредственным вычислением проверить совпадение левоинвариантного и правоинвариантного интеграла для группы Лоренца, которая, какмы видели, гомоморфна группе линейных преобразований с определителемединица:x1 = a0 x1 + a1 x2 ,(a0 a3 − a1 a2 = 1).(281)x2 = a2 x1 + a3 x2Единичному элементу соответствуют значения a0 = a3 = 1, a1 = a2 = 0.
Можно считать a0 функцией a1 , a2 , a3 и принять за параметры вещественные имнимые части величин a1 , a2 и a3 − 1. Групповая операция сводится к умножению матриц второго порядка, и мы имеем:c0 = b0 a0 + b1 a2 , c1 = b0 a1 + b1 a3 , c2 = b2 a0 + b3 a2 , c3 = b2 a1 + b3 a3 .
(282)Если положить ak = αk + iαk (k = 0, 1, 2, 3), то параметрами группы будутα1 , α2 , α3 , α1 , α2 , α3 . Полагая далее bk = βk + iβk и ck = γk + iγk , мыдля определения инвариантного интеграла должны вычислить функциональные определители:D(γ1 , γ2 , γ3 , γ1 , γ2 , γ3 )D(β1 , β2 , β3 , β1 , β2 , β3 )приβ1 = β2 = β1 = β2 = β3 = 0;β3 = 1D(γ1 , γ2 , γ3 , γ1 , γ2 , γ3 )D(α1 , α2 , α3 , α1 , α2 , α3 )приα1 = α2 = α1 = α2 = α3 = 0;α3 = 1,илипричем несуществен тот факт, что α3 = 1, а не нулю для тождественного преобразования группы. В обоих случаях мы получаем один и тот же инвариантный90]§ 7. Непрерывные группыинтеграл:f (α1 , α2 , α3 , α1 , α2 , α3 )V1α32 + α3 2dα1 dα2 dα3 , dα1 dα2 dα3 .393(283)Область V есть полное шестимерное пространство.
Совпадение инвариантныхинтегралов связано с тем, что для группы (281) подгруппа G , образованная−1производящими элементами Gα Gβ G−1α Gβ , о которой мы говорили в [89], совпадает с самой группой. Нетрудно показать, действительно, что G не сводитсяк тождественному преобразованию или к нормальному делителю, образованному элементами E и (−E). Фактическое вычисление плотности в инвариантноминтеграле (283) можно просто провести на основании леммы, в которой используется понятие аналитической функции нескольких комплексных переменных(см. главу IV второй части этого тома).Л е м м а.
Пусть ws = us + ivs (x = 1, 2, . . . , k) суть аналитическиефункции комплексных переменных zs = xs + iys (s = 1, 2, . . . , k). При этомфункциональный определитель функций (u1 , v1 , . . . , uk , vk ) по переменным(x1 , y1 , . . . , xk , yk ) равен квадрату модуля функционального определителяфункций по (w1 , . . .
, wk ) по переменным (z1 , . . . , zk ).Мы имеем (см. главы I и IV второй части этого тома):и можем написать:∂vi∂ui=;∂xk∂yk∂vi∂ui=−∂xk∂yka12 b12 . . .a1k b1k a11 b11 −b11 a11 −b12 a12 . . . −b1k a1k D(u1 , v1 , . . . , uk , vk )= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .D(x1 , y1 , . . . , xk , yk )abab...ab k1k1k2k2kkkk −bk1 ak1 −bk2 ak2 . . .
−bkk akkгде∂ui∂vi; bik =.∂xk∂xkДобавляя к каждому нечетному столбцу четный, умноженный на i, получим определитель:b11c12b12 . . . c1kb1k c11 ic11 a11 ic12 a12 . . . ic1k a1k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (cik = aik + ibik ).cbcb...cb k1k1k2k2kkkk ick1 ak1 ick2 ak2 . . . ickk akkaik =Далее, отнимая от каждой четной стороны строки нечетную, умноженную наi, получим: c11 b11 c12 b12 . .
. c1k b1k c110c12 . . .0c1k 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .ck1 bk1 ck2 bk2 . . . ckk bkk 0ck10ck2 . . .0ckk 394Гл. III. Основы теории групп и линейные представления групп [90Вынося налево все нечетные столбцы и наверх все нечетные строки, будемиметь: c11 c12 . . . c1k b11 b12 .
. . b1k c21 c22 . . . c2k b21 b22 . . . b2k ...........................................ck1 ck2 . . . ckk bk1 bk2 . . . bkk ,0...0c11 c12 . . . c1k 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .00...0ck1 ck2 . . .
ckk откуда и следует c11 . . . c1k c11 . . . c1k D(w1 , . . . , wk ) 2D(u1 , v1 , . . . , uk , vk ) .= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = D(x1 , y1 , . . . , xk , yk )D(z1 , . . . , zk ) c. . . c c... c k1kkk1kkПереходим к вычислению функции u(Gα ) в инвариантном интеграле. Дляэтого, согласно лемме, надо вычислить функциональный определитель:D(c1 , c2 , c3 )D(b1 , b2 , b3 )приb0 = b3 = 1;b1 = b2 = 0(284)a1 = a2 = 0.(285)илиD(c1 , c2 , c3 )при a0 = a3 = 1;D(a1 , a2 , a3 )Из соотношения a0 a3 − a1 a2 = 0 следует:−a2 + a3∂a0= 0;∂a1−a1 + a3∂a0= 0;∂a2a0 + a3∂a0= 0.∂a3Далее имеем:∂c1∂a1∂c2∂a1∂c3∂a1= b0 ;=0b2 ∂a;∂a1= b2 ;∂c1∂a2∂c2∂a2∂c3∂a2= 0;=0b2 ∂a∂a2= 0;+ b3 ;∂c1∂a3∂c2∂a3∂c3∂a3= b1 ;0= b2 ∂a;∂a3= b3 ,откуда и следует (283). Тот же результат мы получим и на основании формулы(284).Учебное изданиеСмирнов Владимир ИвановичКурс высшей математикиТом III, часть 1Лицензия ИД № 02429 от 24.07.00.
Подписано в печать 02.06.10.1Формат 60×90 /16. Печать офсетная. Усл. печ. л. 25.Тираж 1500 экз. Заказ №"БХВ-Петербург", 190005, Санкт-Петербург, Измайловский пр., 29.Санитарно-эпидемиологическое заключение на продукцию№ 77.99.60.953.Д.005770.05.09 от 26.05.2009 г. выдано Федеральной службойпо надзору в сфере защиты прав потребителей и благополучия человека.Отпечатано по технологии CtP в ОАО «Печатный двор» им.
А. М. Горького197110, Санкт-Петербург, Чкаловский пр., 15.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
