1610915347-b0cdcab04f9552ce71235da8ebe43143 (824740), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Непрерывные группы371В рассматриваемом случае r = 3, и если в уравнении (204) перейти к составляющим вектора x, то получатся 3n уравнений дляn составляющих вектораx (x1 , x2 , . . . , xn ).В дальнейшем для нас будет важно лишь то, что уравнение (204) неможет иметь более одного решения при заданном начальном условии (206). Как уже говорилось выше, это можно формулироватьтак: представление группы вращения вполне определяется своимибесконечно малыми преобразованиями I1 , I2 , I3 .Таким образом все сводится к определению бесконечно малыхпреобразований представления, к чему мы и переходим.
Вместо искомых матриц I1 , I2 , I3 вводим новые матрицы:A1 = −I2 + iI1 ; A2 = I2 + iI1 ; A3 = iI3 .(212)Легко проверить, что для них, вместо (211), получаются следующие соотношения:⎫A3 A1 − A1 A3 = A1 , ⎪⎬A3 A2 − A2 A3 = −A2 ,(213)⎪⎭A1 A2 − A2 A1 = 2A3 .В представлении матрицами F (α1 , α2 , α3 ) должно заключаться, в частности, и представление абелевой группы вращения вокруг оси Z, элементам которой соответствуют матрицы F (0, 0, α3 ).При помощи соответствующего выбора ортов все эти матрицы одновременно преобразуются к диагональной форме, ибо неприводимые представления абелевой группы суть представления первогопорядка.
Для векторов, которые при этом играют роль ортов, преобразование F (0, 0, α3 ) будет иметь вид [69]F (0, 0, α3 )v = elα3 vили, полагая l = −im и обозначая v через vm :F (0, 0, α3 )vm = e−imα3 vm .372Гл. III. Основы теории групп и линейные представления групп [85Поскольку мы поставили условие однозначности представлениятолько в окрестности αs = 0 (s = 1, 2, 3), мы не должны считать mцелым числом. Отсюда получаем, основываясь на определении I3 :∂ −imα∂3A3 vm = il3 vm = iF (0, 0, α3 )vm = ievm = mvm .∂α3∂α3Итак,A3 vm = mvm ,(214)т. е.
vm есть собственный вектор оператора A3 , соответствующий собственному значению m. Если таких собственных векторовнесколько, то через vm обозначаем один из них.Докажем теперь следующую лемму:Л е м м а. Если некоторый вектор v есть собственный вектороператора A3 , соответствующий собственному значению a, товектор A1 v, если он отличен от нулевого, есть также собственный вектор A3 , соответствующий собственному значению (a+1),и аналогично A2 v есть собственный вектор A3 , соответствующий собственному значению (a − 1).По условию леммы A3 v = av, мы получаем в силу (213):A3 (A1 v) = (A1 A3 + A1 )v = A1 (A3 v) + A1 v == A1 (av) + A1 v = (a + 1)A1 vи совершенно аналогично A3 (A2 v) = (a − 1)A2 v.Число различных собственных значений A3 не больше n. Средиэтих значений имеется одно или несколько с наибольшей вещественной частью.
Обозначим это собственное значение или одно из них,если их несколько, через j, и пусть vj — соответствующий собственный вектор (один из них, если их несколько). В силу леммы векторA1 vj должен был бы относиться к собственному значению (j + 1),но, согласно определению j, такого собственного значения у A3 нети, следовательно, мы должны иметь:A1 vj = 0.(215)В силу доказанной выше леммы векторы:vj−1 = A2 vj ; vj−2 = A2 vj−1 ; . .
. ,(216)85]§ 7. Непрерывные группы373если они отличны от нуля, относятся к собственным значениям(j − 1), (j − 2), . . . оператора A3 . Последовательность векторов(216) должна, конечно, привести к нулевому вектору, посколькучисло различных собственных значений у A3 не больше n. Докажем теперь формулуA1 vk = ρk vk+1(k = j, j − 1, j − 2, .
. .),(217)где ρk — некоторые целые числа. В силу (215) она верна при k = j,причем ρj = 0, а за vj+1 можно взять, например, нулевой вектор.Положим теперь, что формула (217) верна при некотором из указанных k, и докажем ее для значения (k − 1), на единицу меньшего.Имеем в силу (213), (216) и (217):A1 vk−1 = A1 (A2 vk ) = (A2 A1 + 2A3 )vk == A2 (A1 vk ) + 2A3 vk = A2 (ρk vk+1 ) + 2kvk = (ρk + 2k)vk .Отметим, что при k = j мы не пользуемся при этом формулойA2 vk+1 = vk ,ибо ρk = 0 при k = j.
Таким образом, формула (217) доказана, ичисла ρk определяются из соотношенийρk−1 = ρk + 2k; ρj = 0 (k = j, j − 1, . . .).Проводя последовательные вычисления, получаем:ρk = j(j + 1) − k(k + 1),т. е.A1 vk = [j(j + 1) − k(k + 1)]vk+1(k = j, j − 1, . . .).(218)Пользуясь этим равенством, определим значок s первого из векторов (216), равного нулю, т. е. vs = 0 и вектор vs+1 отличен отнулевого. Из (217) при этом следует ρs = 0, т. е.j(j + 1) − s(s + 1) = 0.374Гл.
III. Основы теории групп и линейные представления групп [85Это квадратное относительно s уравнение имеет корни s = j иs = −(j + 1). Значение s = j не годится, ибо вектор vj отличен отнулевого и не входит в последовательность (216). Таким образом впоследовательности (216) векторыvj , vj−1 , . . . , v−j+1 , v−j(219)отличны от нулевого, и A2 v−j = 0. Число этих векторов равно(2j + 1), откуда видно, что j есть или целое неотрицательное число,или половина нечетного положительного числа. Если 2j + 1 = n,то мы можем принять векторы (219) за основные орты в пространстве Rn , если же 2j + 1 < n, то они образуют в Rn некоторое подпространство L2j+1 . Положим, что мы имеем последнее. Каждыйвектор vk из последовательности (219) удовлетворяет уравнениюA3 vk = kvk(k = j, j − 1, . .
. , −j + 1, −j).Далее мы имеем A2 vk = vk−1 , причем vj−1 = 0, и формулу (218).Тем самым операторы A1 , A2 и A3 переводят подпространствоL2j+1 в себя, и данные формулы вполне определяют указанные операторы в подпространстве L2j+1 . Больше того, из формул (216) и(218) непосредственно следует, что никакое подпространство Lk ,лежащее в L2j+1 и для которого 0 < k < 2j + 1, не остается инвариантным при применении операторов A1 , A2 , A3 . Определив Ak ,мы можем для подпространства L2j+1 построить уравнения (204),которым должен удовлетворять векторx = Fj (α1 , α2 , α3 )u(220)искомого представления в подпространстве L2j+1 .
Это представление не может оставлять инвариантным никакое подпространствоLk , входящее в L2j+1 , т. е. представление неприводимо в L2j+1 , ибоесли бы это было так, то и всякое As , в силу их определения, должно было бы оставлять инвариантным Lk , что, как мы только чтовидели, не имеет места. Если 2j + 1 = n, то приведенное рассуждение относится ко всему Rn . При 2j + 1 < n мы отделили от общего представления в Rn неприводимое в указанном смысле представление порядка (2j + 1), т. е.
оно не оставляет инвариантным86]§ 7. Непрерывные группы375никакое подпространство Lk при 0 < k < 2j + 1. Из наших рассуждений непосредственно вытекает, что существует только однос точностью до подобных представлений неприводимое представление данного порядка. Но в [69] мы уже построили унитарныенеприводимые представления любого порядка.Тем самым они исчерпывают всевозможные неприводимыепредставления, и указанные выше представления, основанные напостроенных в L2j+1 операторах As , должны быть им подобны.Векторы (219) можно умножать на произвольные численныемножители, отличные от нуля.
При этом в соотношениях (216) и(218) также появятся численные множители. Указанные множители можно подобрать так, чтобы иметь окончательно следующиесоотношения:⎫A1 vk = j(j + 1) − k(k + 1)vk+1 ,⎪⎬(221)A2 vk = j(j + 1) − k(k − 1)vk−1 ,⎪⎭A3 vk = kvk ,причем vj+1 = 0 и v−j−1 = 0.При таком выборе множителей получатся те представления, которые мы построили в [69], исходя от величиныxj+l xj−lηl = 1 2.(j + l)!(j − l)!(222)Указанное выше построение дает возможность из любого представления выделять его неприводимые части.
Все сводится к отысканию собственных векторов vj оператора A3 с наибольшим собственным значением и построению (216).86. Представления группы Лоренца. Рассмотрим группулинейных преобразований с определителем единица:x1 = ax1 + bx2 ,(ad − bc = 1).x2 = cx1 + dx2 ,(223)Матрица преобразования содержит четыре комплексных коэффициента, между которыми имеется одно соотношение. Произвольными остаются три комплексные величины, что сводится к шести376Гл. III. Основы теории групп и линейные представления групп [86вещественным параметрам.
Введем эти параметры, принимая следующее обозначение для матрицы преобразования:1 + α1 + iα2 α3 + iα4 ,(224)A=α5 + iα6d(αs ) гдеd(αs ) =1 + (α3 + iα4 )(α5 + iα6 ).1 + α1 + iα2Мы получаем шесть бесконечно малых преобразований Ik , которыелегко построить. Например, для построения I1 надо в матрице Aположить все αs , кроме α1 , равными нулю, продифференцироватьматрицу по α1 и затем положить α1 = 0. Таким образом, будемиметь:1i0 100;; I2 = ; I3 = I1 = 0 −10 −i0 00 i 0 00 0.I4 = ; I5 = ; I6 = 0 01 0i 0(j)Структурные постоянные Cpq , входящие в соотношения (208), посамому их определению должны быть вещественными и могут бытьнайдены из этих соотношений:Ip Iq − Iq Ip =6(j) CpqIj(p < q; p, q = 1, 2, .
. . , 6).j=1При этом надо отметить, что между матрицами Ij не существует линейного соотношения (кроме тривиального) с вещественнымикоэффициентами, поэтому можно получить следующие пятнадцатьравенств:I1 I3 − I3 I1I1 I5 − I5 I1I3 I5 − I5 I3I2 I4 − I4 I2I2 I6 − I6 I2I4 I6 − I6 I4= 2I3 ,= −2I5 ,= I1 ,= −2I3 ,= 2I5 ,= −I1 ,I1 I4 − I4 I1I1 I6 − I6 I1I3 I6 − I6 I3I1 I2 − I2 I1I3 I4 − I4 I3I5 I6 − I6 I5= 2I4= −2I6 ,= I2 ,= 0,= 0,= 0.I2 I3 − I3 I2 = 2I4 ,I2 I5 − I5 I2 = −2I6 ,I4 I5 − I5 I4 = I2 .86]§ 7. Непрерывные группы377Если Ik (k = 1, 2, .
. . , 6) — бесконечно малые преобразованиядля любого представления исследуемой группы, то между нимитакже имеют место пятнадцать соотношенийIp Iq − Iq Ip =6(j)CpqIjj=1(j)с теми же коэффициентами Cpq . Если мы введем обозначенияI3 + iI4 = 2A1 ;I3 − iI4 = 2B1 ;I5 + iI6 = 2A2 ;I5 − iI6 = 2B2 ;I1 + iI2 = 4A3 ;I1 − iI2 = 4B3 ,(225)то упомянутые пятнадцать соотношений записываются в следующем виде:Ap Bq − Bq Ap = 0 (p, q = 1, 2, 3)(226)и, кроме того,A3 A1 − A1 A3 = A1 ,A3 A2 − A2 A3 = −A2 ,A1 A2 − A2 A1 = 2A3 ,(227)B3 B1 − B1 B3 = B1 ,B3 B2 − B2 B3 = −B2 ,B1 B2 − B2 B1 = 2B3 .(228)Отметим, что соотношения (226) и (227) выполняются тривиально,если взять матрицы Ik , ибо при этом Ak = 0 (k = 1, 2, 3).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
