1610915347-b0cdcab04f9552ce71235da8ebe43143 (824740), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Придавая α и β всевозможные значенияупомянутых корней из единицы, получим всего mn различных представленийпервого порядка. Общее число классов (т. е. элементов) также равно mn, и темсамым построены все неэквивалентные, неприводимые представления. Аналогично строятся представления и в том случае, когда число «производящих элементов» (т. е. элементов As ) не два, а больше.2. Перейдем к группе диэдра порядка n. Она состоит из 2n элементовE, Ai , T, T Aiпричем(i = 1, 2, . . .
, n − 1),An = E; T 2 = E; T AT −1 = A−1(T −1 = T ).(181)Последние из написанных соотношений непосредственно очевидны из геометрического смысла вращений A и T . Из этого соотношения непосредственноследует соотношение T Ai T −1 = A−i2 . Положим сначала, что n = 2m + 1 естьнечетное число. Группа будет при этом состоять из (m+2) классов. Один из нихсодержит E, m классов содержат по два элемента As и A−s (s = 1, 2, . . .
, m),2 Отрицательную степень матрицы следует понимать, как результат перемножения соответствующего числа обратных матриц.350Гл. III. Основы теории групп и линейные представления групп [79причем A−s = A2m+1−s , и один класс содержит все элементы вида T и T Ai .Все это легко проверяется при помощи указанных соотношений.Имеются два представления первого порядка. В одном из них каждомуэлементу сопоставляется число 1. В другом элементу A сопоставляется 1 иэлементу T число (−1). Пусть, далее, ε = cos 2π+ i sin 2π.
Можно построитьnnm представлений второго порядка, сопоставляя элементам A и T следующиематрицы: sε 0 10 (182)A→;T→ 0 ε−s 1 0 (s = 1, 2, . . . , m).Написанные матрицы удовлетворяют соотношениям (181) и тем самым даютпредставление группы, ибо всякое соотношение между элементами A и T является следствием соотношений (181).
Неприводимость каждого из представлений вытекает из того, что в противном случае представление привелось бык двум представлениям первого порядка, и матрицы нашего представлениядолжны были бы коммутировать, чего нет на самом деле ни при каком s, в чемлегко убедиться.Неэквивалентность представлений (182) при разных s вытекает из того, чтопри разных s матрицы, соответствующие элементу A, имеют различные наборы характеристических чисел εs и ε−s .
Таким образом построены все (m + 2)неэквивалентных. неприводимых представлений. Формула (180) в рассматриваемом примере сводится к следующей:2 · 12 + m · 22 = 4m + 2 = 2n.При нечетном n = 2m представление (182), соответствующее значению s = m,имеет вид −10 ; T → 0 1A→ 1 0 0 −1и распадается на два представления первого порядка:A → (−1);T → (+1)иA → (−1);T → (−1).Чтобы получить это, достаточно применить такую матрицу S, что ST S −1 приводится к диагональному виду, причем характеристические числа матрицы Tравны, очевидно, ±1.
Таким образом при n = 2m имеются четыре представления первого порядка и (m − 1) представлений второго порядка. Формула (180)принимает вид4 · 12 + (m − 1)22 = 4m = 2n.3. Рассмотрим представления группы тетраэдра или, что то же, изоморфной ей знакопеременной группы при n = 4 [59]. Группа состоит из четырехклассов и порядок ее равен двенадцати. Она должна иметь четыре неэквивалентных, неприводимых представления. Порядки этих представлений должныудовлетворять равенствуn21 + n22 + n23 + n24 = 12.Это уравнение имеет с точностью до порядка слагаемых в левой части единственное решение в целых положительных числах, а именноn1 = n2 = n3 = 1;n4 = 3,80]§ 6.
Линейные представления групп351т. е. группа имеет три представления первого порядка и одно — третьего порядка. В представлениях первого порядка элементам, входящим в один и тотже класс, соответствует одно и то же число. Нетрудно показать, что в трехпредставлениях первого порядка классам соответствуют следующие числа:I→1II → 1;III → 1;IV → 1;I → 1;II → 1;III → ε;IV → ε2 ;I → 1;II → 1;III → ε2 ;IV → ε;где2π2π+ i sin.33Неприводимое представление третьего порядка дает сама группа тетраэдра,т. е. группа тех вращений пространства (матрицы третьего порядка), при которых тетраэдр переходит в себя.
Если бы это представление оказалось приводимым, то оно должно было бы привести к трем представлениям первогопорядка. что невозможно хотя бы потому, что группа тетраэдра не есть абелева группа. Изложенная в последних номерах теория касается конечных групп.Для того чтобы перенести ее на группу вращения, мы должны более подробноостановиться на рассмотрении бесконечных групп, зависящих от параметров.Прежде чем переходить к общему рассмотрению таких групп, мы изложимвопрос о линейных представлениях группы Лоренца. Эти представления, наряду с представлениями группы вращения, будут служить для нас основнымипримерами бесконечных групп, зависящих от параметров.ε = cos80. Представления линейной группы с двумя переменными. В [68] мы построили линейные представления унитарнойгруппы с двумя переменными, что привело нас к линейным представлениям групп вращения.
Аналогично можно построить представления линейной группы с двумя переменными и с определителем, равным единице:x1 = ax1 + bx2 ,ad − bc = 1.x2 = cx1 + dx2 ,(183)В силу сказанного в [64] это приведет нас к однозначным и двузначным представлениям группы положительных преобразованийЛоренца. Результаты окажутся существенно отличными от результатов из [68].Одним из возможных линейных представлений унитарной группы (93) является представление этой группы самой собой, т. е. линейное представление, при котором каждому преобразованию (93)352Гл.
III. Основы теории групп и линейные представления групп [80соответствует это же преобразование. Легко видеть, что другим линейным представлением является следующее: каждому преобразованию (93) приводится в соответствие преобразование с комплексными сопряженными коэффициентами:y1 = ay1 + by2 ;y2 = −by1 + ay2 .Но это представление эквивалентно предыдущему, что непосредственно следует из легко проверяемой формулы 0 1 a b a b 0 1=−1 0 −b a −b a −1 0 .Для группы (183) сопряженное представлениеy1 = ay1 + by2 ;y2 = cy1 + dy2(184)не эквивалентно самой группе (183). Чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть случай b = c = 0.
При этом матрица преобразования (183) имеет характеристические числа a и d, а матрица(184) — характеристические числа a и d. Очевидно, можно выбратькомплексные числа a и d, удовлетворяющие условию ad = 1 так,что совокупность чисел a и d будет отлична от совокупности чиселa и d, и, следовательно, соответствующие преобразования не могутбыть подобными. Таким образом, в данном случае мы уже имеемдва неэквивалентных представления второго порядка — саму группу (183) и группу (184).
О неприводимости представлений будетсказано ниже.Мы можем далее построить представления группы (183) совершенно так же, как это было сделано в [68]. В формулах (99) надотолько заменить a на d и b на (−c). Это приведет к следующемупредставлению порядка (2j +1), где j — целое неотрицательное число или половина нечетного числа: a b(j + l)!(j − l)!(j + s)!(j − s)!Dj×=k!(j − k − s)!(j + l − k)!(k + s − l)!c dkls31j+l−k k k+s−l j−k−sj = 0, , 1, , .
. . . (185)×ab cd2280]§ 6. Линейные представления групп353Здесь l и s пробегают следующий ряд значений:и s = −j, −j + 1, . . . , j − 1, j,lи суммирование по k определяется неравенствами:k 0; k l − s; k j − s; k j + l.В формулах (185) надо считать 0! = 1 и 00 = 1. При j = 0 получается тождественное представление единицей. Кроме представлений(185), мы можем написать непосредственно другие представления,заменив в правых частях (185) числа a, b, c и d сопряженными.Соответствующие представления обозначим следующим образом: a b31(186)Djj = 0, , 1, , . .
. .22c dМы можем составить теперь композицию представлений (185) и(186) [73], в результате чего получится новое представление порядка(2j + 1)(2j + 1). Обозначим его следующим образом: a bEj,j .(187)c dПользуясь формулами (185), легко выписать элементы матриц,соответствующих этому представлению. Возьмем два различныхпредставления (187), но так, чтобы порядок их был одинаковым: a ba bи Ep1 ,q1; (2p+ 1)(2q + 1) = (2p1 + 1)(2q1 + 1).Ep,qc dc dПокажем, что такие два представления не эквивалентны. Положимb = c = 0. При этом матрица (185) приведется к диагональнойматрице с диагональными элементами: a 0Dj= aj+l dj−l (l = −j, −j + 1, . .
. , j − 1, j).0 dll354Гл. III. Основы теории групп и линейные представления групп [80Прямое произведение двух диагональных матриц есть диагональная матрица, и, следовательно, матрицы Ep,q и Ep1 ,q1 при b = c = 0имеют следующие характеристические числа:l = −p, −p + 1, . . . , p − 1, pp+l p−lq+mq−m,Ep,q: a d (a)(d)m = −q, −q + 1, . . . , q − 1, ql1 = −p1 , −p1 +1, . . . , p1 −1, p1p1 +l1 p1 −l1q1 +m1q1 −m1Ep1 ,q1 : ad(a)(d)m1 = −q1 , −q1 +1, . . . , q1 −1, q1или, принимая во внимание, что ad = 1:Ep,q : a2l (a)2m ;Ep1 ,q1 : a2l1 (a)2m1 .В качестве a мы можем взять любое комплексное число, отличноеот нуля, и можно, очевидно, выбрать это число так, что совокупность характеристических чисел матрицы Ep,q будет отлична отсовокупности характеристических чисел матрицы Ep1 ,q1 , что и доказывает неэквивалентность представлений (187) при различныхвыборах j и j .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
