1610915347-b0cdcab04f9552ce71235da8ebe43143 (824740), страница 56

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 56)

Законумножения для группы F определим, естественно, формулойFα2 β2 Fα1 β1 = (Gα2 Gα1 , Hβ2 Hβ1 ).74]§ 6. Линейные представления групп327Нетрудно проверить, что совокупность элементов Fαβ действительно образует группу. Эту группу F назовем прямым произведением групп G и H. Пусть имеется некоторое линейное представление группы G, осуществляемое матрицами A(α) , и некоторое линейное представление группы H, осуществляемое матрицами B (β) .Пользуясь формулой (123), как и в предыдущем номере, можнопоказать, что прямые произведенияC (α,β) = A(α) × B (β)дают линейное представление группы F . Кроме того, если представления A(α) и B (β) унитарны, то и представление C (α,β) группыF будет унитарным [72].Покажем теперь, что если представления A(α) и B (β) неприводимы, то и представление C (α,β) группы F будет неприводимым.Пусть n — порядок матриц A(α) и m — порядок матриц B (β) . Матрицы C (α,β) будут иметь порядок nm.

Пусть существует некотораяматрица X порядка nm, которая коммутирует со всеми матрицами C (α,β) . Обозначим элементы матриц соответствующими малымибуквами. Мы имеем, следовательно, для любых значков i, j, p и q,а также для любых α и β:m n(α) (β)xij;kl akp blq=l=1 k=1гдеm n(α) (β)aik bji xkl;pq ,(135)l=1 k=1(α) (β)(α,β)akp blq = ckl;pq(α) (β)(α,β)и aik bjl = cij;kl .Если мы положим, что G(α) есть единичный элемент группы(α)G, то A(α) будет единичной матрицей, т.

е. akp = 0 при k = p и(α)app = 1, и формула (135) даст:ml=1(β)xij;pl blq =m(β)bjl xil;pq ,(136)l=1и точно так же, полагая, что B (β) есть единичный элемент группыB, получим:mn(α)(α)xij;kq akp =aik xkj;pq .(137)k=1k=1328Гл. III. Основы теории групп и линейные представления групп [74Если мы возьмем nm элементов xij;kl и закрепим значки i и k,то получится m2 элементовxij; kl(j, l = 1, 2, . . .

, m),которые дадут некоторую матрицу порядка m. Обозначим эту мат(i,k)рицу через X1 . Точно так же, закрепляя в xij;kl значки j и l,(j,l)(i,k)получим матрицу X2 порядка n. В силу (136) все матрицы X1(β)коммутируют со всеми матрицами B , образующими неприводи(i,k)мое представление группы B, и, следовательно, все матрицы X1кратны единичной матрице, т.

е. элементы xij;kl при фиксированных i и k имеют одинаковое значение, если j = l, и, кроме того,xij;kl = 0, если j = l. Мы можем записать это следующим образом:xij;kl = xi1;k1 δjl .(1381 )(j,l)Точно так же из рассмотрения матриц X2будет следовать:xij;kl = x1j;1l δik ,(1382 )где, как всегда,δpq = 0при p = qи δpp = 1.Из сравнения (1381 ) и (1382 ) вытекает, что xij;kl отлично от нуля только в том случае, если i = k и j = l, причем в этом последнем случае все числа xij;ij одинаковы между собой, т. е.

матрицаX, коммутирующая со всеми матрицами C (α,β) , будет обязательно кратной единичной матрице. Отсюда и вытекает непосредственно, что линейное представление группы F , определяемое прямымпроизведением A(α) × B (β) , будет неприводимым. Можно показать,что таким образом получаются все неприводимые представлениягруппы F .Положим, что G и H суть группы линейных преобразований содним и тем же числом переменных, и предположим, что любыедве матрицы Gα и Hβ попарно коммутируют, т. е.Gα Hβ = Hβ Gα .(139)74]§ 6. Линейные представления групп329В предыдущих рассуждениях мы считали, что элемент группыF определяется парой элементов (Gα , Hβ ), и построили определенный закон перемножения внутри группы F , который описан намивыше.

В данном случае мы можем считать элементом группы Fпросто произведение матриц (139), которое не зависит от порядка.Эта новая группа F изоморфна прежней F . Если Gα0 и Hβ0 — единичные матрицы, то и произведение Gα0 Hβ0 = Hβ0 Gα0 будет еди−1ничной матрицей. Матрица G−1= Hβ−1 G−1α Hβα будет, очевидно,обратной произведению Gα Hβ , и мы имеем в силу (139) следующий закон умножения:Gα2 Hβ2 · Gα1 Hβ1 = (Gα2 Gα1 )(Hβ2 Hβ1 ),т. е. все упомянутые выше при образовании группы F свойства вданном случае выполнены, так что произведения (139) можно считать переменным элементом группы F .

В качестве частного случаявозьмем тот случай, когда G есть группа вращения трехмерногопространства и H — группа второго порядка, состоящая из тождественного преобразования I и симметрии S относительно начала[57]. В данном случае условия (139) выполняются. Если Gα естьлюбое вращение пространства, то, очевидно, Gα S = SGα . Группа F в данном случае будет группой всех вещественных ортогональных преобразований трехмерного пространства. Для группыH мы имели [67] два линейных представления первого порядка:одно тождественное, состоящее из чисел (+1), и другое антисимметрическое, при котором матрице I соответствует (+1) и матрицеS соответствует (−1). Если мы возьмем теперь некоторое линейноепредставление Dj {α, β, γ} группы вращения, то можем брать прямое произведение матриц этого представления с обоими представлениями группы симметрии относительно начала.

В одном случаемы получим линейное представление полной группы ортогональных преобразований, при котором всякому вращению с углами Эйлера {α, β, γ}, взятому в чистом виде или соединенному с симметрией относительно начала, соответствует одна и та же матрицаDj {α, β, γ}. Обозначим это представление группы ортогональныхпреобразований через Dj+ {α, β, γ}.

В другом случае чистому вращению будет соответствовать матрица Dj {α, β, γ}, а вращению,330Гл. III. Основы теории групп и линейные представления групп [75соединенному с симметрией, матрица — Dj {α, β, γ}. Такое представление группы ортогональных преобразований обозначим черезDj− {α, β, γ}.Разберем еще один пример прямого произведения двух групп.Пусть у нас имеются две точки: (x1 , y1 , z1 ) и (x2 , y2 , z2 ). Положим,что группа G есть группа вращения трехмерного пространства. Наши переменные испытывают при этом линейные преобразования:xk = g11 xk + g12 yk + g13 zk ,yk = g21 xk + g22 yk + g23 zk ,zk = g31 xk + g32 yk + g33 zk ,(k = 1, 2)(140)где таблица gik есть матрица некоторого вращения.

Положим дальше, что группа H есть группа, состоящая из тождественного преобразования и из преобразования, которому соответствует перестановка номеров 1 и 2 у наших точек. Это последнее преобразованиебудет иметь вид1 2(S).(141)2 1Мы имеем, очевидно, S 2 = I, и следовательно, эта последняягруппа H будет состоять из двух преобразований: I и S. Если Gαесть некоторое вращение, то, очевидно, Gα S = SGα , так как безразлично — производить ли нумерацию точек до или после вращения.В данном случае мы получим те же линейные представления дляобщей группы F , что и выше. Если бы мы вместо двух взяли nточек, то группа H, состоящая из перемен нумерации этих точек,имела бы своими элементами линейные преобразования с n переменными, а эта группа H была бы изоморфна группе перестановокиз n элементов.

В данном случае точно так же операция вращения и операция перестановки номеров точек будут коммутироватьдруг с другом, и, взяв прямое произведение матрицы линейногопредставления группы вращения и матриц некоторого линейногопредставления группы перестановок, мы получим линейное представление общей группы F .75. Разбиение композиции Dj × Dj , линейных представлений группы вращения. Возвратимся сейчас к тому, что мы75]§ 6. Линейные представления групп331говорили в [73].

Мы видели там, что если рассмотрим уравнениеШредингера для двух электронов и будем пренебрегать взаимодействием электронов, то собственные функции уравнения Шредингера будут давать линейное представление группы вращения,которое получается путем композиции двух линейных представлений группы вращения. Результаты предыдущего номера показывают, что представляется важным уметь разбить такое линейноепредставление на неприводимые части. В настоящем номере мыи займемся этим вопросом. Задача математически формулируетсяследующим образом.

Пусть имеются два неприводимых представления Dj {α, β, γ} и Dj {α, β, γ} группы вращения. Составим ихкомпозицию Dj × Dj , которая также будет давать [73] некотороелинейное представление группы вращения. Требуется выделить тенеприводимые части, из которых это представление состоит.Объектами линейного представления Dj порядка (2j + 1) будутвеличиныuj+m uj−m2Um = 1(j + m)!(j − m)!(m = −j, −j + 1, . .

. , j − 1, j) (142)и объектами линейного представления Dj будут величиныVmv j +m v2j −m= 1(m = −j , −j +1, . . . , j −1, j ), (143)(j + m )!(j − m )!причем (u1 , u2 ) и (v1 , v2 ) подвергаются одинаковым унитарнымпреобразованиям с определителем (+1) [68]. Если мы составим(2j + 1)(2j + 1)) величинuj−mv1j +m v2j −muj+m12Wmm = Um Vm = (j + m)!(j − m)!(j + m )!(j − m )!(144)m = −j, −j + 1, .

. . , j − 1, j,m = −j , −j + 1, . . . , j −1, j то эти величины будут объектами в том линейном представлениигруппы вращения, которое определяется композицией Dj × Dj .332Гл. III. Основы теории групп и линейные представления групп [75В дальнейшем мы будем считать j и j или целым числом, илиполовиной целого числа, т. е., строго говоря, будем брать линейныепредставления унитарной группы с двумя переменными и определителем, равным единице.Пусть k — целое число (или половина целого числа), удовлетворяющее неравенству|j − j | k j + j .(145)Покажем, что мы можем составить из величин (144) такие линейные комбинации, числом 2k + 1, которые дают линейное представление Dk группы вращения.Составим для доказательства этого утверждения выражениевидаL = (u1 v2 − u2 v1 )l (u1 x1 + u2 x2 )2j−l (v1 x1 + v2 x2 )2j−l,(146)где l — некоторое фиксированное целое число, удовлетворяющеенеравенствам:l 0; l 2j; l 2j .(147)Если переменные (u1 , u2 ) и (v1 , v2 ) претерпевают одно и то желинейное преобразованиеu1 = a11 u1 + a12 u2 ;u2 = a21 u1 + a22 u2 ;v1 = a11 v1 + a12 v2 ;v2 = a21 v1 + a22 v2с определителем (+1), т.

е. a11 a22 − a12 a21 = 1, то нетрудно видеть,что первый из множителей выражения (146) остается неизменным.Действительно,u1 v2 − u2 v1 = (a11 a22 − a12 a21 )(u1 v2 − u2 v1 ).Выражение (146) есть, очевидно, однородный полином от x1 иx2 степени 2(j + j − l). Он состоит, следовательно, из членов вида2(j+j −l)−sas xs1 x2Вводя обозначение(s = 0, 1, . . . , 2(j + j − l)).k = j + j − l,(148)75]§ 6. Линейные представления групп333xk+m xk−m2ym = 1(k + m )!(k − m )!(149)(m = −k, −k + 1, .

. . , k − 1, k),мы можем написать выражение (146) следующим образом:L=+kcm ym .(150)m =−kКоэффициенты cmбудут зависеть от переменных(u1 , u2 )(v1 , v2 ).Из выражения (146) непосредственно следует, что cm есть однородный полином от (u1 , u2 ) степени 2j и однородный полиномот (v1 , v2 ) степени 2j , т. е. cm будет состоять из слагаемых видаapq up1 u2j−pv1q v22j2−q,или, принимая во внимание (142) и (143), мы можем утверждать,что cm будет линейной комбинацией произведений (m )cm =dmm Um Vm (m = −k, −k + 1, . .

. , k − 1, k), (151)mm(m )где коэффициенты dmm не содержат уже uk и vk . Заметим, что ввыражении (146) переменные u1 и v1 входят только или в соединении с множителем x1 , или в первом из множителей (146), причемэтот первый множитель дает сумму показателей у u1 и v1 , равную l., мы можем утверПринимая во внимание, что ym содержит xk+m1ждать, что в слагаемых суммы (151) сумма показателей у u1 и v1будет k + m + l или, в силу (148), эта сумма показателей будетj + j + m . Но Um содержит uj+mи Vm содержит v1j +m , и отсюда1непосредственно следует, что каждое из выражений (151) содержитлишь те произведения Um Vm , для которых m + m = m . Покажем теперь, что линейные комбинации (151) величин Um Vm какраз и дают линейное представление группы вращения, эквивалентное Dk .334Гл.

Характеристики

Список файлов книги