1610915347-b0cdcab04f9552ce71235da8ebe43143 (824740), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Мы получаем таким образомηl=k(−1)k+s−ls(j + l)!(j − l)!×k!(j − k − s)!(j + l − k)!(k + s − l)!× aj−k−s aj+l−k bk+s−l k j+s j−sb x1 x2 .Но, согласно (98), мы имеем:j−s= (j + s)!(j − s)!ηs ,xj+s1 x2и окончательно получаем искомую линейную зависимость в следующем виде:ηl =ks(−1)k+s−l(j + l)!(j − l)!(j + s)!(j − s)!×k!(j − k − s)!(j + l − k)!(k + s − l)!× aj−k−s aj+l−k bk+s−l kb ηs .Таким образом, при заданном фиксированном j элементы матрицы линейного преобразования порядка (2j+1), соответствующего68]§ 6. Линейные представления групп303унитарному преобразованию (93) с матрицей a b−b a ,будут:"a,Dj−b,#b=a ls= (−1)s−lk(j + l)!(j − l)!(j + s)!(j − s)!×(−1)k!(j − k − s)!(j + l − k)!(k + s − l)!k×aj−k−s aj+l−k bk+s−l kb .(99)Здесь значки l и s пробегают следующий ряд значений:l, s = −j, −j + 1, .
. . , j − 1, j,причем напомним еще раз, что если j есть половина целого числа,то это дает нумерацию строк и столбцов матриц также по половинам целых чисел. Принимая во внимание, что p! = ∞, если pесть целое отрицательное число, мы получаем следующие пределысуммирования по k в формулах (99):k 0; k l − s; k j − s; k j + l.(100)Отметим некоторое упрощение в формулах (99), которого можно достигнуть, переходя к подобному представлению. Пусть A —некоторая матрица с элементами apq и пусть S = [δ1 , . . . , δn ] —диагональная матрица.Применяя обычное правило умножения, нетрудно проверить,что матрица SAS −1 будет иметь следующие элементы:{SAS −1 }pq = δp apq δq−1 .Если мы применим теперь это правило для матрицы a bDj−b a304Гл.
III. Основы теории групп и линейные представления групп [68и примем δk = (−1)k , то в формулах (99) исчезнет множитель(−1)s−l , и в дальнейшем мы будем считать, что этот множительотсутствует.Перейдем теперь к доказательству того, что линейное представление унитарной группы (93), определяемое матрицей с элементами (99), будет неприводимым. Предварительно докажем две леммы.Л е м м а I. Если некоторая диагональная матрица, все диагональные элементы которой попарно различны, коммутирует сматрицей A, то A есть также диагональная матрица.По условию мы имеем:A[δ1 , . . . , δn ] = [δ1 , . . .
, δn ]A,где числа δk попарно различны. Пусть apq — элементы матрицы A.Применяя правило умножения, мы получим из предыдущего условия:apq δq = δp apq или apq (δq − δp ) = 0,и, следовательно, apq = 0, если p = q, т. е. матрица A — действительно диагональная матрица.Лемма II. Если некоторая диагональная матрица [δ1 , . . . , δn ]коммутирует с матрицей A, в которой по крайней мере одинстолбец не содержит ни одного нуля, то δ1 = .
. . = δn .Переставляя строки и столбцы, т. е. переходя к подобным матрицам, мы можем достигнуть того, чтобы столбец, не содержащий нулей, стоял на первом месте. При этом диагональная матрица остается по-прежнему диагональной, и наши матрицы по-прежнему будут коммутировать. Таким образом, мы можем считать, обозначаячерез apq элементы матрицы A, чтоai1 = 0 (i = 1, 2, . . .
, n),и, кроме того, по условию, как и выше:ai1 (δ1 − δi ) = 0(i = 1, 2, . . . , n),откуда имеем δ1 = . . . = δn , и, следовательно, лемма доказана.68]§ 6. Линейные представления групп305Переходим теперь к доказательству неприводимости линейногопредставления, определяемого матрицами (99). Пусть Y есть некоторая матрица порядка (2j +1), которая коммутирует со всеми матрицами a bDj,−b aполучающимися при различных a и b, удовлетворяющих условию(94). Для доказательства неприводимости нам надо показать, чтоY должна быть кратной единичной матрице. Рассмотрим сначалатот случай, когда b = 0 и a = eiα . Эти комплексные числа удовлетворяют, очевидно, условию (94).Пользуясь формулами (99), мы получаем прежде всего, что приэтом iαe0Dj= 0 при l = s,0e−iα lsа диагональные элементы будут в данном случае iαe0= ei2lα (l = −j, −j + 1, .
. . , j − 1, j),Dj0e−iα llи наша матрица будет иметь вид −i2jαe00...0 iα−i2(j−1)α 00...0ee0−i2(j−2)α,=Dj...000e0e−iα ll . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .i2jα 000... e(101)т. е. это диагональная матрица с различными элементами на главной диагонали, при подходящем выборе α.
Пользуясь первой леммой, мы можем утверждать, что матрица Y , которая должна коммутировать и с матрицей (101), также должна быть диагональнойматрицей, т. е.Y = [δ1 , . . . , δn ].(102)306Гл. III. Основы теории групп и линейные представления групп [68Рассмотрим теперь тот случай, когда числа a и b оба отличны отa b.
Его элеменнуля, и возьмем первый столбец матрицы Dj−b aты определятся по формулам (99), если мы там положим s = −j.Неравенства (100) дают при этом:k 0; k l + j; k 2j; k j + l (l = −j, −j + 1, . . . , j − 1, j),откуда видно, что в данном случае вся сумма, входящая в формулу (99), приведется к одному слагаемому, которое получится приk = j + l и будет отлично от нуля. Таким образом,в данном случае a bдействительно первый столбец матрицы Djне содержит−b aнулей. Но раз диагональная матрица (102) должна коммутироватьи с такой матрицей, то, согласно лемме II, все числа δk одинаковы, a bт.
е. Y кратна единичной матрице. Итак, матрицы Dj−b aдают, действительно, неприводимое линейное представление унитарной группы (93). Придавая j ряд значений13, 1, , 2, . . . ,22мы получаем бесчисленное множество этих линейных представлений. При j = 0 получается тривиальное тождественное представление, при котором всякому элементу группы (93) соответствует число единица.
Рассмотрим теперь при j > 0, каким преобразованиямгруппы (93) соответствуеттождественное преобразование в груп a bпе представлений Dj, которое определяется равенствами−b aηl = ηl или, что то же, равенствамиj = 0,j−l(ax1 + bx2 )j+l (−bx1 + ax2 )j−l = xj+l1 x2(l = −j, −j + 1, .
. . , j − 1, j).Полагая j = l, получаем (ax1 + bx2 )2j = x2j1 , откуда следует, чтоb = 0, и предыдущее тождество записывается в видеj−lj−laj+l aj−l xj+l= xj+l1 x21 x2(l = −j, −j + 1, . . . , j − 1, j),69]§ 6. Линейные представления групп307откуда aj+l aj−l = 1. Но |a| = 1 при b = 0, и последнее равенствопереписывается в видеa2l = 1 (l = −j, −j + 1, . . . , j − 1, j).Если j — половина нечетного числа, то мы можем положить l = 12 ,что дает a = 1.
Если j — целое число, то равенства a2l = 1 сводятсяк одному a2 = 1, откуда a = ±1.Таким образом, если j — половина нечетного числа, то тождеa bственное преобразование в группе Djсоответствует толь−b aко тождественномупреобразованию в группе (93), т. е. в этом a bбудет биоднозначным представлением группыслучае Dj−b a(93). Если же j — число целое, то тождественному преобразованиюa bсоответствуют в группе (93) два преобразов группе Dj−b aвания с матрицами−11 00 = −E.; S=E=0 −10 1Эти преобразованияобразуют циклическую группу второго по a bрядка, и Djявляется биоднозначным представлением до−b aполнительной группы [58]. Иначе можносказать, что всякому пре a bобразованию в представлении Djпри целом j соответ−b aствуют два преобразования из группы (93), у которых числа a и bотличаются лишь знаком.69. Линейные представления группы вращения.
Предыдущие результаты представляются особенно важными потому, чтоунитарная группа (93) тесно связана с группой вращения трехмерного пространства, и полученный выше результат приводит нас кнеприводимым линейным представлениям группы вращения.308Гл. III. Основы теории групп и линейные представления групп [69Всякому унитарному преобразованию (93) соответствует определенное вращение, причем одновременная перемена знака у a иb дает унитарное преобразование, которому соответствует то жесамое вращение. Параметры a и b связаны с углами Эйлера соответствующего вращения формулами [63]:1111a = e− 2 i(γ+α) cos β; b = −ie 2 i(γ−α) sin β.(103)22Рассмотрим сначала тот случай, когда j есть целое число.
Вэтом случае формулы (99) показывают, что одновременная перемена знаков у a и b не меняет слагаемых, стоящих в правой части,так как сумма показателей у a, a b и b будет в данном случае равначетному числу 2j. Таким образом, при этом тем двум унитарнымпреобразованиям, которые дают одно и то же вращение, соответствует одинаковая матрица в линейном представлении. Иначе говоря, при целом j каждому вращению с углами Эйлера {α, β, γ} соответствует определенная матрица в линейном представлении Dj .a bВместо Djобозначим теперь эту матрицу через−b aDj {α, β, γ}.(104)Если j есть половина целого числа, то одновременная переменазнаков у a и b приводит к перемене знака и у всех выражений (99),т.
е. в данном случае тем унитарным преобразованиям, которыеприводят к одному и тому же движению, соответствуют различные матрицы, а именно матрицы, все элементы которых отличаются знаком. В данном случае каждому вращению будут соответствовать также две матрицы, отличающиеся знаком, т. е. в данномслучае в (104) перед Dj мы должны поставить два знака. Такимобразом, при целом j матрицы (104) дают линейное представлениегруппы вращения. При j, равном половине целого числа, мы не получаем, точно говоря, линейного представления. В данном случаеговорят о двузначном линейном представлении.Чтобы найти выражение элементов матриц (104), достаточно ввыражениях (99) заменить a и b по формулам (103). Мы получаем,отбрасывая предварительно множитель (−1)s−l :69]§ 6.
Линейные представления группDj {α, β, γ}ls = is−lk309(j + l)!(j − l)!(j + s)!(j − s)!×(−1)k!(j − k − s)!(j + l − k)!(k + s − l)!k11× e−ilα−isγ cos2j+l−2k−s β sin2k+s−l β. (105)22Если воспользоваться переходом к эквивалентному представлению при помощи матрицы0 0 . . . 0 10 0 . . . 1 0X= . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
