1610915347-b0cdcab04f9552ce71235da8ebe43143 (824740), страница 48
Текст из файла (страница 48)
единичный элемент в группе вращения. Третья из формул (59) дает нам при этомab = 0;aa − bb = 1,откуда |a| = 1 и b = 0. Пусть a = eiϑ . Первая из формул (59) дает:1 i2ϑ(e + e−i2ϑ ) = 1.2Отсюда непосредственно следует ϑ = 0 или π, т. е. a = ±1.Мы получаем, таким образом, два унитарных преобразования сматрицами1 00 ; S = −1E= 0 −1 = −E,0 1которым соответствует единичный элемент в группе вращения.Положим теперь, что две унитарные матрицы U и V дают однои то же вращение.
При этом V −1 U будет давать тождественное преобразование в группе вращения пространства, т. е. V −1 U = E или(−E), так что U = V или U = −V . Заметим при этом, что знак (−)перед матрицей означает, что у всех элементов матрицы надо изменить знак. Предыдущие рассуждения показывают, что унитарныепреобразования (57) приводят к одинаковому вращению пространства только тогда, когда они отличаются лишь знаком. Наоборот,если они отличаются только знаком, то, как мы уже упоминаливыше и как это следует из формулы (59), они дают одно и то жевращение пространства. Окончательно можем сказать, что группа вращения пространства будет гомоморфна группе унитарныхпреобразований (57) с определителем единица, причем одинаковыевращения получаются тогда и только тогда, когда унитарныематрицы отличаются лишь знаком.Матрицы E и (−E) образуют нормальный делитель H группыG — унитарных преобразований (57) с определителем единица.
Всякая сопряженная совокупность по этому нормальному делителю Hсостоит из двух элементов G1 и (−G1 ), где G1 — любой элемент280Гл. III. Основы теории групп и линейные представления групп [64группы. Из сказанного выше непосредственно следует, что группавращения изоморфна дополнительной к H группе.Формулы (59) содержат два комплексных параметра a и b, которые должны удовлетворять соотношению (58). Каждый из комплексных параметров содержит два вещественных параметраa = a1 + ia2 ;b = b1 + ib2 ,и соотношение (58) равносильно следующему:a21 + a22 + b21 + b22 = 1.Таким образом, формулы (59) содержат четыре вещественныхпараметра, которые должны удовлетворять одному соотношению,т.
е. формулы (59) содержат три независимых вещественных параметра, как это и должно быть для группы вращения. Параметрыa и b называются обычно параметрами Кейли — Клейна. Нетрудно получить их выражение через углы Эйлера. Действительно, перемножая три унитарные матрицы (65), получим, как мы виделивыше, ту унитарную матрицу, которая будет соответствовать вращению с углами Эйлера {α, β, γ}.
Умножая, получим для соответствующих параметров a и b следующие выражения:γ−αββ; b = −iei 2 sin .(66)22Если прибавить 2π к α или γ, то a и b переменят знак, а вращение по существу останется тем же. Это обстоятельство было отмечено уже выше.a = e−iα+γ2cos64. Общая линейная группа и группа Лоренца. Мы установили только что тесную связь унитарной группы с двумя переменными и группы вращения трехмерного пространства.
Совершенно аналогичным образом можно установить связь между общей линейной группой с двумя переменными и с определителем,равным единице, и группой Лоренца.Введем четыре переменные x1 , x2 , x3 , x0 , и, обращаясь к формулам (51), выражающим стереографическую проекцию, положимв нихx1x2x3x=; y=; z=.(67)x0x0x064]§ 5. Основы общей теории групп281Это даст нам следующие формулы:x1ξη + ξη;=x0ξξ + ηηx21 ξη − ξη;=x0i ξξ + ηηx3ξξ − ηη.=x0ξξ + ηηОни определяют xk с точностью до произвольного общего множителя, и мы можем положить:⎫x0 = ξξ + ηη;x1 = ξη + ξη;⎬(68)1x2 = (ξη − ξη); x3 = ξξ − ηη.⎭iПрежние переменные удовлетворяли соотношению (511 ), и, следовательно, в силу (67) новые переменные, определяемые по формулам (68), будут при любых комплексных значениях ξ и η удовлетворять соотношениюx21 + x22 + x23 − x20 = 0.(69)При унитарности преобразования с ξ и η выражение (ξξ + ηη)оставалось неизменным, т.
е., согласно (68), оставалась неизменнойпеременная x0 , выражающая сейчас время, и мы получали такимобразом вращение трехмерного пространства. Откажемся теперьот унитарности преобразования и рассмотрим общую группу линейных преобразованийξ = aξ + bη;η = cξ + dη.(70)Будем поступать дальше аналогично тому, как мы поступили вслучае унитарных преобразований. Составим выражения:x1 + ix2 = 2ξη;x1 − ix2 = 2ξη;x0 + x3 = 2ξξ;x0 − x3 = 2ηη.Для новых переменных ξ , η получим новые xk :x1 + ix2 = 2ξ η ; x1 − ix2 = 2ξ η ;x0 + x3 = 2ξ ξ ;x0 − x3 = 2η η .(71)282Гл. III.
Основы теории групп и линейные представления групп [64Поставляя выражения (70) и пользуясь (71), получим:⎫x1 + ix2 = ad(x1 + ix2 ) + bc(x1 − ix2 )+⎪⎪⎪⎪⎪+ ac(x0 + x3 ) + bd(x0 − x3 ), ⎪⎪⎪⎪⎪x1 − ix2 = bc(x1 + ix2 ) + ad(x1 − ix2 )+⎪⎪⎪⎪⎪+ ac(x0 + x3 ) + bd(x0 − x3 ), ⎬x0 + x3 = ab(x1 + ix2 ) + ab(x1 − ix2 )+⎪⎪⎪⎪⎪⎪+ aa(x0 + x3 ) + bb(x0 − x3 ), ⎪⎪⎪⎪⎪x0 − x3 = cd(x1 + ix2 ) + cd(x1 − ix2 )+⎪⎪⎪⎪⎭+ cc(x0 + x3 ) + dd(x0 − x3 ),(72)откуда непосредственно получаются линейные выражения с вещественными коэффициентами xk через xk , которые мы выписыватьне будем.
Заметим только, что если сложить последние два из уравнений (72), то в выражении для x0 коэффициент при x0 окажетсяравным 12 (aa + bb + cc + dd), т. е. этот коэффициент будет положительным.Новые переменные xk , как и первоначальные, удовлетворяютуравнению222x2(73)1 + x2 + x3 − x0 = 0.Если в левой части этого уравнения заменить xk их выражениями через xk , то должно получиться уравнение (69). Но левая частьуравнения (73) может при этом оказаться отличающейся от левойчасти уравнения (69) на постоянный множитель, т.
е. мы будемиметь в данном случае:2222222x21 + x2 + x3 − x0 = k(x1 + x2 + x3 − x0 ),где k — некоторая постоянная. Пользуясь предыдущими формулами и принимая во внимание, что222x21 + x2 + x3 − x0 = (x1 + ix2 )(x1 − ix2 ) − (x0 + x3 )(x0 − x3 ),нетрудно показать, что k = (ad − bc)(ad − bc) = |ad − bc|2 .
Если мыхотим получить k = 1, т. е. преобразование Лоренца:2222222x21 + x2 + x3 − x0 = x1 + x2 + x3 − x0 ,(74)64]§ 5. Основы общей теории групп283то должны брать линейные преобразования (70) с определителемпо модулю, равным единице, т.
е. выражающимся числом вида eiϕ .Умножая, как и раньше, все коэффициенты преобразования (70)ϕна e−i 2 , мы, с одной стороны, не изменим величин x1 , x2 , x3 , определяемых по формулам (68), если в них заменить ξ и η на ξ и η ,ибо эти формулы содержат произведение одной из величин (ξ , η )на одну из величин (ξ , η ), и, с другой стороны, приведем определитель преобразования к единице.Будем, таким образом, рассматривать преобразования (70) сопределителем единица:ad − bc = 1.(75)Как и в предыдущем номере, мы можем показать, что линейное преобразование, выражающее xk через xk , имеет определитель(+1). Напомним, кроме того, что в нем коэффициент при x0 в выражении x0 — положителен, т. е.
это преобразование имеет определитель (+1) и не меняет направления отсчета времени, т. е. преобразования (72) суть положительные преобразования Лоренца.Итак, окончательно, линейные преобразования при условии (75)дают положительные преобразования Лоренца, которые мы определили в [54].Как и в предыдущем номере, поставим теперь вопрос — можноли получить по формулам (72) любое положительное преобразование Лоренца. Отметим прежде всего, что, как и в предыдущемномере, произведению двух линейных преобразований (70) отвечает произведение соответствующих преобразований Лоренца, т. е.,точнее говоря: если A и B — два линейных преобразования (70), которые приводят, согласно (72), к преобразованиям Лоренца T1 и T2 ,то линейному преобразованию BA будет соответствовать преобразование Лоренца T2 T1 .
Как мы видели в [54], всякое положительноепреобразование Лоренца может быть представлено в видеT = V SU,где U и V суть простые вращения трехмерного пространства и S —положительное преобразование Лоренца с двумя переменными. Согласно результатам предыдущего номера, мы можем получить любое вращение при помощи некоторого унитарного преобразования284Гл.
III. Основы теории групп и линейные представления групп [64вида (70) с определителем единица. Таким образом, нам остаетсяпоказать, что мы можем получить и любое положительное преобразование S Лоренца с двумя переменными по формулам (72) присоответствующем выборе линейного преобразования (70). Сравнивая (74) с (21) из [54], видим, что сейчас мы считаем c = 1, такчто формулы (17) из [54], дающие положительные преобразованияЛоренца с двумя переменными, перепишутся в виде−vx0 + x3x0 − vx3 ⎫⎬x3 = √; x0 = √1 − v21 − v2(76)⎭x1 = x1 ;x2 = x2 .Введем величину1u= √>11 − v2и рассмотрим линейное преобразование (70) частного видаξ = lξ;η =1η,lгде l — вещественная постоянная. Определитель его, очевидно, равен единице.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
