1610915347-b0cdcab04f9552ce71235da8ebe43143 (824740), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Основы общей теории групп253этот же самый элемент, т. е.EP = P E = P.(32)Будем называть этот элемент единичным элементом.3. Для любого элемента нашей совокупности P существует внашей же совокупности единственный другой элемент Q, который удовлетворяет условиюQP = P Q = E(Q = P −1 ).(33)Из (32) при P = E вытекает EE = E, т.
е., в силу определенияобратного элемента, элементом, обратным E, будем сам элементE(E −1 = E).Можно поставить эти условия, определяющие абстрактнуюгруппу, в более узкой форме, причем из этих более узких требований остальные уже будут вытекать в качестве необходимых формальных следствий, но мы на этом останавливаться не будем. Вообще ограничимся лишь простейшими и основными фактами, связанными с понятием абстрактной группы. Более подробное рассмотрение теории групп дает материал, который сам по себе может заполнить целую книгу.
Нашей целью является лишь сообщить читателюосновные понятия и этим облегчить чтение физической литературы, в которой зачастую применяется понятие группы и где частопользуются основными свойствами групп. В дальнейшем вместо Eмы будем писать иногда I. Элемент Q, определяемый соотношениями (33), называется обратным P и обозначается P −1 . Имеетместо, очевидно, соотношение (28), ибо из (33) следует и то, что Pобратно Q.Установив понятие абстрактной группы, перейдем теперь к выяснению некоторых новых понятий, а также к доказательству некоторых свойств абстрактных групп. Заметим прежде всего, что число элементов в группе, как это мы видели выше, может быть какконечным, так и бесконечным.
Рассмотрим некоторое произведениеэлементов группыRQP.Это будет также некоторый элемент группы. Обратный элемент254Гл. III. Основы теории групп и линейные представления групп [56будет получаться совершенно так же, как и в группе линейных преобразований, а именно он будет:(RQP )−1 = P −1 Q−1 R−1 .В этом нетрудно убедиться, совершая перемножение и пользуясьсочетательным законом. Пусть P — некоторый элемент группы.
Егоцелые положительные степениP 0 = I, P 1 , P 2 . . .также будут элементами группы. Если существует такое целое положительное число m, что P m = I, то говорят, что элемент будетконечного порядка, причем порядком элемента будет наименьшеезначение целого положительного числа m, при котором P m = I.При этом среди элементовI, P, P 2 , . . . , P m−1уже не может быть одинаковых. Действительно, из условия P k =P l (k < l) непосредственно вытекает P l−k = I. Для конечной группы все элементы будут, очевидно, конечного порядка.Обозначим элементы нашей группы через Pα .
Если группа конечна, то можно считать, что значок α пробегает конечное числоцелых положительных значений. Если группа бесконечна, то онможет пробегать все целые значения [52], может меняться непрерывно и даже он может быть равносилен нескольким значкам, которые непрерывно изменяются. Пусть U — некоторый фиксированный элемент нашей группы. Составим всевозможные произведенияU Pα .
Нетрудно видеть, что при соответствующем изменении значка α написанное произведение даст нам опять все элементы группыи притом по одному разу.Действительно, из равенстваU Pα1 = U Pα2−1умножением на Uслева получаем Pα1 = Pα2 , т. е. при разных αи произведение U Pα различно. Покажем теперь, что это произведение будет обращаться в любой элемент нашей группы. Действительно, равенство U Pα = Pα0 равносильно Pα = U −1 Pα0 , т. е.
произведение U Pα даст нам элемент Pα0 , когда сомножитель Pα будет56]§ 5. Основы общей теории групп255равняться элементу U −1 Pα0 нашей группы. Тот же самый результатмы получили бы, если бы приписали фиксированный элемент U неслева, а справа. Итак, мы получаем следующий результат: если Pαпробегает все элементы группы и U — некоторый фиксированныйэлемент группы, то произведение U Pα (или Pα U ) также пробегает все элементы группы и притом по одному разу.Рассмотрим частный пример группы.
Положим, что группа состоит из шести элементов (группа шестого порядка), и обозначимэти элементы следующим образом:E, A, B, C, D, F.Закон умножения определим при помощи следующей таблицы:EABCDFEABCDFEABCDFAEDFBCBFEDCACDFEABDCABFEFBCAED(34)Этой таблицей надо пользоваться для определения умноженияследующим образом. Если мы хотим, например, составить произведение DB, то должны в первой строке найти B, в первом столбце —D и на пересечении соответствующих строк и столбцов найдем элемент A, который и будет являться произведением DB.
Нетруднопроверить, что при этом будут удовлетворены все те условия, которые мы упоминали при определении абстрактной группы, причемэлемент E будет играть роль единичного элемента.В предыдущих номерах мы имели примеры конкретного осуществления абстрактного понятия группы. В одном случае рольэлемента играло линейное преобразование (его матрица) и перемножение двух элементов сводилось к последовательному применению двух линейных преобразований, т.
е. к перемножению соответствующих этим преобразованиям матриц. В другом случае рольэлемента играла перестановка, и перемножение двух элементов сводилось к последовательному выполнению двух перестановок. Приведем еще пример конкретного осуществления группы.256Гл. III. Основы теории групп и линейные представления групп [57Пусть элементами являются всевозможные комплексные числа и перемножение двух элементов сводится к сложению соответствующих комплексных чисел. В данном случае роль единичногоэлемента играет число нуль, и элементом, обратным комплексномучислу α, является число (−α).
Вместо комплексных чисел мы могли бы взять за элементы всевозможные векторы x (x1 , x2 , . . . , xn )комплексного n-мерного пространства Rn и определить умножение элементов, как сложение соответствующих векторов. При этомроль единичного элемента играет нулевой вектор. Иначе можносказать, что элементами группы являются векторы из Rn , а групповым действием — сложение векторов. Отметим, что в последнихдвух примерах результаты перемножения двух элементов группыне зависят от порядка сомножителей, т. е., как говорят, любые дваэлемента группы коммутируют. Такие группы называются абелевыми группами [ср. 45]. Простейшим примером абелевой группыявляется так называемая циклическая группа, которая состоит изединичного элемента E и степеней некоторого элемента P .
Еслиm — наименьшее целое положительное число, при котором P m = E,то циклическая группа содержит m элементов: E, P, P 2 , . . . , P m−1 .Если такого целого положительного m нет, то циклическая группабесконечна: E, P, P 2 , . . .57. Подгруппа. Пусть имеется некоторая группа G и положим,что совокупность H элементов, содержащая лишь часть элементовгруппы G, также образует группу при сохранении прежнего определения умножения.
В этом случае группа H называется подгруппойгруппы G. Нетрудно видеть, что совокупность, состоящая из одногоединичного элемента группы G, есть всегда подгруппа. Это — тривиальная подгруппа. В дальнейшем, говоря о подгруппе, мы будемразуметь не тривиальную подгруппу.Обозначим через Hα элементы подгруппы H, и пусть G1 — некоторый элемент общей группы G, причем G1 не принадлежит H.Произведения G1 Hα , как мы видели выше, дадут нам различныеэлементы группы G, причем эти элементы не принадлежат H. Действительно, в противном случае мы имели бы при некоторых значениях α1 и α2 значка α: G1 Hα1 = Hα2 , откуда G1 = Hα2 Hα−1, т.
е. G11должно принадлежать H, что противоречит поставленному усло-57]§ 5. Основы общей теории групп257вию. Положим теперь, что G1 и G2 суть два различных элементаобщей группы G, не принадлежащих подгруппе H. Покажем, чтосовокупности элементов G1 Hα и G2 Hα или вовсе не имеют общихэлементов, или совпадают, т. е. состоят из одних и тех же элементов.Действительно, если при некоторых значениях значка α мы имеемG2 Hα2 = G1 Hα1 , то отсюда следует G2 = G1 Hα1 Hα−1= G1 Hα3 , т. е.2G2 принадлежит совокупности элементов G1 Hα , и точно так же G1принадлежит совокупности элементов G2 Hα . Отсюда следует, чтопроизведения G1 Hα и G2 Hα определяют одну и ту же совокупностьэлементов.Возьмем все элементы Hα подгруппы H.
Они не исчерпываютвсех элементов группы G. Рассмотрим некоторый элемент G1 , непринадлежащих H, и составим всевозможные произведения G1 Hα ,которые, как мы видели выше, все различны между собою и отличны от Hα .Может случиться, что элементы Hα и G1 Hα также не исчерпывают всей группы. Возьмем некоторый элемент группы G2 , не принадлежащий Hα и G1 Hα , и составим всевозможные произведенияG2 Hα . Как мы видели выше, элементы G2 Hα будут все различнымежду собой и будут отличны от элементов Hα и G1 Hα .
Если элементы Hα , G1 Hα и G2 Hα не исчерпывают всех элементов группыG, то возьмем некоторый элемент G3 , не принадлежащий указанным выше трем совокупностям элементов, и составим произведенияG3 Hα . Мы получим таким образом новые элементы группы и т. д.Положим, что путем конечного числа таких операций мы исчерпаем все элементы группы G. Пусть для этого потребуется (m − 1)элементов Gk . При этом все элементы группы G будут представлены в следующем виде:Hα , G1 Hα , G2 Hα , . . . , Gm−1 Hα ,(35)где значок α пробегает значения, соответствующие подгруппе H.Если положим Gk = Gk Hα0 , где α0 как-нибудь фиксировано, тосовокупность элементов Gk Hα , как показано выше, будет совпадать с совокупностью Gk Hα .
Иначе говоря, в каждой совокупности Gk Hα (G0 = I) любой элемент совокупности может играть рольпредставителя Gk . Отсюда непосредственно следует, что при заданной подгруппе Hα разбиение элементов группы G на совокупности258Гл. III. Основы теории групп и линейные представления групп [57вида (35) вполне определено. Совокупности Gk Hα называются совокупностями, сопряженными относительно подгруппы Hα .В рассматриваемом случае (35) подгруппа H называется подгруппой конечного индекса, а именно подгруппой индекса m.
Еслигруппа G конечна, то индекс подгруппы H будет равен, очевидно,частному от деления порядка всей группы G на порядок подгруппыH, причем порядком конечной группы называется число содержащихся в ней элементов. Заметим, что из совокупностей (35) толькопервая совокупность образует подгруппу. Каждая из остальных совокупностей Gk Hα не содержит единичного элемента, а потому неможет образовать подгруппы.При построении схемы (35) мы умножали элементы Hα подгруппы H на элементы Gk группы G слева.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
