1610915347-b0cdcab04f9552ce71235da8ebe43143 (824740), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Сходимость последовательностиэлементов fn (x) к элементу f (x) определяется формулой|f (x) − fn (x)|2 dx = 0,(278)limn→∞E222Гл. II. Линейные преобразования и квадратичные формы[50и повторяются без изменения определения и результаты [46] и [47],причем надо иметь в виду [II, 161–163]. Отметим, что если ak и bk —коэффициенты Фурье элементов f (x) и g(x) относительно полнойортонормированной системы ϕk (x) (k = 1, 2, . . .), т. е.(279)ak = f (x)ϕk (x)dx; bk = g(x)ϕk (x)dx,EEто имеет место, как и в [47], обобщенное уравнение замкнутостиf (x)g(x)dx =∞ak bk .(280)k=1EИз сказанного выше следует, что сходимость ряда в L2ψ(x) = ψ1 (x) + ψ2 (x) + .
. .есть сходимость в среднем|f (x) − sn (x)|2 dx = 0,limn→∞Eгде sn (x) — сумма первых n членов ряда.50. Связь между пространствами l 2 и L2 . Пусть, как ивыше,ϕk (x) (k = 1, 2, . . .)(281)— некоторая полная ортонормированная в L2 система. При этомлюбому элементу из L2 соответствует бесконечная последовательность ak его коэффициентов Фурье, сумма квадратов модулей которых сходится, и наоборот, любой бесконечной последовательности комплексных чисел ck (k = 1, 2, . .
.), сумма квадратов модулейкоторых сходится, соответствует определенный элемент L2 , для которого ck суть коэффициенты Фурье относительно системы (281)[II, 163]. Таким образом, эта система приводит в биоднозначное соответствие элементы L2 и элементы l2 : всякому элементу L2 соответствует определенный элемент l2 , и наоборот [II, 163]. При этом50]§ 4. Квадратичные формы223сохраняются сложение, умножение на число, скалярное произведение (в силу (280)) и норма. Если последовательность fn (x) элементов L2 сходится к элементу f (x), т.
е. ||f − fn || → 0 при n → ∞, тото же будет иметь место и для соответствующих элементов l2 , чтоследует из равенства норм:∞(n)|ak − ak |2 = |f (x) − fn (x)|2 dx,k=1E(n)ak— составляющие элементов l2 , соответствующих f (x)где ak ии fn (x).При установлении соответствия между пространствами L2 и l2мы исходили из определенной полной ортонормированной системы(281). Если взять другую такую же системуψk (x)(k = 1, 2, . .
.),(282)то, конечно, закон соответствия будет уже иным. Всякая функциясистемы (282) разлагается в ряд Фурье по ϕk (x):ψk (x) =∞uik ϕi (x)(k = 1, 2, . . .),(283)i=1причем ряд, стоящий справа, сходится в L2 . Принимая во вниманиеобобщенное уравнение замкнутости, получим:∞usi usk = δik(i, k = 1, 2, . .
.),s=1т. е. матрица U с элементами uik ортонормирована по строкам. Принимая во внимание, чтоuik = ψk (x)ϕi (x)dxEи полноту системы (281), получаем:∞|uik |2 = |ψk (x)|2 dx = 1,i=1E224Гл. II. Линейные преобразования и квадратичные формы[51откуда следует, что таблица U есть таблица унитарного преобразования. Нетрудно показать, что и наоборот, всякая таблица унитарного преобразования U приводит согласно (283) к полной ортонормированной системе (282), если такою же была система (281).Приведем в качестве примера для пространства L2 функций однойнезависимой переменной на отрезке (−π, π) систему функций [II,174]:1ϕk (x) = √ eikx (k = 1, 2, .
. .).(284)2πНетрудно доказать, что это — ортонормированная система. Отметим, что нумерация по k производится здесь не от 1 до ∞, а от(−∞) до (+∞). Такое изменение нумерации несущественно. Пользуясь результатами [II, 169], можно показать, что система (284) —полная.51. Линейные операторы в L2 . Положим, что имеет местоопределенный закон, согласно которому всякой функции f (x) изL2 (E) соответствует некоторая другая функция F (x) из того жеL2 (E):F (x) = A[f (x)],(285)где A — символическое обозначение этого закона соответствия.
Мыимеем здесь как бы обобщенное понятие функции: роль аргументаиграет не любое число из некоторого множества, например, промежутка, а любая функция из L2 (E), и значением функции являетсятакже некоторая функция из L2 (E). Такое соответствие, устанавливаемое формулой (285), называется обычно функциональным оператором. Оператор A называется линейным, еслиA[f (x) + g(x)] = A[f (x)] + A[g(x)];A[αf (x)] = αA[f (x)],(286)где α — любое комплексное число, и ограниченным, если существуеттакое положительное число M , что||Af || M ||f ||при любом f (x) из L2 (E).(287)51]§ 4. Квадратичные формы225Если последовательность fn (x) сходится к f (x) в L2 и A — линейный ограниченный оператор, то Afn (x) сходится к Af (x) в L2 .Это непосредственно следует из неравенства||A[f (x) − fn (x)]|| M ||f − fn ||,т.
е.||Af − Afn || M ||f − fn ||.Нетрудно сформулировать для рассматриваемого случая определения эрмитовского и унитарного преобразований. Линейныйограниченный оператор A называется эрмитовским (самосопряженным), если(Af, g) = (f, Ag)(288)для любых f (x) и g(x) из L2 . Линейный оператор U называетсяунитарным, если он биоднозначно преобразует L2 в себя,U [f (x)] = F (x),(289)и не меняет нормы:||U f (x)|| = ||f ||.Указанная биоднозначность преобразования (289) сводится к следующему: не только всякому элементу f (x) из L2 соответствуетопределенный элемент F (x), но и всякому F (x) из L2 соответствует один определенный прообраз f (x).
Из этого следует, что для Uимеется обратный оператор U −1 , который по F (x) восстанавливает f (x). Нетрудно видеть, что U −1 — также унитарный оператор.Для унитарного оператора неравенство (287) можно заменить равенством, положив M = 1. Легко показать, что унитарное преобразование не меняет не только нормы, но и скалярного произведения,т. е.(U f, U g) = (f, g)для любых f (x) и g(x) из L2 , и что U преобразует всякую полнуюортонормированную систему из L2 в такую же систему. Определимеще понятие сопряженного оператора.
Оператор A∗ называется сопряженным с линейным ограниченным оператором A, если длялюбых f (x) и g(x) из L2 имеет место равенство(Af, g) = (f, A∗ g).226Гл. II. Линейные преобразования и квадратичные формы[51Можно показать, что для всякого линейного ограниченного оператора A существует единственный сопряженный оператор A∗ . Рассмотрим пространство L2 функций f (x) одного независимого переменного, определенных на конечном или бесконечном промежутке(a, b).
В таком L2 линейные операторы часто определяются формулойbF (x) = K(x, t)f (t)dt,(290)aгде K(x, t) — функция, определенная (измеримая) в квадратеa x b, a t b. Операторы вида (290) называются обычно интегральными операторами, а функция K(x, t) — ядром оператора.Еслиb b|K(x, t)|2 dx dt < +∞,aaили если существует такое число p, что'b'b|K(x, t)|dt p иa|K(x, t)|dx p при всех t, x из (a, b), то формула (290) определяетaлинейный ограниченный оператор. Можно показать, что оператор,сопряженный с ограниченным оператором (290), есть также интегральный оператор с ядром K ∗ (x, t) = K(t, x). Примером унитарного преобразования в L2 на промежутке (−∞, +∞) являетсяпреобразование Фурье:1F (x) = U f (x) = n→∞lim √2πm→∞me−ixt f (t)dt,−nгде lim есть предел функции от x, полученной в результате интегрирования в L2 на промежутке (−∞, +∞), т.
е. если обозначим1ϕn,m (x) = √2πm−ne−ixt f (t)dt,51]то§ 4. Квадратичные формы227+∞lim|F (x) − ϕn,m (x)|2 dx = 0.n→∞m→∞−∞Если f (x) не только принадлежит L2 на промежутке (−∞, +∞),но и суммируема на этом промежутке, то преобразование Фурьеможно записать в обычной форме1F (x) = √2π+∞e−ixt f (t)dt.−∞Неизменность нормы при преобразовании Фурье имеет вид+∞+∞2|F (x)| dx =|f (x)|2 dx.−∞−∞Рассмотрим теперь один частный пример.
Пусть в пространствеL2 на промежутке (−π, π) задан линейный оператор умножения нанезависимую переменную:A[f (x)] = xf (x).(291)Имеем, очевидно:2π||Af || =|x|2 |f (x)|2 dx π 2 ||f ||2 ,−πт. е. для оператора (291) в формуле (287) можно считать M = π.Построим линейное преобразование, выражающее оператор (291)в l2 , если принять за основу полную ортонормированную систему(284). Пусть ck — коэффициенты Фурье f (x) относительно системы(284):π1ck = √e−ikx f (x)dx (k = 0, ±1, ±2, .
. .)2π−π228Гл. II. Линейные преобразования и квадратичные формы[51и ck — коэффициенты Фурье xf (x):ck1= √2ππe−ikx xf (x)dx(k = 0, ±1, ±2, . . .).−πНам надо построить линейное преобразование (бесконечную матрицу), выражающее ck через ck . Определим коэффициенты Фурьефункции √12π eikx x:bm1=2ππ(m = 0, ±1, ±2, .
. .).ei(k−m)x xdx−πИнтегрируя по частям, получим:bm =(−1)k−mi(k − m)при m = k;bk = 0.Переписывая выражение ck в видеck1=√2ππeikx xf (x)dx−πи применяя обобщенное уравнение замкнутости, получим:ck = i+∞(−1)k−mcmk−mm=−∞(k = 0, ±1, ±2, . . .),(292)где штрих над знаком суммы показывает, что надо исключить слагаемое, соответствующее m = k. Формула (292) и дает линейноепреобразование в l2 , соответствующее оператору (291) в L2 , еслиза координатные функции в пространстве L2 взяты функции (284).Нетрудно показать, что оператор (291) — самосопряженный.Проведем общее рассуждение для любого линейного ограниченного самосопряженного оператора A, причем будем записывать коэффициенты Фурье в виде скалярного произведения и учтем определение (288) самосопряженного оператора.
Введем коэффициенты51]§ 4. Квадратичные формы229Фурье ck и ck для f (x) и Af (x) относительно полной ортонормированной системы ϕk (x):ck = (f, ϕk );ck = (Af, ϕk ) = (f, Aϕk ).(293)Введем теперь коэффициенты Фурье функций Aϕm (x):akm = (Aϕm , ϕk ) = (ϕm , Aϕk ),(294)откуда следует, что amk = akm , ибо по определениюamk = (Aϕk , ϕm ).Принимая во внимание обобщенное уравнение замкнутости, формулу для ck и (294), получим:ck =∞(f, ϕm )(Aϕk , ϕm ) =m=1∞(f, ϕm )(ϕm , Aϕk ),m=1т.
е.ck =∞akm cm(k = 1, 2, . . .).m=1Это преобразование и выражает оператор A в l2 , если ϕk (x) приняты за координатные функции в L2 .Мы рассматривали в предыдущих параграфах три случая, когда линейный оператор задан на всем L2 и ограничен. Если мывозьмем, например, оператор дифференцирования A[f (x)] = f (x),то он задан не на всем L2 , ибо не всякая функция из L2 имеет производную. Кроме того, указанный оператор не ограничен на томмножестве функций, на котором он задан.Более подробное и строгое изложение материала последних параграфов будет дано в пятом томе.Г Л А В А IIIОСНОВЫ ТЕОРИИ ГРУППИ ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП§ 5.
ОСНОВЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ГРУПП52. Группы линейных преобразований. Рассмотрим совокупность всех унитарных преобразований в n-мерном пространстве. Все эти преобразования имеют определитель, отличный отнуля, так что для каждого унитарного преобразования U x, котороевполне характеризуется соответствующей матрицей U , существуетвполне определенное обратное преобразование U −1 x, которое также будет унитарным [28].
Кроме того, если U1 x и U2 x — два унитарных преобразования, то и их произведение U2 U1 x также будетунитарным преобразованием. Все эти свойства совокупности всехунитарных преобразований выражают коротко тем, что говорят,что совокупность унитарных преобразований образует группу.Вообще совокупность некоторых линейных преобразований сопределителем, отличным от нуля, образует группу, если выполнены следующие два условия: во-первых, если некоторое преобразование принадлежит нашей совокупности, то и обратное преобразование также принадлежит совокупности, и, во-вторых, произведение двух преобразований, принадлежащих нашей совокупности(при любом порядке сомножителей), также принадлежит нашейсовокупности, причем множители могут быть и одинаковыми.Принимая во внимание, что произведение всякого преобразования на обратное ему есть тождественное преобразование, мы можем52]§ 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
