1610915347-b0cdcab04f9552ce71235da8ebe43143 (824740), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Обозначим(k)через xs составляющие векторов x(k) (k, s = 1, 2, . . .) ортонормированной системы (257) и выпишем их в виде бесконечной матрицы:x(1) , x(2) , x(3) , . . . 111 (1)x , x(2) , x(3) , . . . 2.22(263) (1)x , x(2) , x(3) , . . .33 3. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . Из условий ортонормированности (2571 ) непосредственно следуютформулы∞(k)x(i)(i, k = 1, 2, . . .),s xs = δiks=147]§ 4. Квадратичные формы215т. е. следует ортонормированность столбцов матрицы (263). Выясним теперь условия, при которых ортонормированная система(257) будет полной.Сначала установим необходимые условия полноты.
Положим, что система (257) — полная, и применим к векторамa(k) (0, 0, . . . , 1, 0, . . .), которые мы ввели в [45], уравнения замкнутости (261) и (2611 ). Принимая во внимание, что (a(k) , x(l) ) = xlk ичто a(k) образуют ортонормированную систему, получим:∞(s) (s)xi xk = δik ,s=1т. е. для полноты ортонормированной системы x(k) необходима ортонормированность строк матрицы (263).
Покажем, что для полноты достаточно потребовать лишь нормированности строк:∞(s)|xk |2 = 1.(264)s=1Положим, что эти условия выполнены, и докажем полноту систе(s)мы x(k) . Формулы (264) являются, в силу (a(k) , x(s) ) = xk и||a(k) || = 1, уравнением замкнутости для векторов a(k) , и следовательно, имеем:∞a(k) =(a(k) , x(s) )x(s) .(265)s=1Вместе с тем коэффициенты Фурье любого вектора y (y1 , y2 , . . .)по отношению к ортонормированной системе a(k) равны составляющим y (k) (k = 1, 2, . . .) и уравнение замкнутости для y совпадаетпросто с определением нормы y (263), т. е. система a(k) — полная.Пусть v — вектор, ортогональный ко всем x(k) . Докажем, что этонулевой вектор.
Из (265) следует, что (a(k) , v) = 0 (k = 1, 2, . . .).Поскольку a(k) образуют полную систему, отсюда и следует, чтоv — нулевой вектор. Таким образом, при соблюдении условий (264)доказана полнота ортонормированной системы x(k) . Сформулируем полученный результат: для того чтобы ортонормированная система x(k) была полной (замкнутой), необходимо и достаточно,216Гл. II.
Линейные преобразования и квадратичные формы[48чтобы имели место формулы (264) (нормированность по строкамматрицы (263)). При соблюдении этих условий будет иметь местои ортогональность строк матрицы (263).48. Линейные преобразования с бесчисленным множеством переменных. Рассмотрим в кратких чертах линейные преобразования с бесчисленным множеством переменных:⎫x1 = a11 x1 + a12 x2 + . . . ,⎪⎬x2 = a21 x1 + a22 x2 + . . .
,(266)⎪⎭........................или(267)x = Ax,где A есть бесконечная матрица с элементами aik . Поставим прежде всего условие, чтобы бесконечные ряды, входящие в правые части равенств (266), были сходящимися для любого вектора x изпространства l2 . Как мы знаем, это условие будет выполнено, еслиряды∞|aik |2 (i = 1, 2, . . .)k=1будут сходящимися при всяком i. Можно показать, что это условиене только достаточно, но и необходимо. Если это условие не выполнено, то ряды, стоящие в правых частях равенств (266), будутсходящимися не для всего пространства l2 , но лишь для некоторойего части.Естественно также поставить условие того, чтобы числа xk , получаемые в результате преобразования (266), также являлись составляющими некоторого вектора пространства l2 , если xk суть составляющие некоторого вектора, т.
е. чтобы ряд∞|xk |2k=1был сходящимся, если только сходится ряд∞k=1|xk |2 .48]§ 4. Квадратичные формы217Если матрица A удовлетворяет обоим вышеуказанным условиям, то соответствующее преобразование A называется ограниченным преобразованием. Смысл этого термина заключается в том,что для такого преобразования можно показать существование положительного числа M такого, что||x ||2 M ||x||2 ,(268)или в раскрытом виде:∞|xk |2 Mk=1∞|xk |2 .(269)k=1Остановимся на одном частном случае линейных преобразований.Рассмотрим линейное преобразование⎫x1 = u11 x1 + u12 x2 + . .
. ,⎪⎬x2 = u21 x1 + u22 x2 + . . . ,(270)⎪⎭........................причем, как всегда, считаем, что ряды∞|uik |2k=1сходятся при всяком i. Введем в рассмотрение векторы u(k) с составляющими: uk1 , uk2 , . . . , и положим, что коэффициенты uik таковы, что векторы u(k) образуют полную ортонормированную систему. Как мы показали выше, это равносильно ортогональности инормированности таблицы uik по строкам и столбцам, т. е.∞k=1usp usq = δpq ,∞ups uqs = δpq .(271)k=1Соответствующее преобразование (270) называется в этом случаеунитарным.218Гл.
II. Линейные преобразования и квадратичные формы[48Равенства (270) мы можем записать в виде⎫(x, u(1) ) = x1 , ⎪⎬(x, u(2) ) = x2 ,⎪⎭...............(272)Формула замкнутости дает:∞k=1|xk |2 = ||x||2 =∞|xk |2 ,k=1т. е., как и в случае конечного числа измерений, унитарное преобразование не меняет длины вектора, и в формуле (268) мы можемсчитать M = 1.Систему (270) или, что то же, (272) нетрудно решить относительно xk , если заданные числа xk таковы, что ряд из квадратов их модулей сходится.
Принимая во внимание, что векторыu(k) (uk1 , uk2 , . . .) образуют по условию полную ортонормированную систему, получаем в силу (272):илиx = x1 u(1) + x2 u (2) + . . .(273)⎫x1 = u11 x1 + u21 x2 + . . . ,⎪⎬x2 = u12 x1 + u22 x2 + . . . ,⎪⎭........................ .(274)Формулы эти показывают, что преобразование, обратное унитарному, получается заменой строк столбцами и всех элементов сопряженными, т.
е. здесь имеет место полная аналогия со случаемконечного числа измерений.В общем случае даже ограниченных матриц вопрос об обратной матрице и о приведении матрицы к диагональной форме представляет большие трудности и приводит к результатам, которыене имеют своего точного аналога в пространстве с конечным числом измерений. Подробное рассмотрение теории бесконечных матриц проведено в пятом томе. Здесь мы ограничимся указанием48]§ 4. Квадратичные формы219лишь некоторых результатов. Приведем необходимое и достаточное условие для aik , при котором формула (266) дает ограниченное преобразование. Оно формулируется так: существует такоеположительное число M , что при любом целом положительномl и для любых комплексных чисел xs (s = 1, 2, . . .) выполняетсянеравенствоll aik xi xk M|xk |2 .i, k=1k=1Доказывается и следующее достаточное условие ограниченностипреобразования (266): существует такое положительное число p(не зависящее от i и k), что выполняются неравенства∞|aik | p,i=1∞|aik | p(k = 1, 2, .
. .),(i = 1, 2, . . .).k=1Если матрица A определяет ограниченное преобразование (266), то также определяющая огранисуществует единственная матрица A,ченное преобразование и такая, что для любых x и y выполняетсяравенство(Ax, y) = (x, Ay), выражаются через элементы A по фори элементы этой матрицы Aмулам aik = aki . Если A совпадает с A, т. е. aik = aki , то ограниченное преобразование (266) (или матрица A) называется самосопряженным (самосопряженной).Для ограниченных преобразований имеет место формула(Ax, y) =∞ ∞n=1m=1∞∞anm xm yn =xmanm y n =m=1n=1= limlk k→∞l→∞ m=1 n=1anm xm y n .220Гл.
II. Линейные преобразования и квадратичные формы[48Отметим один важный частный случай ограниченных операторов,а именно тот случай, когда сходится двойной ряд∞|anm |2 .(275)n, m=1При этом двойной ряд∞anm xm y nn, m=1абсолютно сходится при любом выборе векторов x (x1 , x2 , . . .)и y (y1 , y2 , . . .). Если, кроме сходимости ряда (275), мы имеемaik = aki , то имеет место возможность приведения формы Эрмитак сумме квадратов при помощи унитарного преобразования∞anm xm xn =n, m=1∞λk zk z k ,k=1где λk — вещественные числа и вектор z (z1 , z2 , . .
.) получается путем применения к вектору x (x1 , x2 , . . .) некоторого унитарногопреобразования: z = U x. При этом λk → 0 при k → ∞ (можетслучиться, что λk = 0 при всех достаточно больших k). Если Aи B — две бесконечные матрицы, дающие ограниченные преобразования, то их последовательное применение дает также ограниченное преобразование, коэффициенты которого вычисляются пообычным формулам{BA}ik =∞{B}is {A}sk .s=1Отметим еще, что если последовательность векторов x(k) имеет предел x, т. е.
если x(k) ⇒ x, то Ax(k) ⇒ Ax, если A — матрица ограниченного преобразования.Существенную важную роль в приложениях к математическойфизике играют и неограниченные линейные преобразования. Ихисследование изложено в пятом томе.49]§ 4. Квадратичные формы22149. Функциональное пространство L2 . Мы рассмотрелипространство l2 , в котором вектор определился бесчисленным множеством составляющих, которые мы нумеровали целыми числами:первая составляющая — x1 , вторая — x2 и т. д.Переходим теперь к рассмотрению семейства L2 (E) комплексных функций f (x) = f1 (x) + if2 (x), определенных на измеримоммножестве E и таких, что вещественные функции f1 (x) и f2 (x) измеримы на E и принадлежат L2 (E) [II, 161–163], откуда следует,что |f (x)| есть измеримая на E функция и принадлежит L2 (E). Если вещественные и мнимые части двух функций соответственноэквивалентны, то функции называются эквивалентными, и они,как элементы функционального пространства L2 (E), отождествляются, т.
е. элементом этого пространства является все множествоэквивалентных функций и любая функция этого множества может быть представителем этого множества. Нулевой элемент L2 (E)есть функция, эквивалентная нулю на E, например функция, тождественно равная нулю на E. В дальнейшем вместо L2 (E) мы будемписать просто L2 .Свойства функционального пространства L2 аналогичны свойствам l2 . Элементы L2 можно умножать на комплексные числа искладывать [II, 161]. Скалярное произведение двух элементов f (x)и g(x) определяется формулой(f, g) = f (x)g(x)dx(276)Eи квадрат нормы элемента f (x) — формулой2||f || = (f, f ) = |f (x)|2 dx.(277)EОпределение ортогональности — то же, что и для l2 , и без изменения повторяются результаты [45].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
