1610915347-b0cdcab04f9552ce71235da8ebe43143 (824740), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Предварительно нам надо ввести понятие о пределе комплексного переменного. Положим,что комплексное переменное z = x + yi принимает последовательнозначения:z1 = x1 + y1 i;z2 = x2 + y2 i;...;zn = xn + yn i;...(225)Говорят, что комплексное число α = a + bi есть предел последовательности (225), если модуль разности (α − zn ) стремится к нулюпри беспредельном возрастании n, т. е. |α − zn | → 0 при n → ∞, ипишут α = lim zn или zn → α. Но|α − zn | = |(a − xn ) + (b − yn )i| = (a − xn )2 + (b − yn )2 .Поскольку под радикалом оба слагаемых не отрицательны, условие|α − zn | → 0 равносильно двум условиям: xn → a и yn → b. Итак:xn + yn i → a + bi(226)равносильно xn → a и yn → b.
Рассмотрим ряд с комплекснымичленами:∞(ak + bk i).(227)k=1200Гл. II. Линейные преобразования и квадратичные формы[45Он называется сходящимся, если сумма его первых n членовSn =n(ak + bk i) = (a1 + a2 + . . . + an ) + (b1 + b2 + . . . + bn )ik=1стремится к пределу: Sn → a + bi при беспредельном возрастанииn и этот предел (a + bi) называется суммой ряда. Из определенияпредела следует, что сходимость ряда (227) равносильна сходимости рядов∞∞a=ak и b =bk ,(228)k=1k=1составленных из вещественных и мнимых частей членов ряда (227).Положим, что сходится ряд∞|ak + ibk | =k=1∞ !a2k + b2k ,(229)k=1составленный из модулей членов ряда (227). В силу очевидныхнеравенств!!(230)|ak | a2k + b2k и |bk | a2k + b2k ,при этом и ряды (228) будут сходящимися и притом абсолютно сходящимися, а потому и ряд (227) будет также сходящимся, т.
е. еслисходится ряд (229), то ряд (227) и подавно сходится. В этом случаеряд (227) называется абсолютно сходящимся. Применяя обычныйпризнак Коши, мы можем формулировать необходимое и достаточное условие абсолютной сходимости следующим образом: прилюбом малом положительном ε существует такое N , чтоn+p|ak + ibk | < ε,(231)k=nесли только n > N и p — любое целое положительное число.Применим теперь сказанное выше к некоторым частным случаям, которые играют существенную роль в дальнейшем. Рассмотрим45]§ 4.
Квадратичные формыряд вида∞201(232)αk βk ,k=1где αk и βk — некоторые комплексные числа, относительно которыхизвестно, что ряды∞|αk |2иk=1∞|βk |2(233)k=1сходятся. Применим доказанное в [29] неравенство" n+p#2 n+pn+p|αk βk | |αk |2|βk |2 .k=nk=nk=nПринимая во внимание сходимость рядов (233), мы получаем отсюда, что суммаn+p|αk βk |k=nбудет сколь угодно малой при больших n и любых p, т. е.
сходимостьрядов (233) обеспечивает абсолютную сходимость ряда (232).Рассмотрим теперь ряд∞|αk + βk |2 =k=1∞(αk + βk )(αk + β k ),(234)k=1причем по-прежнему будем считать, что ряды (233) сходятся. Ряд(234) можно представить в виде суммы четырех рядов:∞k=1|αk |2 ;∞k=1|βk |2 ;∞k=1αk β k ;∞α k βk .k=1Первые два из них сходятся по условию, сходимость же последних двух рядов вытекает из доказанного выше предложения, т. е.сходимость рядов (233) обеспечивает и сходимость ряда (234).202Гл. II. Линейные преобразования и квадратичные формы[45Обратимся теперь к рассмотрению пространства с бесчисленным множеством измерений. Мы назовем вектором в такомпространстве последовательность бесчисленного множества комплексных чиселx (x1 , x2 , . .
.),причем всегда будем считать, что эти числа подчиняются некоторому условию, а именно ряд∞|xk |2(235)k=1должен быть сходящимся рядом. Совокупность таких векторов называется обычно пространством Гильберта 7 , который впервыеизучал такое пространство. В дальнейшем мы будем для краткостиназывать его пространством l2 .Для векторов пространства l2 мы введем, как и выше, основные операции умножения вектора на число и сложение векторов.Если xk — составляющие x, то составляющие вектора cx, где c —некоторое комплексное число, считаются равными cxk .
Если xk иyk — составляющие векторов x и y, то составляющие вектора (x+y)считаются равными (xk + yk ). Разность x − y есть сумма x и (−1)y)∞$(ср. [12]). Раз ряд (235) сходится, то, очевидно, ряд|cxk |2 такжеk=1сходится. Точно так же, если ряды∞|xk |2k=1и∞|yk |2k=1сходятся, то из вышесказанного вытекает, что и ряд∞|xk + yk |2k=1также сходится, т. е. последовательности чисел (cx1 , cx2 , . .
.) и(x1 + y1 , x2 + y2 , . . .) определяют векторы cx и x + y, если x и7 Пространство Гильберта (или Гильбертово пространство) есть полное линейное, нормированное пространство с нормой, порождаемой скалярным произведением.45]§ 4. Квадратичные формы203y принадлежат l2 . Нулевой вектор есть вектор, все составляющиекоторого равны нулю. В векторных равенствах он обычно обозначается числом нуль. Операции над векторами подчиняются обычнымправилам (ср. [12]):x + y = y + x;(a + b)x = ax + bx;(x + y) + z = x + (y + z),a(x + y) = ax + ay;a(bx) = (ab)x.Точно так же, в силу сказанного выше, мы можем для векторов xи y определить скалярное произведение(x, y) =∞xk yk ,k=1откуда следуют формулы [13](y, x) = (x, y);(ax, y) = a(x, y);(x + y, z) = (x, z) + (y, z);Сумма(x, x) =(x, ay) = a(x, y),(z, x + y) = (z, x) + (z, y).∞|xk |2(236)k=1определяет квадрат нормы (длины) вектора x. Введем следующееобозначение нормы:∞|xk |2 = ||x||2 ,(237)k=1т.
е. ||x|| обозначает норму вектора x.Для скалярного произведения имеет место неравенство [30]|(x, y)| ||x|| · ||y||(238)и совершенно так же, как в [30], выводится правило треугольника||x + y|| ||x|| + ||y||.(239)Норма положительна для всякого вектора, кроме нулевого вектора,у которого она равна нулю. Два вектора u и v называются взаимно204Гл. II. Линейные преобразования и квадратичные формы[45ортогональными или просто ортогональными, если их скалярноепроизведение равно нулю, т.
е. (u, v) = 0 и (v, u) = 0, причем одноиз этих равенств есть следствие другого.Если векторы x(k) (k = 1, 2, . . . , m) попарно ортогональны, т. е.если (x(i) , x(k) ) = 0 при i = k, то имеем, очевидно:(x(1) + . . . + x(m) , x(1) + . . . + x(m) ) = (x(1) , x(1) ) + . .
. + (x(m) , x(m) ),или, что то же самое:||x(1) + . . . + x(m) ||2 = ||x(1) ||2 + . . . + ||x(m) ||2 ,(240)т. е. квадрат нормы суммы попарно ортогональных векторов равенсумме квадратов норм слагаемых. Естественно назвать это предложение теоремой Пифагора. Из определения нормы непосредственноследует, что если c — комплексное число, то для нормы вектора cxимеем:||cx|| = |c| · ||x||.Говорят, что векторыx(1) , x(2) , . . . , x(m)(241)образуют ортонормированную систему, если эти векторы попарноортогональны и норма каждого равна единице, т. е.(x(i) , x(k) ) = δik ,где δik = 0 при i = k и δii = 1.
Отметим, что при этом формула(240) дает:||α1 x(1) + . . . + αm x(m) ||2 = |α1 |2 + . . . + |αm |2 ,где αk — любые комплексные числа. Ортонормированные системымогут состоять и из бесчисленного множества векторов. В качествепримера приведем основные орты пространства l2 :a(1) (1, 0, 0, 0, . . .);a(2) (0, 1, 0, 0, . .
.);a(3) (0, 0, 1, 0, . . .);Для составляющих любого вектора y (y1 , y2 , . . .) имеем:yk = (y, a(k) )....45]§ 4. Квадратичные формы205Вернемся к конечной ортонормированной системе (241). Скалярное произведение (y, x(k) ) называют часто коэффициентом Фурьевектора y относительно ортонормированной системы (241) или величиной проекции y на ось x(k) . Суммаm(y, x(k) )x(k) ,k=1вообще говоря, отлична от y.
Представим y в видеν=m(y, x(k) )x(k) + u.(242)k=1Умножая обе части этого равенства скалярно на x(i) и принимаяво внимание ортонормированность системы (241), получим:(y, x(l) ) = (y, x(l) ) + (u, x(l) ),т. е. (u, x(l) ) = 0 (l = 1, 2, . . . , m) или, иначе говоря, вектор uортогонален ко всем векторам x(k) (k = 1, 2, . . . , m). Мы можемтаким образом применить к правой части равенства (242) теоремуПифагораm2||y|| =|(y, x(k) )|2 + ||u||2 ,(243)k=1откуда непосредственно следует неравенствоm|(y, x(k) )|2 ||y||2 ,(244)k=1которое называется неравенством Бесселя.
В этом неравенстве будет иметь место знак равенства в том и только в том случае, когдаu = 0, т. е. когда u — нулевой вектор. Это непосредственно следуетиз (243).Для перенесения последних результатов на случай бесконечныхортонормированных систем нам необходимо ввести понятие предела последовательности векторов и рассматривать бесконечные ряды, члены которых — векторы l2 .206Гл. II. Линейные преобразования и квадратичные формы[4646. Сходимость векторов. Пусть имеется бесконечная последовательность векторов v(k) (k = 1, 2, .
. .). Будем говорить, что этапоследовательность стремится к вектору v, или что вектор v естьпредел этой последовательности, если при k → ∞||v − v(k) || → 0,(k)т. е. ||v − v(k) ||2 → 0.(245)(k)Обозначая через v1 , v2 , . . ., составляющие v(k) , а через v1 , v2 , . . .— составляющие v, можем написать условие (245) в раскрытом виде:∞%&(k)(k)lim|v1 − v1 |2 + |v2 − v2 |2 + . . . = 0.(246)k→∞k=1Раз сумма неотрицательных слагаемых должна стремиться к нулю,то то же можно утверждать и о каждом слагаемом, т. е. из (246)следует(k)lim |vm − vm|=0k→∞(m = 1, 2, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
