1610915347-b0cdcab04f9552ce71235da8ebe43143 (824740), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Основы общей теории групп231утверждать, что группа обязательно должна содержать тождественное преобразование, т. е. единичную матрицу.Вообще линейное преобразование вполне определяется своейматрицей, и во всем предыдущем так же, как и впоследствии, мыможем говорить или о группе линейных преобразований, или о группе матриц.Приведем еще примеры групп линейных преобразований.Нетрудно видеть, что совокупность всех вещественных ортогональных преобразований образует группу. Как известно, эти вещественные ортогональные преобразования имеют определитель, равный(±1). Если взять совокупность вещественных ортогональных преобразований с определителем (+1), то они также образуют группу.
Ноесли мы возьмем совокупность вещественных ортогональных преобразований с определителем (−1), то они уже не образуют группу,так как произведение двух матриц с определителем (−1) дает матрицу с определителем (+1).В частности, если мы рассмотрим группу вещественных ортогональных преобразований с тремя переменными, то это будет группа, состоящая из чистых вращений пространства вокруг начала ииз преобразований, которые получаются в результате такого вращения и преобразований симметрии относительно начала. Если же мывозьмем группу линейных ортогональных преобразований с тремяпеременными, с определителем (+1), то это будет группа вращенияпространства вокруг начала.Во всех рассмотренных случаях группа содержала бесчисленноемножество преобразований, в частности группа вращения трехмерного пространства вокруг начала зависела от трех произвольныхвещественных параметров — углов Эйлера, о которых мы говориливыше.В качестве следующего примера рассмотрим вращение пространства вокруг оси Z на угол ϕ.
Соответствующие формулы имеют видx = x cos ϕ − y sin ϕ,(1)y = x sin ϕ + y cos ϕ.При возможных значениях вещественного параметра ϕ в промежутке (0, 2π) мы получаем, очевидно, группу, содержащую бес-232Гл. III. Основы теории групп и линейные представления групп [52численное множество преобразований и зависящую от одного вещественного параметра.
Введем следующее обозначение для матрицыпреобразования:cos ϕ, − sin ϕ.Zϕ = (2)sin ϕ,cos ϕНепосредственно очевидно, что произведение двух вращений наугол ϕ1 и ϕ2 дает вращение на угол (ϕ1 + ϕ2 ):Zϕ2 Zϕ1 = Zϕ2+ϕ1(3)и точно так жеZϕ1 Zϕ2 = Zϕ1+ϕ2 .Мы видим, таким образом, что в данном случае все преобразования группы или, как говорят, элементы группы попарно коммутируют.
Такая группа называется абелевой группой. Кроме того, впоследнем примере перемножение двух элементов группы сводитсяпросто к сложению значений параметра ϕ, соответствующих перемножаемым матрицам.Мы можем несколько расширить последнюю группу, взяв нетолько вращение плоскости XY вокруг начала, но и зеркальноеотображение, т. е. симметрию, относительно оси Y , причем, очевидно, безразлично, в каком порядке производить эти операции —сначала вращение вокруг начала, а затем симметрию относительнооси Y или наоборот.
Перемена порядка повлияет на результат, нообщая совокупность преобразований будет одна и та же при обоихспособах. Это будут вещественные ортогональные преобразованияс двумя переменными. Общий вид соответствующих матриц будет:d cos ϕ, − d sin ϕ,(4){ϕ, d} = sin ϕ,cos ϕ где ϕ — прежний параметр, а d — число, равное ±1. При d = 1 мыполучаем простое вращение плоскости XY вокруг начала, а приd = −1 получается вращение, после которого производится упомянутая выше симметрия.
Нетрудно проверить, что для произведенияматриц (4) мы будем иметь следующее правило:{ϕ2 , d2 } {ϕ1 , d1 } = {ϕ1 + d1 ϕ2 , d1 d2 }.(5)52]§ 5. Основы общей теории групп233В данном случае произведение уже может зависеть от порядкасомножителей, т. е. группа уже не будет абелевой. Точно так же,очевидно, группа вещественных ортогональных преобразований втрехмерном пространстве или даже группа вращения трехмерногопространства вокруг начала не будет абелевой.До сих пор мы приводили примеры групп, содержащих бесчисленное множество преобразований (элементов), и соответствующиематрицы содержали произвольные вещественные параметры.
Сейчас приведем некоторые примеры групп, содержащих конечное число элементов. Пусть m — некоторое целое положительное число.Рассмотрим совокупность вращений плоскости XY вокруг началана углы2π 4π2(m − 1)π0,,, ...,.m mmМы будем иметь здесь всего m преобразований, матрицы которых будут:cos 2kπ , − sin 2kπ mm Z 2kπ = (k = 0, 1, . . . , m − 1).m sin 2kπcos 2kπm ,mЭти преобразования образуют, очевидно, группу, и элементыэтой группы суть целые положительные степени одного и того жепреобразования, а именноZ 2kπ = (Z 2π)kmm(k = 0, 1, . .
. , m − 1).(6)Такая конечная группа, состоящая из степеней некоторого преобразования, называется обычно циклической.Если мы возьмем некоторый угол ϕ0 , не соизмеримый с π, топреобразования (матрицы)Zϕk 0 = Zkϕ0(k = 0, ±1, ±2, . . .)(7)образуют также, очевидно, группу. Но эта группа будет состоятьуже из бесчисленного множества элементов, так как ни при какихцелых показателях матрица Zϕk 0 не совпадает с Zϕ0 0 = I. Группа (7)будет бесконечной группой, но ее матрицы не содержат никакого234Гл.
III. Основы теории групп и линейные представления групп [53непрерывно меняющегося параметра. В данном случае, как говорят, число элементов в группе будет счетным, т. е. мы можем пронумеровать все элементы группы целыми числами, снабдив всякийэлемент группы значком, равным целому числу, так что разнымэлементам будут соответствовать разные значки, и всякое целоечисло будет знаком у некоторого элемента. Этого нельзя сделать вслучае групп, содержащих непрерывно меняющиеся параметры.53.
Группы правильных многогранников. Приведем ещепримеры конечных групп, причем образуем их из вращений трехмерного пространства вокруг начала. Такие вращения в определенной координатной системе выражаются, как мы знаем, некоторымилинейными преобразованиями координат. Заметим, что когда мыговорим о вращении пространства вокруг начала, то подразумеваем под этим лишь окончательный эффект перехода из начальногоположения в преобразованное. Каким путем этот переход совершается, это совершенно не входит в наше рассмотрение. Действительно, всякое линейное преобразование определяет координаты преобразованной точки, но, конечно, ничего не говорит о самом путипреобразования. Рассмотрение самого пути преобразования совершенно при этом не входит в рассуждения.Рассмотрим сферу с центром вначале и радиусом единица. Впишем в эту сферу какой-нибудьправильный многогранник, например октаэдр (рис.
2). Поверхность этого многогранника состоит, как известно, из восьми равносторонних треугольников. Рассмотрим теперь совокупность техвращений трехмерного пространства вокруг начала, при которыхвзятый нами октаэдр совмещается сам с собой. Нетрудно видеть,Рис. 2.что совокупность этих вращенийобразует группу и что эта группа содержит конечное число элементов.
Подсчитаем число элементов группы. Возьмем какую-нибудь53]§ 5. Основы общей теории групп235ось октаэдра, соединяющую две противоположные вершины. Октаэдр совместится сам с собой, если мы повернем пространство вокругупомянутой оси на угол 0, π2 , π, 3π2 . Вращению на угол 0 соответствует, очевидно, тождественное преобразование, т. е. единичнаяматрица. Обозначим упомянутые четыре вращения вокруг взятойоси черезS0 = I, S1 , S2 , S3 .(8)Пусть A — одна из вершин октаэдра, лежащая на взятой оси.Введем в рассмотрение пять линейных преобразованийT1 , T2 , T3 , T4 , T5 ,при которых октаэдр совмещается сам с собой, а его вершина Aсовпадает с одной из остальных пяти вершин октаэдра. Наряду счетырьмя вращениями (8) составим еще 20 вращений пространствавокруг начала следующего вида:T k S0 , T k S1 , T k S2 , T k S3(k = 1, 2, 3, 4, 5).(9)Нетрудно проверить, что 24 вращения (8) и (9) различны.
Этосовершенно очевидно и геометрически, а также может быть доказано следующим путем: пустьTp Sq = Tp1 Sq1 .(10)Преобразования Si соответствуют повороту вокруг оси, проходящей через вершину A, и при этих преобразованиях A остаетсяна месте. Преобразования Tp и Tp1 при различных значках p и p1переводят вершину A в различные вершины, и, следовательно, изравенства (10) вытекает, что значки p и p1 должны быть одинаковы,но тогда, очевидно, из этого же равенства будет путем умноженияслева на Tp−1 = Tp−1следовать, что и значки q и q1 также долж1ны быть одинаковы, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
