1610915347-b0cdcab04f9552ce71235da8ebe43143 (824740), страница 42
Текст из файла (страница 42)
В общем случае преобразования Лоренца второго порядка, как нетрудно показать, определитель может равняться (±1) и, следовательно, общее преобразование Лоренца также будет иметь определитель (±1).55. Перестановки. До сих пор мы рассматривали примерыгрупп, элементами которых являлись линейные преобразования.Понятие группы не связано обязательно операциями линейногопреобразования и может быть построено и для операций другогорода. Мы переходим сейчас к рассмотрению операций, с которыми55]§ 5.
Основы общей теории групп247уже встречались раньше [2], а именно переходим к рассмотрениюперестановок. Выясним сначала некоторые основные факты и понятия, относящиеся к перестановкам.Пусть имеется n некоторых объектов, которые мы, как и в [2],пронумеруем, т. е. будем просто считать, что эти объекты суть целые числа 1, 2, . .
. , n. Из этих чисел мы, как известно, можем составить n! перестановок. Возьмем одну из этих перестановокp 1 , p2 , . . . , pn .(26)Числа pk в своей совокупности дают все целые числа от 1 доn, причем в перестановке (26) они расставлены в определенном порядке.
Сравним перестановку (26) с основной перестановкой 1, 2,. . . , n:1 2 ... n(P ).(27)p 1 p2 . . . pnПереход от основной перестановки к перестановке (26) совершается путем замены 1 на p1 , 2 на p2 и т. д. Обозначим эту операциюодной буквой P и будем в дальнейшем называть ее перестановкой.Определим теперь понятие об обратной перестановке P −1 . Это будет такая операция, которая переводит (26) в основную последовательность, т. е. заменяет p1 на 1, p2 на 2 и т. д. Разъясним это начастном примере: возьмем n = 5 и рассмотрим перестановку1 2 3 4 5(P ).3 2 5 1 4Обратная перестановка будет иметь вид1 2 3 4 5(P −1 ).4 2 1 5 3Нетрудно видеть, что(P −1 )−1 = P.(28)Введем теперь понятие о произведении перестановок.
Пусть P1и P2 — какие-нибудь две перестановки. Назовем произведением перестановок P2 P1 такую перестановку, которая получается в результате применения сначала перестановки P1 , а затем перестановки P2 .248Гл. III. Основы теории групп и линейные представления групп [55Например, если мы имеем две перестановки1 2 3 4 51 2 3(P2 ) и5 1 4 3 23 1 54 52 4(P1 ),то их произведение P2 P1 будет давать перестановку вида1 2 3 4 5(P2 P1 ).4 5 2 1 3Непосредственно очевидно, что обратная перестановка P −1вполне определяется из условияP −1 P = P P −1 = I,(29)где через I мы обозначили единичную перестановку, при которойкаждый элемент заменяется сам собой.Последовательно применяя несколько перестановок, мы можемсоставить произведение нескольких перестановок P3 P2 P1 .
Нетрудно видеть, что такое произведение удовлетворяет сочетательномузакону, т. е.P3 (P2 P1 ) = (P3 P2 )P1 .(30)Действительно, произведя перестановку P1 , мы можем затем последовательно производить P2 и P3 , или вместо этого мы можемзаменить это последовательное применение P2 и P3 применениемодной перестановки (P3 P2 ), которая равносильна последовательному применению P2 и P3 . Заметим, наконец, что единичная перестановка удовлетворяет, очевидно, следующим условиям:IP = P I = P,(31)где P — любая перестановка. Произведение перестановок не будет,вообще говоря, удовлетворять переместительному закону, т.
е. произведения P2 P1 и P1 P2 будут, вообще говоря, различными перестановками. Предлагаем проверить это на предыдущем примере.Мы установили, таким образом, основные понятия произведения, обратной перестановки и единичной перестановки совершенно так же, как это сделали раньше для линейных преобразований (матриц). Можно теперь продолжить эту аналогию и дальше55]§ 5. Основы общей теории групп249и установить понятие о группе, а именно: совокупность перестановок образует группу, если выполнены следующие два условия:во-первых, если некоторая перестановка принадлежит нашей совокупности, то и обратная перестановка также принадлежит нашейсовокупности, и, во-вторых, произведение двух перестановок, принадлежащих нашей совокупности (при любом порядке сомножителей), также принадлежит нашей совокупности. Как и в случаелинейных преобразований, единичная перестановка должна обязательно принадлежать группе.Совокупность всех n! перестановок образует, очевидно, группу.
Перейдем теперь к установлению еще другой группы, котораясоставляет лишь часть предыдущей. Заметим для этого, что всякая перестановка может быть выполнена при помощи несколькихтранспозиций [2], причем для заданной перестановки число транспозиций может быть различным, но, как мы доказали выше, оно будет всегда для заданной перестановки или четным, или нечетным.Перестановки, состоящие из четного числа транспозиций, образуютсами по себе группу. Группа, образованная всеми перестановками,называется обычно симметрической группой, а группа, состоящаяиз четных перестановок, т. е.
из перестановок, сводящихся к четному числу транспозиций, называется знакопеременной.Рассмотрим теперь перестановки особого типа. Пусть l1 , l2 , . . . ,lm — какие-нибудь m различных чисел из первых n чисел. Положим, что наша перестановка состоит в замене l1 на l2 , l2 на l3 ит. д., lm−1 на lm и, наконец, lm на l1 . Перестановку такого типа назовем циклом и обозначим ее символом (l1 , l2 , . .
. , lm ). Совершаякруговую перестановку чисел внутри скобки, мы будем получатьциклы:(l2 , l3 , . . . , lm , l1 ),(l3 , l4 , . . . , lm , l1 , l2 ), . . . ,которые, очевидно, дают ту же перестановку, что и (l1 , l2 , . . . , lm ).Если m = 1, т. е. если мы имеем цикл (l1 ), то такой цикл равносилен, очевидно, единичной перестановке, и его не имеет смысларассматривать. Цикл из двух чисел (l1 , l2 ) равносилен, очевидно,транспозиции элементов l1 и l2 .Если имеются два цикла без общих элементов, то их произведение не зависит от порядка сомножителей.250Гл. III. Основы теории групп и линейные представления групп [55Пусть, например, n = 5, и мы имеем произведение двух цикловбез общих элементов (1, 3) (2, 4, 5) и (2, 4, 5) (1, 3).Оба эти произведения дают, очевидно, одну и ту же перестановку1 2 3 4 5.3 4 1 5 2Мы можем всякую перестановку P представить в виде произведения циклов, не имеющих общих элементов.
Чтобы сделать это,возьмем элемент 1 и примем его за первый элемент в цикле. Завторой элемент цикла возьмем тот элемент, который получается из1 при помощи P . Пусть это будет l2 . За третий элемент возьмемтот, который получается из l2 при помощи P и т. д., пока, наконец,не дойдем до такого элемента, который переходит в 1 при помощиP . Это и будет последний элемент составленного цикла. Нетрудновидеть, что этот цикл не может содержать одинаковых элементов.Составленный таким образом цикл не исчерпает, вообще говоря,все n элементов. Из оставшихся элементов возьмем какой-нибудьза первый элемент нового цикла и, как и выше, составим второйцикл и т. д.В качестве примера возьмем перестановку при n = 6:1 2 3 4 5 6.3 6 4 1 2 5Применяя предыдущий прием, можем представить ее в видепроизведения циклов1 2 3 4 5 6= (1, 3, 4) (2, 6, 5),3 6 4 1 2 5причем порядок сомножителей справа не играет роли.Нетрудно видеть, что произведение двух транспозиций можнопредставить в виде произведения трехчленных циклов.
Если двухчленные циклы не имеют общих элементов, то мы имеем, как легкопроверить:(l3 , l4 )(l1 , l2 ) = (l1 , l3 , l4 )(l1 , l2 , l4 ),55]§ 5. Основы общей теории групп251а при наличии общих элементов:(l1 , l3 )(l1 , l2 ) = (l1 , l2 , l3 ).Таким образом, всякую перестановку из знакопеременной группы можно представить в виде произведения трехчленных циклов.Отметим еще, что при перестановке можно в первой строке вместо натурального ряда чисел писать эти числа в любом порядке.Важно лишь, чтобы под каждым числом стояло то число, в которое оно переходит в результате взятой перестановки. Приведем дляпримера две записи одной и той же перестановки: 3 1 5 4 21 2 3 4 5.=5 3 4 1 23 2 5 1 4Пусть имеется некоторая перестановкаa 1 a 2 .
. . anP =.b1 b2 . . . bnОбратную перестановку мы можем, очевидно, записать в видеb1 b2 . . . bn−1P =.a 1 a 2 . . . anПусть имеются две перестановки, причем вторую мы запишемдвояко:1 2 ... nP =;c1 c2 . . . cn c 2 . . . cnc1 2 ... n= 1.Q=f1 f2 . . . fnd1 d2 . . . dnМы имеем:1−1PQ =c12c2... n. .
. cnd11d22. . . dn=... nd1 d2=c1 c2. . . dn. . . cn252Гл. III. Основы теории групп и линейные представления групп [56и, следовательно,QP Q−1 =c1f1c2f2. . . cn. . . fnd1c1d2c2. . . dn=. . . cnd1 d2=f1 f2. . . dn.. . . fnИз написанного вытекает следующее правило: чтобы получитьперестановку QP Q−1 , надо в обеих строчках перестановки1 2 ... nP =c 1 c 2 . . . cnсовершить перестановку Q.56.
Абстрактные группы. При определении группы мы можем совершенно отвлечься от конкретного значения тех операций,которые в своей совокупности образуют группу и которые в предыдущем были линейными преобразованиями или перестановками.Мы придем, таким образом, к понятию абстрактной группы.Абстрактная группа есть совокупность некоторых символов, —таких, что для этих символов определено умножение1 в том смысле, что дается определенное правило, согласно которому из двухэлементов P и Q совокупности (разных или одинаковых) получается третий элемент, также принадлежащий совокупности, которыйназывается их произведением и обозначается через QP .
При этомдолжны быть выполнены следующие три условия:1. Перемножение должно подчиняться сочетательному закону, т. е. (RQ)P = R(QP ), откуда вообще будет следовать, что мыможем в любом произведении, не меняя, конечно, порядка сомножителей, соединять любые сомножители в одну группу.2. В нашей совокупности должен существовать один и только один такой элемент E, который, будучи помножен на любой другой элемент с той или с иной стороны, воспроизводит1 Часто говорят не об «умножении» а о «групповой операции», которая может, вообще говоря, оказаться как сложением так и умножением в обычномсмысле.56]§ 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
