1610915347-b0cdcab04f9552ce71235da8ebe43143 (824740), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Можно было бы производить это умножение и справа. Вводя вместо Gk другое обозначениеGk , мы пришли бы таким же образом к представлению элементовгруппы G вместо схемы (35) в следующем виде:Hα , Hα G1 , Hα G2 , . . . , Hα Gm−1 ,(36)при этом индекс подгруппы m не меняется. Совокупности элементов Gk Hα называются иногда сопряженными совокупностями слева, а Hα Gk — сопряженными совокупностями справа.Заметим прежде всего, что если α пробегает все значения, соответствующие подгруппе H, то элементы Hα−1 дают все элементы H.Это непосредственно следует из того, что элемент, обратный некоторому элементу, принадлежащему H, также принадлежит H. Переходим теперь к доказательству совпадения индексов у совокупностей, сопряженных справа и сопряженных слева.
Возьмем какиенибудь две различные совокупности из (35), Gp Hα и Gq Hα (p = q),причем для первой из совокупностей (35) мы можем считать, например, Gp = E. Возьмем обратные элементы:(Gp Hα )−1 = Hα−1 G−1pи (Gq Hα )−1 = Hα−1 G−1q .Принимая во внимание сделанные выше замечания, мы можем переписать эти совокупности элементов в виде Hα G−1и Hα G−1pq .Нетрудно видеть, что они не имеют общих элементов. Действитель-57]§ 5. Основы общей теории групп259но, если бы мы имели−1Hα1 G−1p = Hα2 Gq ,то отсюда вытекало бы−1G−1p Gq = Hα1 Hα2 = Hα3 ,или Gq = Gp Hα3 ,и оказалось бы, что Gq принадлежит совокупности Gp Hα3 , чего неможет быть. Таким образом, оказывается, что совокупности−1−1Hα , Hα G−11 , Hα G2 , . .
. , Hα Gm−1будут сопряженными совокупностями справа, так что в (36) можнопросто брать Gs = G−1s .Рассмотрим некоторые примеры подгрупп. Пусть G — совокупность вещественных ортогональных преобразований с тремя переменными и H — совокупность вещественных ортогональных преобразований с тремя переменными и с определителем (+1). Всякоевещественное ортогональное преобразование будет или вращением,т. е. принадлежащим H, или произведением вращения на симметрию относительно начала, которая выражается формуламиx = −x;y = −y;z = −z (S).(37)В данном случае группа G может быть представлена следующейсхемой:Hα , SHα(38)илиHα , Hα S,(39)где Hα обозначает совокупность всех элементов группы H. В данном случае Hα будет подгруппой индекса 2.Пусть G — симметрическая группа перестановок из n элементов,H — знакопеременная группа, состоящая из четных перестановок.Пусть далее S — какая-нибудь определенная нечетная перестановка, например перестановка, состоящая из одного цикла (1, 2), т.
е.сводящаяся к транспозиции элементов 1 и 2. Мы можем, очевидно, и здесь представить G по схеме (38) или (39). В обоих случаях260Гл. III. Основы теории групп и линейные представления групп [58умножение слева приводит к тому же результату, что и умножениесправа.В данном случае знакопеременная группа будет подгруппойсимметрической группы с индексом два.Рассмотрим еще конечную группу правильного октаэдра, о которой мы говорили выше. Пусть A — некоторая вершина октаэдраи l — ось, проходящая через эту вершину. Пусть S0 , S1 , S2 , S3 —вращения на угол 0, π2 , π и 3π2 вокруг этой оси. Эти вращения образуют подгруппу всей полной группы вращения октаэдра. Обозначим через Tk (k = 1, 2, 3, 4, 5) вращения, переводящие вершину A востальные пять вершин октаэдра.
Мы можем представить полнуюгруппу октаэдра по следующей схеме:S α , T 1 Sα , T 2 Sα , T 3 Sα , T 4 Sα , T 5 Sα ,т. е. подгруппа Sα будет подгруппой индекса шесть.Пусть Gs , G−1s (s = 1, 2, . . . , k) — какие-либо элементы группыG. Рассмотрим множество всех тех элементов группы G, которыеможно представить в виде произведения элементов Gs , G−1s (s =1, 2, . . . , k).Это множество элементов образует, очевидно, группу, котораяявляется подгруппой для G или совпадает с G.Говорят, что эта подгруппа порождается данной совокупностьюэлементов Gs , G−1s (s = 1, 2, . .
. , k).58. Классы и нормальный делитель. Пусть U и V — некоторые элементы группы. Элемент W = V U V −1 называется сопряженным элементу U . Нетрудно видеть, что, и наоборот, U будетсопряженным с W . Действительно, U = V −1 W V . Два элемента U1и U2 , сопряженные с одним и тем же третьим W :U1 = V1 W V1−1 ;U2 = V2 W V2−1 ,будут сопряженными и между собой:U2 = V2 V1−1 U1 (V2 V1−1 )−1 .Совокупность всех взаимно сопряженных элементов группы образует то, что называется классом группы.
Класс вполне опреде-58]§ 5. Основы общей теории групп261ляется одним своим элементом U . Действительно, задав U , мы получим весь класс по формуле Ga U G−1a , где Ga пробегает все элементы группы. Таким образом мы может разбить всю группу наклассы.
Принимая во внимание основное свойство единичного элемента, формулированное нами в [56], мы имеем:Ga IG−1a = I,т. е. единичный элемент сам по себе составляет класс.Если элемент U будет порядка m, т. е. если m есть наименьшее целое положительное число, при котором U m = I, то и всякийсопряженный элемент Ga U G−1a имеет тот же порядок m, что непосредственно следует из равенстваmm −1(Ga U G−1a ) = Ga U Ga = I.Иначе говоря, все элементы одного и того же класса имеют одинаковый порядок.Заметим, что когда Ga пробегает все элементы группы G, топроизведение Ga U G−1a может давать элементы класса и по нескольку раз. Так, например, если U = I, то, как мы видели, указанноепроизведение всегда дает I.В качестве примера возьмем опять группу вращений октаэдра.Пусть U есть вращение на угол π2 вокруг некоторой оси Ap Aq октаэдра.
Если вращение Tk , принадлежащее нашей группе октаэдра,преобразует ось l в ось l1 , причем вершина Ap переходит в Ar ивершина Aq в As , то элемент группы Tk U Tk−1 будет давать вращение на угол π2 вокруг оси Ar As . Если, например, Tk преобразуетAp в Aq , то упомянутое произведение будет давать вращение наугол π2 вокруг оси Aq Ap или, иначе говоря, вращение на угол 3π2вокруг оси Ap Aq . Если Tk преобразует ось Ap Aq в саму себя, т. е.есть поворот вокруг этой оси, то произведение Tk U Tk−1 совпадает сU . Таким образом, в данном случае класс элементов, сопряженныхс U , будет представлять собою совокупность вращений на угол π2вокруг осей октаэдра.Совершенно так же, если мы возьмем группу вращений трехмерного пространства вокруг начала, то, как мы знаем, всякий элементU этой группы будет представлять собою вращение на некоторый262Гл. III.
Основы теории групп и линейные представления групп [58угол ϕ вокруг некоторой оси. В данном случае класс элементов, сопряженных с U , будет совокупностью вращений на угол ϕ вокругвсевозможных осей, проходящих через начало.В тесной связи с понятием класса стоит и другое важное понятие, а именно: понятие о нормальном делителе, к которому мысейчас и переходим. Пусть G — некоторая группа и H — ее подгруппа. Пусть G1 — некоторый фиксированный элемент группы G.Рассмотрим совокупность элементов этой группы, представляемыхпроизведениемG1 Ha G−1(40)1 ,где через Ha мы обозначили переменный элемент подгруппы H,т.
е., иначе говоря, Ha пробегает все элементы подгруппы H.Нетрудно видеть, что произведения (40) образуют также подгруппу. Действительно, если взять, например, произведение двух элементов, принадлежащих совокупности (40), то оно также будет принадлежать этой совокупности:−1−1−1(G1 Ha2 G−11 )(G1 Ha1 G1 ) = G1 Ha2 Ha1 G1 = G1 Ha3 G1 ,и аналогично выполняются остальные условия для образованиягруппы.Подгруппа (40) называется подобной подгруппе H, и если G1принадлежит подгруппе H, то подгруппа (40) также состоит изэлементов, принадлежащих H, и, как нетрудно видеть, просто совпадает с H.Всякий элемент Ha0 подгруппы H может быть получен в этомслучае по формуле (40), если мы возьмемHa = G−11 Ha0 G1 .Если элемент G1 не принадлежит подгруппе H, то подгруппа(40) может быть и отличной от подгруппы H.Подгруппа H называется нормальным делителем полной группы G, если при любом выборе элемента G1 из полной группы Gподгруппа (40) совпадает с подгруппой H. Мы дальше приведемпримеры нормальных делителей группы, а сейчас перейдем к выяснению некоторых новых понятий, связанных с понятием нормального делителя.58]§ 5.
Основы общей теории групп263Положим, что подгруппа H есть нормальный делитель полнойгруппы G. Для простоты письма будем считать, что эта подгруппаимеет конечный индекс m. В этом случае все элементы группы Gмогут быть представлены по схемеHa , G1 Ha , G2 Ha , . . . , Gm−1 Ha ,(41)где Ha , как всегда, — переменный элемент подгруппы H. Раз H естьнормальный делитель, то совокупность элементов Gk Ha G−1k совпадает с совокупностью элементов Ha , т. е.
совокупность элементовGk Ha совпадает с совокупностью элементов Ha Gk .Таким образом, если H есть нормальный делитель, то разбиение элементов полной группы на сопряженные совокупности посхеме (41) совпадает с разбиением элементов на сопряженные совокупности по схемеHa , Ha G1 , Ha G2 , . . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
