1610915347-b0cdcab04f9552ce71235da8ebe43143 (824740), страница 40
Текст из файла (страница 40)
е. равенство (10) может иметь место толькотогда, когда правая и левая части состоят из одинаковых сомножителей. Следовательно, выражения (8) и (9) дают нам 24 различныхвращения, при которых октаэдр совмещается сам с собой. Покажемтеперь, что этим и исчерпываются все вращения, обладающие этим236Гл. III. Основы теории групп и линейные представления групп [53свойством. Действительно, пусть V — некоторое вращение, при котором наш октаэдр переходит сам в себя.
Положим, что при этомвершина A совмещается с некоторой другой вершиной Aj , и пустьTj — то из преобразований Tk , которое преобразует A также в Aj .Составим преобразование Tj−1 V . При этом октаэдр переходит в себя, и вершина A остается на месте. Следовательно, остается на месте и противоположная вершина, и составленное нами преобразование есть одно из вращений Si вокруг оси, проходящей через вершину A, т. е.
Tj−1 V = Si , и отсюда V = Tj Si . Иначе говоря, всякоевращение, при котором октаэдр переходит в себя, должно заключаться среди тех 24 вращений, которые мы составили выше. Итак,окончательно, группа вращения, при которой октаэдр переходитв себя, содержит 24 элемента.Мы можем, очевидно, вписать в сферу единичного радиуса кубтаким образом, чтобы радиусы, идущие в центры грани октаэдра, имели своими концами вершины куба. Отсюда непосредственноследует, что группа вращения для куба будет той же самой, что идля октаэдра. Положим, что мы иначе выбрали положение октаэдра, а именно, что новое положение октаэдра получается из первоначального при помощи вращения, осуществляемого некоторойматрицей U . Если V есть некоторое вращение, при котором прежний октаэдр переходил сам в себя, то, очевидно, U V U −1 будет давать такое вращение, при котором новый октаэдр будет переходитьв себя, и наоборот. Таким образом, если группа вращения прежнего октаэдра состояла из матриц Vk (k = 1, 2, .
. . , 24), то группа вращения нового октаэдра будет просто состоять из подобныхматриц U Vk U −1 . Иначе говоря, получается подобная группа. Вообще, если совокупность некоторых матриц Vk образует группу,то совокупность подобных матриц U Vk U −1 при любой фиксированной матрице U также образует группу. Это нетрудно непосредственно доказать из определения группы, что мы и предлагаемпроделать читателю.
Вторая группа называется обычно подобнойпервой.Рассмотрим тетраэдр, поверхность которого состоит из четырехравносторонних треугольников и имеет четыре вершины. Возьмемкакую-нибудь ось тетраэдра, соединяющую его вершину A с центром противолежащей грани. Тетраэдр совместится сам с собою,53]§ 5. Основы общей теории групп237если повернем пространство вокруг упомянутой оси в некотором4πнаправлении на угол 0, 2π3 , 3 . Пусть S0 , S1 , S2 — эти вращения.Далее вводим три линейных преобразования T1 , T2 , T3 , при которых тетраэдр совмещается сам с собою, а его вершина A совпадаетс одной из остальных трех его вершин.
Наряду с вращениями S0 ,S1 , S2 составим девять вращений Tk S0 , Tk S1 , Tk S2 (k = 1, 2, 3).Полученные 12 вращений различны, и это суть все вращения, прикоторых тетраэдр переходит в себя.Рассмотрим теперь икосаэдр, поверхность которого состоит из20 равносторонних треугольников и имеет 12 вершин. Возьмем, каки выше, какую-нибудь ось икосаэдра, соединяющую его вершину Aс противоположной вершиной. Икосаэдр совместится сам с собою,если повернем пространство на угол 2kπ5 (k = 0, 1, 2, 3, 4). ПустьSk — эти вращения. Далее имеем 11 вращений Tl (l = 1, 2, . .
. , 11),при которых икосаэдр совмещается сам с собою, а вершина A переходит в одну из остальных вершин. Полная группа вращений, прикоторых икосаэдр переходит в себя, состоит из пяти вращений Skи 55 вращений Tl Sk . Таким образом, эта группа содержит 60 вращений. Такой же будет и группа додекаэдра, поверхность которогосостоит из 12 правильных пятиугольников и содержит 20 вершин.Чтобы убедиться в этом, надо расположить додекаэдр относительно икосаэдра так же, как это выше мы сделали для куба относительно октаэдра.Рассмотрим еще одну группу, состоящую из вращений трехмерного пространства.
Пусть в плоскости XY находится правильныйn-угольник, центр которого совпадает с началом координат. Возьмем какую-нибудь ось n-угольника, соединяющую его вершину A спротивоположной вершиной (если n — четно), или с серединой противоположной стороны (если n — нечетно). При вращении плоскости XY вокруг этой оси на угол 0 и π, n-угольник совмещается самс собою. Первое вращение есть тождественное преобразование I, авторое мы обозначим через S.Кроме того, мы имеем вращения Tk вокруг оси Z на угол2kπn (k = 1, 2, . . .
, n − 1), при которых n-угольник тоже совмещается сам с собою, а его вершина A переходит в одну из других вершин. При k = 0 получаем тождественное преобразование T0 = I.Полная группа преобразований, при которых n-угольник перехо-238Гл. III. Основы теории групп и линейные представления групп [54дит в себя, будет состоять из следующих 2n преобразований: Tk иTk S (k = 0, 1, 2, . .
. , n − 1).Указанный n-угольник, поверхность которого считается дважды (верх и низ), называется обычно диэдром, а построенная группа — группой диэдра.54. Преобразования Лоренца. Все примеры групп линейныхпреобразований, которые мы приводили выше, состояли из унитарных преобразований или из вращений трехмерного пространства(частный случай унитарных преобразований).
Сейчас мы изучимнекоторую новую группу линейных преобразований, элементы которой уже не являются унитарными преобразованиями. Эта группаиграет важную роль в принципе относительности, электродинамике и той части квантовой механики, которая связана с принципомотносительности.Рассмотрим четыре переменные x1 , x2 , x3 , x4 , из которых первые три суть пространственные координаты точки, а последняя переменная есть время.
В связи с основным требованием специального принципа относительности о неизменности некоторой определенной скорости c (скорость света) в случае относительного движениявозникает вопрос о таких линейных преобразованиях упомянутыхвыше четырех переменных, при которых выражениеx21 + x22 + x23 − c2 x24остается неизменным, т. е., подробнее говоря, мы должны найтитакие линейные преобразования, выражающие новые переменныеxk через прежние xk , чтобы имело место тождество:222 22222 2x21 + x2 + x3 − c x4 = x1 + x2 + x3 − c x4 .Рассмотрим сначала тот случай, когда координаты x2 и x3 остаются неизменными, и в линейном преобразовании участвуют лишьпеременные x1 и x4 .
Мы должны, таким образом, найти такие линейные преобразованияx1 = a11 x1 + a14 x4 ,x4 = a41 x1 + a44 x4 ,(11)54]§ 5. Основы общей теории группчтобы2392 222 2x21 − c x4 = x1 − c x4 .(12)Введем вместо x4 новую чисто мнимую переменную y1 согласноформулеy1 = icx4 .Искомые линейные преобразования должны иметь видx1 = α11 x1 + α12 y1 ,гдеα11 = a11 ;α12 =a14;icy1 = α21 x1 + α22 y1 ,α21 = ica41 ;(13)α22 = a44 ,а условие (12) переписывается при этом следующим образом:222x21 + y1 = x1 + y1 .(14)Коэффициенты α11 и α22 должны быть вещественными, а α12 иα21 — чисто мнимыми.
Обозначим поэтому α12 = iβ12 и α21 = iβ21 .Условие (14) равносильно, очевидно, условию ортогональности преобразования (13), и, следовательно, сумма квадратов элементовкаждой строки и столбца должна равняться единице. Это сразу22дает β12= β21= α211 − 1 = α222 − 1 и α211 = α222 . Положим α22 = αи β12 = αβ.
Будем считать положительными коэффициенты α11и α22 , что соответствует неизменности в направлении отсчета x1и x4 . Мы получим таким образом вместо (13) в силу предыдущихсоотношений:x1 = αx1 + iαβy1 ,y1 = α21 x1 + αy1 .Условие ортогональности строкαα21 + iα2 β = 0даст нам α21 = −iαβ, т. е. β12 и β21 должны быть противоположныхзнаков. Наконец, условиеα211 + α212 = 1240Гл.
III. Основы теории групп и линейные представления групп [54дастα2 − α2 β 2 = 1 или1α= 1 − β2(β 2 < 1),и окончательно мы приходим к следующим формулам:x1 + iβy1;x1 = 1 − β2−iβx1 + y1y1 = ,1 − β2или, возвращаясь вновь от переменной y1 = icx4 к прежней переменной x4 :− βc x1 + x4x1 − βcx4x1 = ; x4 = .(15)1 − β21 − β2Из этих равенств непосредственно следует, что координатная система, которой соответствуют переменные со штрихами, двигаетсяпо отношению к первоначальной координатной системе со скоростьюv = βc(16)в направлении оси x1 .
Действительно, если принять x1 постоянным,то получимdx1dx1 − βc dx4 = 0, т. е.= βc.dx4Вводя вместо β скорость v согласно формуле (16) и заменяя x1на x и x4 на t, получим обычную форму преобразования Лоренца сдвумя переменнымиx − vtx = !;21 − vc2− v2 x + tt = !c.21 − vc2(17)В предельном случае при c → ∞ мы получаем обычные формулы относительного движения классической механикиx = x − vt;t = t.Нетрудно проверить, что преобразования Лоренца (17), зависящие от одного вещественного параметра v, образуют группу. Решая54]§ 5. Основы общей теории групп241уравнения (17) относительно x и t, получим преобразование, обратное (17). Покажем, что это будет то же преобразование Лоренца,которое получается из преобразования (17) заменой v на (−v).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
