1610915347-b0cdcab04f9552ce71235da8ebe43143 (824740), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Действительно, решая уравнения (17), будем иметь:((v2v2 v2v2 v 1 − 2 x = 1 − 2 (x + vt );,1− 2 t = 1 − 2x+tcccc c2откуда непосредственно следуетx + vtx= !;21 − vc2v c2 x + tt= !.21 − vc2Рассмотрим теперь два преобразования Лоренца L1 и L2 , соответствующих значениям параметра v = v1 и v = v2 . Составим ихпроизведение L2 L1 и покажем, что это тоже будет преобразованиеЛоренца. Нам надо составить произведение из двух матриц 1 √√β2 c √ 1√β1 c 1−β22 − 1−β22 1−β12 − 1−β12 ,β1 √ βc2 √ 1 1c√ − 1−β 2 1−β 2 − √1−β21−β 22211гдеv1v2; β2 = .ccПрименяя обычные правила умножения матриц, получим дляпроизведения следующую матрицу:1 c+β2 c − β1+β1 + β 1 β2 β1 β1 β2 (18). c1 + c21 − β22 1 − β12 − 1+β1β1 2β1 =Введем новую величинуv3 =v1 + v2.1 + v1c2v2(19)Нетрудно проверить справедливость тождества:!1+1−v22c2v1 v2c2!1−v12c21= !1−v32c2,242Гл.
III. Основы теории групп и линейные представления групп [54и в результате матрица (18) может быть написана в следующемвиде: √1− √β3 c 2 1−β321−β3 v3 β3 =,− √ βc31c√1−β 21−β 233т. е. ей соответствует также преобразование Лоренца со значением параметра v = v3 . Таким образом, формула (19) дает правилосложения скоростей в специальном принципе относительности.Если в формуле (19) положить v1 = c, то, как легко проверить,и для результирующей скорости v3 мы будем иметь v3 = c, т. е.действительно скорость c не меняется при наложении двух движений.При выводе формул (15) мы фиксировали определенным образом знаки коэффициентов линейного преобразования (11), считаякоэффициенты a11 и a44 положительными. Можно заменить этотребование другим, а именно положительностью коэффициента a44и положительностью определителяa11 a44 − a14 a41 .(20)Нетрудно видеть, что отсюда, как следствие, получится и положительность коэффициента a11 , и наоборот.
Действительно, определитель преобразования (17) равен (+1), т. е. при a11 > 0 иопределитель (20) положителен. Если бы мы взяли a11 = −α иa44 = α, где α > 0, то получилось бы преобразование с определителем (−1). Условие положительности коэффициента a11 равносильно тому, что при фиксированном x1 и x4 → ∞ мы имеем x4 → ∞.Можно сказать, что это соответствует неизменности в направленииотсчета времени.
Таким образом, формулы дают не все линейныепреобразования, удовлетворяющие условию (12), но лишь те, длякоторых определитель (20) положителен и которые не меняют направления отсчета времени.Обратимся теперь к рассмотрению общего преобразования Лоренца для случая четырех переменных xk (k = 1, 2, 3, 4), причемдолжно быть выполнено условие222 22222 2x21 + x2 + x3 − c x4 = x1 + x2 + x3 − c x4 .(21)54]§ 5. Основы общей теории групп243Будем рассматривать xk (k = 1, 2, 3) и xk (k = 1, 2, 3) как декартовые координаты в двух различных трехмерных пространствах Rи R .
Покажем, что, выбирая соответственным образом координатные оси в этих двух пространствах, мы можем привести общее преобразование Лоренца к тому частному случаю, который был намирассмотрен выше. Обозначим через T общее преобразование Лоренца и через S частное преобразование Лоренца рассмотренноговыше типа. Наше утверждение равносильно тому обстоятельству,что мы можем представить T в видеT = V SU,(22)где U и V — вещественные ортогональные преобразования, соответствующие упомянутым выше преобразованиям координат в пространствах R и R .Введем, как и выше, четыре новые переменные:y1 = x1 ;y2 = x2 ;y3 = x3 ;y4 = icx4 ,y3 = x3 ;y4 = icx4 .и аналогичным образом:y1 = x1 ;y2 = x2 ;Вместо условия (21) получим для новых переменных обычныеусловия ортогонального преобразования:y12 + y22 + y32 + y42 = y12 + y22 + y32 + y42 .(23)Искомое линейное преобразование будет иметь видyk = αk1 y1 + αk2 y2 + αk3 y3 + αk4 y4(k = 1, 2, 3, 4).(24)Принимая во внимание, что y4 и y4 должны быть чисто мнимыми, мы можем утверждать, что коэффициенты αk1 , αk2 , αk3 приk = 1, 2, 3, а также α44 должны быть вещественными, а коэффициенты α41 , α42 , α43 и αk4 при k = 1, 2, 3 должны быть чисто мнимыми.
Перемена координатных осей в пространстве R равносильнавещественному ортогональному преобразованию над переменнымиy1 , y2 , y3 . Рассмотрим коэффициенты:α14 = iβ14 ;α24 = iβ24 ;α34 = iβ34 .244Гл. III. Основы теории групп и линейные представления групп [54Три вещественных числа β14 , β24 , β34 определяют некоторыйвектор, и если мы направление этого вектора примем за новуюпервую ось пространства R , то в результате соответствующего ортогонального преобразования коэффициенты α24 и α34 обратятся внуль. Чтобы убедиться в этом, достаточно только заметить, что всилу формул (24) ортогональное преобразование над переменнымиy1 , y2 , y3 сводится к такому же преобразованию над β14 , β24 , β34 .Итак, будем считать, что это преобразование координат в пространстве R уже совершено, так что мы имеем α24 = α34 = 0.
Условие(23) показывает, что коэффициенты преобразования (24) должныудовлетворять обычным условиям ортогонального преобразования.Принимая во внимание равенство нулю упомянутых выше коэффициентов, получаем, рассматривая вторую и третью строчки, следующие условия:α2k1 + α2k2 + α2k3 = 1 (k = 2, 3),α21 α31 + α22 α32 + α23 α33 = 0,где все входящие коэффициенты вещественны. В силу написанных условий два вектора с составляющими (α21 , α22 , α23 ) и(α31 , α32 , α33 ) будут единичными по длине и взаимно ортогональными по направлению. Если мы в пространстве R выберем эти двавектора за основные орты, направленные по осям X2 и X3 , то двесуммыαk1 y1 + αk2 y2 + αk3 y3 (k = 2, 3),выражающие скалярные произведения упомянутых выше двух векторов на переменный вектор (y1 , y2 , y3 ), выразятся просто в видеy2 и y3 , т.
е. при таком выборе координатных осей мы будем иметь:α22 = α33 = 1;α21 = α23 = α31 = α32 = 0.Таким образом, окончательно, при сделанном выборе осей в обоих пространствах матрица преобразования (24) будет иметь видα11 α12 α13 α14 0100 .(25) 0010 α41 α42 α43 α44 54]§ 5. Основы общей теории групп245Эта матрица получилась в результате умножения первоначальной матрицы на два ортогональных преобразования, которые касались только первых трех переменных, но которые можно, конечно,рассматривать и как ортогональные преобразования с четырьмя переменными, причем четвертая переменная остается без изменения.Принимая во внимание, что произведение двух ортогональных преобразований также должно быть ортогональным, мы можем утверждать, что элементы матрицы (25) также должны удовлетворятьусловию ортогональности.
Написав условие ортогональности первой строки со второй и третьей, получим:α12 = α13 = 0,и точно так же условие ортогональности четвертой строки со второй и третьей даст намα43 = α42 = 0.В результате приходим к следующей матрице:α11 0 0 α14 0 1 0 0 0 0 1 0 ,α41 0 0 α44 т. е. в данном случае мы имеем линейное преобразованиеy1 = α11 y1 + α14 y4 ,y4 = α41 y1 + α44 y4 ,которое должно удовлетворять условиюy12 + y42 = y12 + y42 .Именно таким преобразованием мы и занимались выше, и ононас и привело к специальным преобразованиям Лоренца вида (15),и, таким образом, формулу (22) можно считать установленной. Заметим только, что правило выбора знаков при определении преобразования S будет тем же самым, что и выше, если мы потребуем,246Гл.
III. Основы теории групп и линейные представления групп [55чтобы общее преобразование Лоренца T не меняло направленияотсчета времени и имело определитель больше нуля. Ортогональные преобразования U и V мы всегда можем считать вращениямитрехмерного пространства, так что и их определитель будет больше нуля, причем они вовсе не затрагивают четвертой переменной.Мы придем, таким образом, к необходимости того, чтобы и у преобразования S определитель был больше нуля и чтобы это преобразование не меняло отсчета времени, т. е.
при сделанном предположении относительно общего преобразования T мы для частного преобразования придем как раз к тому условию, при которомформулы были выведены. Общие преобразования Лоренца, удовлетворяющие поставленным выше двум условиям, называются обычно положительными преобразованиями Лоренца. Из предыдущихрассуждений следует, что соответствующие им матрицы получаются по формуле (22), где S — специальное преобразование Лоренцавида (15), а U и V — матрицы вращения трехмерного пространства.Можно показать, что положительные преобразования Лоренца образуют группу, как и преобразования (15).Предыдущие рассуждения показывают, что матрица наиболееобщего преобразования Лоренца, определяемого лишь условием(21), может быть представлена по формуле (22), где U и V — вращения и S — общее преобразование Лоренца с двумя переменными.Если это положительное преобразование, то из формул (15) непосредственно следует, что D(S) = 1, и определитель всякого положительного преобразования Лоренца будет также равен единице,поскольку определители U и V равны единице, причем матрицы U ,S и V мы рассматриваем как матрицы четвертого порядка.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
