1610915347-b0cdcab04f9552ce71235da8ebe43143 (824740), страница 36
Текст из файла (страница 36)
. .),(k)(247)т. е. каждая составляющая vm должна стремиться к соответствующей составляющей vm . Подробнее говоря, вещественная и мнимая(k)части vm должны стремиться к вещественной и мнимой частям vm[45]. Заметим, что из (246) следует (247), но обратное не верно, т. е.из (247) не следует (246). В качестве примера положим, что векторv(k) имеет составляющие (0, . . . , 0, 1, 0, . . .), причем единица стоитна месте, номер которого равен k. При беспредельном возрастанииk каждая из составляющих станет равной нулю, т.
е. при любом(k)целом m мы имеем: vm → 0, т. е. vm = 0 (m = 1, 2, . . .), но в то жевремя сумма (246) все время остается равной единице.Если последовательность v(k) стремится к v, то пишут v(k) ⇒ v.Рассмотрим еще пример, когда сходимость имеет место. Пустьv (v1 , v2 , . . .) — некоторый вектор. Определим векторы v(k) следующим образом: вектор v(k) имеет первые k составляющие те же,что и v, а остальные его составляющие равны нулю, т. е.v(k) (v1 , v2 , .
. . , vk , 0, 0, . . .).46]§ 4. Квадратичные формы207Нетрудно показать, что v(k) ⇒ v. Действительно, в рассматриваемом случае∞||v − v(k) ||2 =|vn |2 ,n=k+1и, в силу сходимости ряда с общим членом |vn |2 , написанная сумма стремится к нулю при беспредельном возрастании k. Отметимнекоторые простые правила, связанные с понятием предела. Еслиu(k) ⇒ u и v(k) ⇒ v, тоu(k) + v(k) ⇒ u + v и (u(k) , v(k) ) → (u, v).Отметим что скалярное произведение есть комплексное число, и впоследней формуле в связи с этим мы написали →, а не ⇒. Можно сказать, что эта формула выражает непрерывность скалярногопроизведения.
Мы имеем в силу (234):||(u + v) − (u(k) + v(k) )|| = ||(u − u(k) ) + (v − v(k) )|| ||u − u(k) || + ||v − v(k) ||,причем в силу определения предела ||u− u(k) || → 0 и ||v− v(k) || → 0.Из написанного неравенства следует, что и||(u + v) − (u(k) + v(k) )|| → 0,т. е. действительно u(k) + v(k) ⇒ u + v. Далее, в силу определенияпредела, следует:u(k) = u + s(k) ;v(k) = v + t(k) ,где ||s(k) || → 0 и ||t(k) || → 0. Для скалярного произведения имеем:(u(k) , v(k) ) = (u + s(k) , v + t(k) ) == (u, v) + (u, t(k) ) + (s(k) , v) + (s(k) , t(k) ),откуда|(u, v) − (u(k) , v(k) )| |(u, t(k) )| + |(s(k) , v)| + |(s(k) , t(k) )|,208Гл.
II. Линейные преобразования и квадратичные формы[46или в силу (238):|(u, v) − (u(k) , v(k) )| ||u|| · ||t(k) || + ||s(k) || · ||v|| + ||s(k) || · ||t(k) ||.Правая часть стремится к нулю, а потому и|(u, v) − (u(k) , v(k) )| → 0,т. е. (u(k) , v(k) ) → (u, v).В частности, (u(k) , u(k) ) → (u, u), т.
е. ||u(k) ||2 → ||u||2 или||u(k) || → ||u||.Легко доказать также, что если последовательность числа ckимеет предел c, то ck u(k) ⇒ cu.Имеет место также необходимое и достаточное условие существования предела, выражаемое обычным признаком Коши. Формулируем этот признак в данном случае. Пусть имеется последовательность векторовv(k) (k = 1, 2, . . .).(248)Для того чтобы эта последовательность имела предел, необходимо и достаточно выполнение следующего условия: для любогомалого и положительного ε существует такое N , что||v(n) − v(m) || ε,(249)если только n и m > N .Покажем прежде всего необходимость условия. Пусть последовательность (248) имеет предел v.
Мы можем при этом написать:v(n) − v(m) = (v(n) − v) + (v − v(m) ),и отсюда по правилу треугольника||v(n) − v(m) || ||v(n) − v|| + ||v − v(m) ||.Из определения предела непосредственно вытекает, что оба слагаемых в правой части стремятся к нулю при возрастании n и m, аследовательно, то же самое должно иметь место и для левой части,т. е. условие (249) при этом обязательно должно быть выполнено.Переходим теперь к доказательству достаточности условия (249).46]§ 4.
Квадратичные формы209Положим, что это условие выполнено, и докажем, что последовательность (248) стремится к пределу. Условие (249) в раскрытомвиде может быть записано так:∞|vs(n) − vs(m) |2 ε2при(250)и m > N,ns=1(j)где vs — составляющие v(j) . Отсюда непосредственно следует, что(n)(m)при любом s мы имеем: |vs − vs | ε при n и m > N , или,разлагая на вещественную и мнимую частиvs(n) = as(n) + ibs(n) ,можем написать|as(n) − as(m) | < εи |bs(n) − bs(m) | < εприn и m > N.(n)(n)Применяя признак Коши [I, 31], можем утверждать, что as и bsимеют пределы при n → ∞. Обозначая их через as и bs , можем(n)утверждать, что vs имеет пределом комплексное число as + ibs .Покажем прежде всего, что ряд∞|vs |2s=1сходится, т.
е. что vs являются составляющими некоторого вектора. Удерживая в сумме (250) конечное число первых слагаемых ипереходя в этой конечной сумме к пределу по n, будем иметь:M|vs − vs(m) |2 ε2 ,s=1где M — любое целое число. Переходя в этом последнем равенствек пределу при M → ∞, получим:∞s=1|vs − vs(m) |2 ε2 ,(251)210Гл.
II. Линейные преобразования и квадратичные формы[46(m)откуда непосредственно следует, что числа vs − vs образуют составляющие некоторого вектора. То же самое мы знаем и относи(m)тельно чисел vs , а следовательно, то же мы можем утверждать иоб их сумме, т. е. о числах vs . Таким образом, эти числа суть составляющие некоторого вектора v, и неравенство (251) можно записатьв виде||v − v(m) || ε,при m > N , т. е.
v(m) → v, и, следовательно, последовательность(248) действительно имеет предел. Каждая составляющая vs век(m)тора v определяется, очевидно, как предел vs , откуда непосредственно следует, что этот предел может быть только один. Рассмотрим теперь бесконечную сумму векторовu(1) + u(2) + . . .(252)Она называется сходящейся, если сумма первых n слагаемыхs(n) = u(1) + .
. . + u(n)имеет предел в указанном выше смысле при n → ∞. В силу признака Коши необходимым и достаточным условием сходимости является выполнение неравенства||s(n+p) − s(n) || = ||u(n+1) + . . . + u(n+p) || ε(253)при n > N и любом p.Отметим, что из непрерывности скалярного произведения [46]непосредственно вытекает следующее: если ряд (252) сходится иs — его сумма, а z — любой элемент l2 , то(s, z) =∞k=1(u(k) , z) и (z, s) =∞(z, u(k) ),(254)k=1т.
е., кратко говоря, скалярные произведения (s, z) и (z, s) можноопределять почленно.Установим теперь необходимое и достаточное условие сходимости ряда (252), составленного из попарно ортогональных векторов46]§ 4. Квадратичные формы211u(k) . Согласно признаку Коши, мы должны составить выражение(253), квадрат которого, в силу теоремы Пифагора, равен||u(n+1) ||2 + . . .
+ ||u(n+m) ||2 .Отсюда непосредственно следует, что для сходимости ряда, составленного из попарно ортогональных векторов, необходимо идостаточно, чтобы сходился ряд из квадратов норм членов ряда.Этот результат можно сформулировать и иначе. Пусть x(k) (k =1, 2, . . .) — бесконечная ортонормированная система. Составим ряд∞αk x(k) ,(255)k=1где αk — некоторые комплексные числа. Из вышесказанного непосредственно следует, что необходимым и достаточным условиемсходимости ряда (255) является сходимость ряда∞|αk |2 .k=1Между прочим, из этого непосредственно следует, что перестановка слагаемых ряда (255) не нарушает его сходимости.
Можно показать, что при этом и сумма ряда не меняется. Положим, что ряд(255) сходится, и обозначим через s его сумму:s=∞αk x(k) .(2551 )k=1Умножая обе части на x(l) и принимая во внимание ортонормированность системы x(k) , получим: αl = (s, x(l) ) (l = 1, 2, . .
.). Заменяя αk на (s, x(k) ) и умножая обе части (2551 ) скалярно на s,получим:∞||s||2 =|(s, x(k) )|2 ,(256)k=1т. е. коэффициенты сходящегося ряда (2551 ) суть коэффициенты Фурье его суммы, и для этой суммы имеет место формула212Гл. II. Линейные преобразования и квадратичные формы[47замкнутости (256) по отношению к ортонормированной системеx(k) .Вернемся к ряду (252) и положим, что члены ряда попарноортогональны и что ряд сходится. Мы можем при этом написатьu(k) = αk x(k) , где αk = ||u(k) || — числа и x(k) образуют ортонормированную систему.
Полученный выше результат может быть записан в виде∞||s||2 =||u(k) ||2 ,k=1т. е. теорема Пифагора верна и для сходящихся рядов, члены которых попарно ортогональны.47. Ортонормированные системы. Пусть имеется бесконечная ортонормированная системат. е.x(k) (k = 1, 2, . . .),(257)(x(i) , x(k) ) = δik ,(2571 )и y — какой-либо вектор l2 . Составим «ряд Фурье» y относительносистемы (257):∞(y, x(k) )x(k) .(258)k=1Как мы видели [45], для любого конечного mm|(y, x(k) )|2 ||y||2 ,k=1и в пределе при m → ∞ получим:∞|(y, x(k) )|2 ||y||2 ,(259)k=1откуда следует сходимость ряда, стоящего в левой части этого неравенства (неравенство Бесселя), и, в силу сказанного в [46], ряд (258)47]§ 4.
Квадратичные формы213сходится. Положимy=∞(y, x(k) )x(k) + u.(260)k=1Как и в [45], можно показать, что u ортогонален ко всем x(k) итеорема Пифагора дает:||y||2 =∞|(y, x(k) )|2 + ||u||2 .k=1Мы можем утверждать [45], что знак равенства в неравенстве(259) равносилен тому, что вектор u в формуле (260) есть нулевой вектор.Ортонормированная система (257) называется полной, если несуществует вектора, отличного от нулевого и ортогонального ковсем x(k) ; она называется замкнутой, если для любого вектора yиз l2 имеет место уравнение замкнутости:||y||2 =∞|(y, x(k) )|2 .(261)y=1Если система (257) полна, то вектор u, входящий в формулу (260),есть нулевой вектор, и мы имеем разложение:ν=∞(y, x(k) )x(k) ,(262)k=1откуда, как мы видели [46], следует уравнение замкнутости (261).Наоборот, пусть система замкнута и вектор u ортогонален ко всемx(k) , т.
е. (u, x(k) ) = 0 (k = 1, 2, . . .). При этом из формулы (261)при замене y на u следует ||u||2 = 0, т. е. u — нулевой вектор. Итак,полнота и замкнутость эквивалентны. Из вышесказанного легко следует, что полнота (замкнутость) системы x(k) равносильнавозможности представления любого вектора y рядом (262).Положим, что система (257) замкнута, и выведем для любыхдвух векторов y и z из l2 обобщенное уравнение замкнутости.214Гл. II. Линейные преобразования и квадратичные формы[47Нетрудно видеть, что для векторов y+z и y+iz коэффициенты Фурье равны соответственно (y, x(k) )+(z, x(k) ) и (y, x(k) )+i(z, x(k) ).Применяем к y + z и y + iz уравнение замкнутости:∞[(y, x(k) ) + (z, x(k) )][(y, x(k) ) + (z, x(k) )] = (y + z, y + z),k=1∞[(y, x(k) ) + i(z, x(k) )][(y, x(k) ) − i(z, x(k) )] = (y + iz, y + iz).k=1Пользуясь уравнением замкнутости для y и z, получим:∞[(y, x(k) )(z, x(k) ) +k=1∞∞(z, x(k) )(y, x(k) ) = (y, z) + (z, y).k=1(y, x(k) )(z, x(k) ) −k=1∞(z, x(k) )(y, x(k) ) = (y, z) − (z, y),k=1откуда и следует обобщенное уравнение замкнутости для полнойортонормированной системы (257):(y, z) =∞(y, x(k) )(z, x(k) ).(2611 )k=1Если y совпадает с z, то эта формула переходит в (261).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
