1610915347-b0cdcab04f9552ce71235da8ebe43143 (824740), страница 33
Текст из файла (страница 33)
е. следу матрицы V :1 + e−iϕ + eiϕ = 1 + 2 cos ϕ = v11 + v22 + v33 ,причем можно считать, что ϕ лежит между 0 и π.Из уравнения (197) следует, что составляющие вектора x(2) и x(3) мы можем считать мнимыми сопряженными, поскольку значения λ в уравнениях(197) суть мнимые сопряженные числа. Составим новую унитарную матрицу:1 00 i1√ (198)U 0 = 0 √22 .
0 √1 − √i 22Нетрудно убедиться непосредственно, что элементы столбцов матрицыW = U U0 будут равны составляющим векторовx(1) ;x(2) + x(3)√;2ix(2) − x(3)√,2190Гл. II. Линейные преобразования и квадратичные формы[43т. е. будут вещественны. Кроме того, матрица W , как произведение двух унитарных матриц, также будет унитарной матрицей, т. е.
W будет ортогональнойматрицей. Применим теперь к матрице V преобразование подобия, пользуясьунитарной вещественной матрицей W . Мы получим:W −1 V W = U0−1 U −1 V U U0 = U0−1 [1, eiϕ , e−iϕ ]U0 .Производя фактически перемножение матриц, получим:100 −1W V W = 0 cos ϕ − sin ϕ. 0 sin ϕcos ϕ (199)Мы можем всегда считать, что определитель ортогональной матрицы Wравен (+1), ибо в противном случае мы могли бы умножить эту матрицу на(−1), от чего соотношение (199) не изменилось бы. Таким образом, матрице Wбудет соответствовать также некоторое движение трехмерного пространства.Матрица (199), полученная в результате преобразования координат x = W x ,подобна матрице V и дает в новых координатах то же преобразование, котороепервоначальная матрица V давала в прежних координатах.
Из вида матрицы(199) непосредственно следует, что этой матрице (199) соответствует вращениевокруг новой оси x(1) на угол ϕ, и сущность нашего преобразования сводитсяк тому, что мы приняли за ось x(1) , упомянутую выше, ось вращения, изображаемую вектором x(1) .Из предыдущего непосредственно вытекает еще одно важное обстоятельство, а именно: все вещественные матрицы, которым соответствует поворотпространства на некоторый определенный угол ϕ, могут быть приведены припомощи преобразования подобия (различного для различных матриц) к одному и тому же виду (199), и, следовательно, все такие матрицы будут подобнымежду собой.Матрицы, соответствующие различным углам вращения, не могут бытьмежду собой подобны, так как характеристические числа таких матриц 1, eiϕи e−iϕ будут, наверно, различны между собой при различных значениях углаϕ.
Все эти свойства имеют очень простое геометрическое значение.43. Матрицы проектирования. Мы переходим теперь к рассмотрениюнекоторого частного случая эрмитовских матриц. Путь Rm — некоторое подпространство измерения m, образованное m линейно независимыми векторамиy(1) , . . . , y(m) . Это подпространство Rm представляет собою совокупность векторов видаC1 y(1) + . . . + Cm y(m) ,где Ck — произвольные численные коэффициенты. Ортогонализируя векторыy(k) , мы можем построить ортонормированную систему векторов, x(1) , . . .
,x(m) , которая образует то же подпространство Rm . Мы можем далее дополнить ее до полной ортонормированной системы n векторов, построив еще ортонормированную систему x(m+1) , . . . , x(n) .Эти последние векторы образуют некоторое подпространство Rn−m измерения (n−m), причем два подпространства Rm и Rn−m взаимно ортогональны43]§ 4.
Квадратичные формы191в том смысле, что любой вектор подпространства Rm ортогонален любому вектору подпространства Rn−m [14]. Разлагая произвольный вектор x по ортамx(k) :x = x1 x(1) + . . . + xn x(n) ,(200)мы можем представить его в виде суммы двух векторов:x = [x1 x(1) + . . . + xm x(m) ] + [xm+1 x(m+1) + . . . + xn x(n) ] = u + v,(201)Rn−m .из которых один принадлежит Rm , а второйНетрудно видеть, что такое разложение любого вектора x на два составляющих единственно. Действительно, положим, что, кроме разложения (201), мы имеем второе разложениеx = u + v указанного выше свойства.
Отсюда u + v = u + v или u − u = v − v.Вектор, стоящий слева, принадлежит Rm , а справа Rn−m , и, следовательно, u − u и v − v должны быть ортогональны.Но каждый вектор, ортогональный сам себе, равен, очевидно, нулю [14] и,следовательно, u − u = 0, т. е. u совпадает с u , а v — с v , т. е. векторы uи v определяются по вектору x единственным образом.
Вектор u называетсяпроекцией вектора x в подпространство Rm . Та матрица, которая осуществляет переход от вектора x к вектору u, называется матрицей проектированияв подпространство Rm , и мы ее обозначим через PRm . Вид этой матрицы зависит, конечно, от выбора координатных осей.Если за основные орты мы выберем x(k) , то вектор x представляется формулой (201), а вектор u — формулойu = x1 x(1) + . .
. + xm x(m) ,и в данном случае операция проектирования сводится просто к тому, что первые m составляющих остаются прежними, а остальные делаются равными нулю. Соответствующая матрица проектирования будет, очевидно, диагональнойматрицей вида: PRm = [1, 1, . . . , 1, 0, 0, . . . , 0], где первые m мест заняты единицами, а остальные нулями. Если бы мы иначе пронумеровали орты, то получили бы только другой порядок элементов, но по-прежнему имели бы диагональную матрицу, состоящую из единиц и нулей. В общем случае при любомвыборе декартовых осей матрица проектирования имеет видPRm = U −1 [1, .
. . , 1, 0, . . . , 0]U,(202)где U есть некоторая унитарная матрица, и собственные значения PRm равны или нулю, или единице. Наоборот, всякая эрмитовская матрица указанноговида есть матрица проектирования в некоторое подпространство, число измерений которого равно числу собственных значений PRm , равных единице.Можно определить матрицу проектирования и иным образом, а именно:матрица проектирования есть такая эрмитовская матрица, которая удовлетворяет соотношениюP 2 = P.(203)Действительно, принимая во внимание, что 12 = 1 и 02 = 0, нетрудно проверить, что матрицы вида (202) удовлетворяют соотношению (203).Наоборот, если некоторая эрмитовская матрица удовлетворяет соотношению192Гл. II.
Линейные преобразования и квадратичные формы[43(203), и мы представим ее в виде: P = U −1 [λ1 , . . . , λn ]U , то в силу (203):U −1 [λ21 , . . . , λ2n ]U = U −1 [λ1 , . . . , λn ]U , т. е. λ2k = λk (k = 1, 2, . . . , n), откуда непосредственно следует, что λk = 1 или 0. Если все характеристическиечисла матрицы равны единице, то эта матрица есть единичная матрица, и ейсоответствует тождественное преобразование, т. е., иначе говоря, проектирование вектора во все пространство (вектор остается неизменным). Исключаяэтот тривиальный случай, мы будем иметь у матрицы проектирования хотьодно характеристическое число равным нулю и, следовательно, определительэтой матрицы, равный произведению характеристических чисел, будет такжеравен нулю, и мы не можем, конечно, говорить об обратной матрице P −1 .
Заметим еще, что непосредственно из определения следует, что матрица проектирования PRm не меняет вектора, если он принадлежит подпространству Rm , иуменьшает длину вектора, если он не принадлежит Rm .После этих предварительных сведений перейдем к рассмотрению некоторых действий с матрицами проектирования.
Пусть имеются две матрицы проектирования PR и PS , такие, что их произведение равно нулю, т. е. матрице,все элементы которой равны нулю:PS PR = 0.(204)Возьмем некоторый вектор x из подпространства R, так что PR x = x. Формула (204) даст нам:PS x = 0.Но отсюда непосредственно следует, что x ортогонален к любому векторуиз подпространства S. Действительно, в противном случае мы могли бы найтив подпространстве S единичный вектор y, не ортогональный к x, и, принимаяего за первый орт, мы имели бы для первой составляющей вектора x величину, отличную от нуля, и при проектировании x в S эта составляющая осталасьбы неизменной.
Таким образом, мы видим, что при выполнении условия (204)всякий вектор из R ортогонален всякому вектору из S, а следовательно, и наоборот. Но тогда наряду с (204) мы имеем иPR PS = 0.(205)Действительно, для любого вектора y вектор PS y принадлежит S, а потомуортогонален ко всем векторам из R, т. е. для любого вектора y мы имеем:PR PS y = 0, что и равносильно (205). Наоборот, если два подпространства Rи S взаимно ортогональны в указанном выше смысле, то имеют место (204) и(205).Рассмотрим теперь сумму двух матриц проектирования:P = PR + PS(206)и положим, что выполнены условия (204) и (205). Покажем, что матрица (206),которая является, очевидно, эрмитовской матрицей, будет также матрицей проектирования.
Для этого убедимся, что квадрат ее совпадает с ней самой:2+ PR PS + PS PR + PS2 ,P 2 = (PR + PS )(PR + PS ) = PR43]§ 4. Квадратичные формы193откуда, в силу сделанного условия и того, что PR и PS суть матрицы проектирования, имеем: P 2 = PR + PS = P .Нетрудно показать, что в рассматриваемом случае матрице P соответствует операция проектирования в подпространство (R + S), которое образуетсясоединением подпространств R и S в том смысле, что подпространство (R + S)образовано совокупностью всех тех векторов, которые служили для образования подпространств R и S, т. е. если векторы x(1) , .
. . , x(p) образовывали R иy(1) , . . . , y(q) образовывали S, то подпространство (R+S) будет представлятьсясовокупностью векторов:C1 x(1) + . . . + Cp x(p) + D1 y(1) + . . . + Dq y(q) ,где Ck и Dk — произвольные постоянные. Предыдущее свойство обобщается ина любое число слагаемых:P = PS 1 + . . . + PS m .(207)Если подпространства Sk попарно взаимно ортогональны, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
