1610915347-b0cdcab04f9552ce71235da8ebe43143 (824740), страница 28
Текст из файла (страница 28)
402 − λРаскрывая этот определитель, придем к уравнению видаλ3 − 10λ2 + 12λ + 72 = 0.35]§ 4. Квадратичные формы161Его корни будут λ1 = −2; λ2 = λ3 = 6, т. е. это уравнение имеет двойнойкорень.Переходим к определению коэффициентов ортогонального преобразования,для которых имеем систему⎫(2 − λ)b1k + 4b3k = 0,⎪⎬(6 − λ)b2k = 0,(1551 )⎪⎭4b1k + (2 − λ)b3k = 0.Подставляя λ = −2, получим, как нетрудно вычислить, нормированное кединице решение11b11 = √ ; b21 = 0; b31 = − √ .22Подставим теперь в коэффициенты системы (155) двойной корень λ = 6,для которого мы должны получить два линейно независимых и взаимно ортогональных решения. При указанной подстановке система сведется к одномууравнению−b12 + b32 = 0.(1552 )Возьмем нормированное к единице решение этого уравнения:1b12 = √ ;2b22 = 0;1b32 = √ .2Для нахождения второго решения заметим, что оно должно удовлетворятькак решению (1552 ), так и условию ортогональности с уже найденным решением.
Таким образом, мы получаем для его нахождения два уравнения−b13 + b33 = 0,11√ b13 + √ b33 = 0,22или b13 = b33 = 0, откуда нормированное к единице решение будет b13 = 0;b23 = 1; b33 = 0.Окончательно ортогональное преобразование будет иметь вид1x1 = √ x1 −21x2 = √ x1 +2x3 = x2 ,1√ x3 ,21√ x3 ,2и уравнение поверхности в осях симметрии приведется к виду22−2x21 + 6(x2 + x3 ) = 1.35. Классификация квадратичных форм.
Задачу о приведении квадратичной формы к сумме квадратов можно поставить и162Гл. II. Линейные преобразования и квадратичные формы[35в более общем виде, чем это мы делали выше, не требуя обязательно, чтобы линейное преобразование от новых переменных к старымбыло ортогональным, а именно мы можем поставить задачу следующим образом: требуется привести вещественную квадратичнуюформу (134) к видуϕ = μ1 X12 + μ2 X22 + . . .
+ μn Xn2 ,(156)где Xk суть какие-нибудь n линейно независимых вещественных линейных форм переменных xk . При такой постановке задачи коэффициенты μk не являются какими-либо определенными числами,как это мы имели выше, но мы можем все-таки высказать некоторое утверждение относительно этих коэффициентов, а именно:число этих коэффициентов, отличных от нуля, должно всегда равняться рангу таблицы, составленной из коэффициентов aik квадратичной формы. Иначе говоря, при любом приведении квадратичной формы к сумме квадратов линейных линейно независимыхформ число квадратов равно рангу упомянутой таблицы. Крометого, имеет место и еще одно свойство, которое обычно называетсязаконом инерции квадратичных форм, а именно: при любом преобразовании вещественной квадратичной формы к виду (156), гделинейные формы Xk также вещественны, число положительныхкоэффициентов μk (и число отрицательных коэффициентов μk )будет всегда одним и тем же.
Высказанные соображения будутнами доказаны в конце настоящего номера.Поставленная общая задача о приведении квадратичной формы к виду(156) решается весьма просто выделением полных квадратов. Проведем этона частном примере:ϕ = x21 + 4x22 + x23 + 2x1 x2 − 6x1 x3 + 8x2 x3 .Добавляя к членам (x21 + 2x1 x2 − 6x1 x3 ) слагаемые (x22 + 9x23 − 6x2 x3 ), мыполучаем полный квадрат и можем записать ϕ в видеϕ = (x1 + x2 − 3x3 )2 + 3x22 − 8x23 + 14x2 x3 .Точно так же, выделяя еще один квадрат, мы приходим окончательно к представлению квадратичной формы в виде (156):2773ϕ = (x1 + x2 − 3x3 )2 − 2 2x3 − x2(x2 )2 .+48Линейные формы, стоящие в круглых скобках, будут, очевидно, линейно независимыми.35]§ 4.
Квадратичные формы163В случае отсутствия в выражении ϕ квадратов переменных вычислениенадо проводить несколько иначе. Пусть мы имеем:ϕ = ax1 x2 + P x1 + Qx2 + R,где a — численный коэффициент, отличный от нуля, P и Q — линейные формы переменных, не содержащие x1 и x2 , R — квадратичная форма, также несодержащая x1 и x2 . Мы можем написать:PQQPx2 ++R− 2 .ϕ = a x1 +aaaЕсли положить:X1 =1P +Qx1 + x2 +;2aX2 =иϕ1 = R −то получим:1P −Qx1 − x2 −2aPQ,a2ϕ = aX12 − aX22 + ϕ1 ,где ϕ1 — квадратичная форма, не содержащая x1 и x2 . Выделив два квадрата,мы освободились от двух переменных.Приведение квадратичной формы к виду (156) дает возможность естественной классификации таких форм. Рассмотрим рядслучаев.I. Положим, что все коэффициенты μk в формуле (156) положительны. В этом случае форма называется определенно положительной.
Нетрудно показать, что она имеет положительные значения при всех вещественных значениях xk и может обращаться внуль только тогда, когда все xk равны нулю. Действительно, длятого чтобы правая часть формулы (156) обратилась в нуль, необходимо и достаточно, ввиду положительности всех μk , чтобы все линейные формы xk были равны нулю. Мы получаем, таким образом,для xk систему n однородных уравнений с определителем, отличным от нуля (формы линейно независимы), и эта система имеет,следовательно, только нулевое решение.II.
Если все коэффициенты μk отрицательны, то квадратичнаяформа называется определенно отрицательной. Как и выше, можно показать, что она имеет при всяких вещественных xk толькоотрицательные значения, причем обращается в нуль только тогда,когда все xk равны нулю.164Гл. II. Линейные преобразования и квадратичные формы[35III. Рассмотрим теперь тот случай, когда среди коэффициентовmk есть равные нулю, а все не равные нулю определенного знака, например, положительны. В этом случае мы будем иметь дляформы ϕ представление вида2ϕ = μ1 X12 + . . . + μm Xm(m < n),(1561 )где все μk положительны. Здесь опять значения нашей формы немогут быть отрицательными ни при каких значениях xk , но могутравняться нулю и тогда, когда значения xk отличны от нуля. Действительно, чтобы получить нулевое значение формы, мы должнынаписать систему m однородных уравнений для xk :X1 = X2 = .
. . = Xm = 0,и так как m < n, то эта система, наверно, имеет решения, отличныеот нулевого. Точно так же, если в формуле (1561 ) все коэффициенты μk отрицательны, то квадратичная форма не может иметь положительных значений, но может обращаться в нуль и при значенияхxk , отличных от нуля. В рассматриваемом случае форма называется знакопостоянной — положительной или отрицательной.IV. Наконец, если среди коэффициентов μk формулы (156) имеются как положительные, так и отрицательные, то, как нетрудновидеть, квадратичная форма может принимать как положительные, так и отрицательные значения при вещественных значенияхxk . В этом случае она называется знакопеременной.Предыдущая классификация вещественных квадратичныхформ имеет непосредственное приложение к задаче на maxima иminima функции от нескольких переменных. Пусть имеется функция n независимых переменных x1 , .
. . , xn :ψ(x1 , . . . , xn ),причем при значениях x1 = . . . = xn = 0 выполнены необходимыеусловия maxima и minima, т. е. все частные производные от функции ψ по независимым переменным обращаются в нуль. Разлагаянашу функцию в ряд Маклорена, будем иметь:ψ(x1 , . . . , xn ) − ψ(0, . . . , 0) = ϕ(x1 , .
. . , xn ) + ω,35]§ 4. Квадратичные формы165где через ϕ(x1 , . . . , xn ) мы обозначили квадратичную форму переменных xk , а через ω — совокупность членов измерения выше второго относительно xk . Если квадратичная форма ϕ определенноположительна, то мы имеем минимум функции в точке x1 = . . .= xn = 0. Если она определенно отрицательна, то мы имеем максимум. Если она знакопеременна, то мы не имеем ни минимума,ни максимума, и, наконец, если ϕ — знакопостоянная форма, то мыимеем дело с сомнительным случаем.
Этот результат является естественным дополнением к тому, который мы имели в [I, 163] дляслучая функции от двух независимых переменных.Переходим к доказательству предложений, высказанных в начале настоящего параграфа. Пусть имеется квадратичная форма:ϕ=naik xi xk(aik = aki ),i,k=1причем r есть ранг ее коэффициентов. Составим систему n линейных форм:n1 ∂ϕ=asl xl2 ∂xsl=1(s = 1, 2, . .
. , n).(157)При составлении выражений этих частных производных мы пользовались условиями aik = aki . Число r есть, очевидно, ранг системы форм (157) в смысле[11].Положим, что ϕ приводится к сумме m квадратов линейно независимыхформ:ys = βs1 x1 + βs2 x2 + . . . + βsn xn (s = 1, 2, . . . , m),(158)т. е.2ϕ = μ1 y12 + μ2 y22 + .
. . + μm ym,(159)где μs отличны от нуля. Нам надо доказать, что m = r. Пользуясь выражением(159), составим линейные формы (157):1 ∂ϕ= μ1 β1s y1 + μ2 β2s y2 + . . . + μm βms ym2 ∂xs(s = 1, 2, . . . , n),(1571 )Переменные ys могут принимать любые значения, поскольку формы (158)линейно независимы. Поэтому при определении линейной зависимости форм(1571 ) ys можно считать за независимые переменные, и наибольшее число линейно независимых форм в системе (1571 ) должно быть равно рангу таблицыкоэффициентов μk βki , где номер столбца k принимает возможные значения:k = 1, 2, . .
. , m, и номер строки i = 1, 2, . . . , n. Элементы каждого столбцаэтой таблицы содержат общий множитель μk , отличный от нуля, и потомуранг таблицы μk βki совпадает с рангом таблицы βki . Поскольку система mформ (158) есть система линейно независимых форм, этот ранг равен m, т. е.166Гл. II. Линейные преобразования и квадратичные формы[36наибольшее число линейно независимых форм в системе (1571 ) или (157) равно m. С другой стороны, по условию, это число равно r, откуда и следует, чтоm = r.Покажем теперь, что при любом способе представления ϕ формулой вида (159), где ys — вещественные линейно независимые формы, число положительных и отрицательных коэффициентов μs всегда одно и то же. Будем доказывать это от противного. Положим, что мы имеем два представления ϕформулами вида (159), причем число положительных коэффициентов в этихпредставлениях различно:22ϕ = λ1 y12 + .
. . + λp yp2 − λp+1 yp+1− . . . − λm ym,22− . . . − λm ym.ϕ = λ1 y12 + . . . + λq yq2 − λq+1 yq+1(160)В этих формулах λs и λs мы считаем положительными. Формы y1 , . . . , ym — . Раз p = q, толинейно независимы, то же можно сказать о формах y1 , . . . , ymвсегда можно считать, что, например, p < q. Покажем, что это приведет нас кнелепости. Присоединим к формам y1 , . . .
, ym формы ym+1 , . . . , yn так, чтобыполучилась полная система линейно независимых форм [11]. Напишем системулинейных однородных уравнений для x1 , x2 , . . . , xn :y1 = 0; . . . ; yp = 0; yq+1= 0; . . . ; ym= 0; ym+1 = 0; . . . , yn = 0.(161)Число этих однородных уравнений p + (m − q) + (n − m) = n − (q + p), и таккак q − p > 0, то это число меньше n. Следовательно, написанная однороднаясистема имеет вещественные решения, отличные от нулевого. Возьмем какое(0)нибудь из этих решений: xs = xs (s = 1, 2, . .
. , n). При этих значениях xs мыбудем иметь в силу (161):22− . . . − λm ym= λ1 y12 + . . . + λq yq2 .ϕ = −λp+1 yp+1(0)Отсюда видно, что при xs = xs квадратичная форма ϕ должна обращаться в(0)нуль, и, следовательно, xs = xs , кроме уравнений (161), должны удовлетворять уравнениям:yp+1 = 0; . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
