1610915347-b0cdcab04f9552ce71235da8ebe43143 (824740), страница 29
Текст из файла (страница 29)
. ; ym = 0.(0)Окончательно получаем, что xs = xs должны обращать в нуль все формыполной системы линейно независимых форм: y1 , y2 , . . . , yn . Но этого не можетбыть, поскольку в однородной системе относительно x1 , x2 , .
. . , xn :y1 = 0;y2 = 0;...;yn = 0определитель отличен от нуля, ибо формы ys линейно независимы. Мы пришлик противоречию, что и доказывает закон инерции.36. Формула Якоби. Приведем без доказательства формулу Якоби, дающую в удобном виде приведение квадратичной формы к сумме квадратов.Для этого введем сначала некоторые обозначения. Положим:Ai (x) =nk=1aik xk(i = 1, 2, . . . , n),37]§ 4. Квадратичные формы167 a11 a12 . .
. a1k aa22 . . . a2k Δ0 = 1; Δ1 = a11 ; Δk = 21, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .ak1 ak2 . . . akk (k = 2, 3, . . . , n) a11 . . . a1k−1 A1 (x)a. . . a2k−1 A2 (x)X1 = A1 (x); Xk = 21. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .ak1 . . . akk−1 Ak (x)Если ранг таблицы коэффициентов aik равен r и определители Δ1 , Δ2 , . . . , Δrотличны от нуля, то формула Якоби имеет видϕ=ni,k=1aik x1 xk =rXk2k=1Δk Δk−1,(162)причем линейные формы Xk (k = 1, 2, . . . , r) — линейно независимы. Последняя формула дает возможность по знакам Δk определить, к какому типу вотношении закона инерции принадлежит форма ϕ.В частности, если все определители Δ1 , Δ2 , .
. . , Δn положительны (приэтом r = n), из (162) следует, что ϕ — определенно положительна. Можно доказать и обратное предложение — если ϕ определенно положительная форма,то все указанные определители должны быть положительны. При примененииформулы (162) можно, конечно, нумеровать переменные xs в любом порядке.При перемене нумерации будут меняться, конечно, и указанные выше определители Δk , и каждый из главных миноров матрицы |aik |n1 может быть определителем из последовательности Δk при определенной нумерации переменныхxs . Из сказанного выше следует, что у определенно положительной формы ϕвсе главные миноры положительны, но при этом достаточно убедиться в положительности определителейΔs (s = 1, 2, . .
. , n).Можно показать, что, для того чтобы форма ϕ была положительной, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры были неотрицательны, т. е. былибольше нуля или равны нулю. Здесь недостаточно определения знаков толькоопределителей Δs , а нужно определять знаки всех главных миноров.Для того чтобы форма ϕ была определенно отрицательной, необходимо идостаточно соблюдение неравенств (−1)k Δk > 0 (k = 1, 2, .
. . , n). Для тогочтобы ϕ была отрицательной, необходимо и достаточно, чтобы главные минорыимели знак (−1)k , где k — порядок минора, или были равны нулю.Доказательство указанных в настоящем номере предложений можно найтив книге Ф. Р. Г а н т м а х е р а «Теория матриц» (1953 г.).37. Одновременное приведение двух квадратичныхформ к сумме квадратов. Пусть имеются две квадратичные168Гл. II. Линейные преобразования и квадратичные формы[37формы:ϕ1 =naik xi xk ;ϕ2 =i,k=1nbik xi xk ,i,k=1причем ϕ1 определенно положительна, т.
е. приводится к сумме nположительных квадратов. Требуется найти такое линейное преобразование (не обязательно ортогональное), чтобы в результате егообе формы перешли в сумму квадратов.Прежде всего, введем такие новые переменные yk , чтобы формаϕ1 перешла в сумму квадратов. Это можно сделать, например, элементарным приемом, указанным в предыдущем номере.
В новыхпеременных будем иметь следующие представления квадратичныхформ:nnϕ1 =μk yk2 ; ϕ2 =bik yi yk .k=1i,k=1По условию все числа μk положительны, и мы можем ввести√новые вещественные переменные zk = μk yk . При этом получимформулы видаϕ1 =nzk2 ;k=1ϕ2 =nbik zi zk .i,k=1Совершим ортогональное преобразование от переменных zk кновым переменным zk , приводящее форму ϕ2 к сумме квадратов.При этом ϕ1 останется суммой квадратов, так как преобразование ортогонально, и мы будем иметь окончательно обе формы ввиде суммы квадратов:ϕ1 =nk=1zk2 ;ϕ2 =nλk zk2 .k=1Числа λk называются иногда характеристическими числамиформы ϕ2 по отношению к форме ϕ1 .Установим теперь то уравнение, которому должны удовлетворять эти числа λk и которое будет вполне аналогично уравнению37]§ 4.
Квадратичные формы169(144) из [32]. Для этого введем понятие о дискриминанте квадратичной формы, а именно: дискриминантом квадратичной формыназывается определитель, составленный из ее коэффициентов.Положим, что мы преобразуем форму ϕ с матрицей коэффициентов A к новым переменным при помощи преобразования(x1 , . . . , xn ) = B(x1 , . . . , xn ).Матрица новой формы будет, как известно [32]:C = B (∗) AB,и ее определитель вычисляется по формулеD(C) = D(B (∗) )D(A)D(B).Определители D(B (∗) ) и D(B), очевидно, равны, так как соответствующие таблицы получаются одна из другой лишь заменойстрок столбцами.
Мы имеем таким образомD(C) = D(A)D(B)2 ,т. е. при линейном преобразовании переменных в квадратичнойформе дискриминант формы умножается на квадрат определителяпреобразования от новых переменных к первоначальным.Вернемся теперь к нашим квадратичным формам ϕ1 , ϕ2 и составим квадратичную формуnω = ϕ2 − λϕ1 =(bik − λaik )xi xk ,i,k=1коэффициенты которой содержат параметр λ.В результате преобразования к новым переменным эта формабудет иметь видnω=(λk − λ)zk2 ,k=1и ее дискриминант в новых переменных выражается, очевидно, произведением(λ1 − λ)(λ2 − λ) . .
. (λn − λ),(163)170Гл. II. Линейные преобразования и квадратичные формы[38а в старых переменных этот дискриминант будет равен определителю с элементами (bik − λaik ). Как мы показали, эти два дискриминанта будут отличаться лишь множителем — квадратом определителя преобразования, не содержащим λ и отличным от нуля. Отсюда непосредственно следует, что оба дискриминанта имеют одинаковые корни относительно параметра λ.
Принимая во внимание(163), видим, что числа λk суть корни уравнения b11 − λa11 b12 − λa12 . . . b1n − λa1n b21 − λa21 b22 − λa22 . . . b2n − λa2n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = 0.bn1 − λan1 bn2 − λan2 . . . bnn − λann 38. Малые колебания. Мы видели выше [II, 20], что движение механической системы, имеющей n степеней свободы, связи которой не содержат времении которая находится под воздействием сил, имеющих потенциал, определяетсясистемой дифференциальных уравнений видаd ∂T∂T∂U−=(k = 1, 2, . .
. , n),(164)dt ∂qk∂qk∂qkгде T — кинетическая энергия системы и U — заданная функция (силовая функция) от qk , которую мы считаем не зависящей от t. Как мы упоминали выше,T есть квадратичная форма от производных qk от qk по времениT =naik q1 qk(aki = aik ),(165)i,k=1причем коэффициенты суть заданные функции от qk . Положим, что значенияqk = 0 обращают в нуль частные производные∂U=0∂qkприq1 = . . . = qn = 0(k = 1, 2, . . . , n).(166)При этом система дифференциальных уравнений (164) имеет очевидноерешение q1 = .
. . = qn = 0, которому соответствует некоторое положениеравновесия системы. Функция U определена лишь с точностью до постоянного слагаемого, и мы можем всегда считать, что она обращается в нуль приq1 = . . . = qn = 0. В силу условия (166) можно, таким образом, утверждать,что разложение функции U по степеням qk начинается лишь с членов второго измерения. Положим, что квадратичная форма, получаемая от этих членов второго измерения, будет определенно отрицательной, откуда следует, чтоU имеет максимум при q1 = .
. . = qn = 0, или — что то же — потенциальнаяэнергия (−U ) имеет минимум. Как мы доказали [II, 20], при этом положение38]§ 4. Квадратичные формы171равновесия q1 = . . . = qn = 0 будет устойчивым, и при малых начальных возмущениях система будет совершать малые колебания около упомянутого положения равновесия, так что qk во все время движения будут оставаться малыми.Мы можем поэтому при исследовании этих малых колебаний считать, что Uсводится лишь к членам второго измерения, т. е. имеет вид−U =nbik qi qk(bki = bik ).(167)i,k=1Точно так же мы можем в коэффициентах aik выражения (165) положитьприближенно qk = 0, после чего эти коэффициенты окажутся заданными числами. Подставляя все это в систему (164), будем иметь систему n линейныхуравнений с постоянными коэффициентами:⎫a11 q1 + a12 q2 + .
. . + a1n qn+ b11 q1 + b12 q2 + . . . + b1n qn = 0, ⎪⎪⎪⎪a21 q1 + a22 q2 + . . . + a2n qn+ b21 q1 + b22 q2 + . . . + b2n qn = 0, ⎬(168)⎪............................................................... ⎪⎪⎪⎭an1 q1 + an2 q2 + . . . + ann qn+ bn1 q1 + bn2 q2 + . . . + bnn qn = 0.Если мы будем искать решение этой системы в форме гармонических колебаний одной и той же частоты и начальной фазы, но с разными амплитудамиqk = Ak cos (λt + ϕ)(k = 1, 2, .
. . , n),(169)то, подставляя в систему (168), будем иметь систему уравнений для Ak и λ:⎫(b11 − λ2 a11 )A1 + (b12 − λ2 a12 )A2 + . . . + (b1n − λ2 a1n )An = 0, ⎪⎪⎪⎪(b21 − λ2 a21 )A1 + (b22 − λ2 a22 )A2 + . . . + (b2n − λ2 a2n )An = 0, ⎬(170)⎪............................................................... ⎪⎪⎪⎭(bn1 − λ2 an1 A1 + (bn2 − λ2 an2 )A2 + . . . + (bnn − λ2 ann )An = 0.Для того чтобы эта система имела для Ak решение, отличное от нулевого,мы должны приравнять ее определитель нулю: b11 − λ2 a11b12 − λ2 a12 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
