1610915347-b0cdcab04f9552ce71235da8ebe43143 (824740), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Это получится в результате применениянескольких ортогональных преобразований, что, очевидно, равносильно применению одного ортогонального преобразования B, являющегося их произведением.Окончательная диагональная матрицаB −1 AB = [λ1 , . . . , λn ](151)156Гл. II. Линейные преобразования и квадратичные формы[33будет подобна основной матрице A, и, следовательно, ее характеристическое уравнениеλ1 − λ0...0 0λ2 − λ . . .0 .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = 0 00. . . λn − λбудет совпадать с уравнением (144), иными словами, коэффициенты λk при квадратах в приведенной квадратичной форме2ϕ = λ1 x21 + . . . + λn xn(152)будут корнями уравнения (144), причем каждый кратный кореньбудет повторяться столько раз, сколько единиц содержит его кратность.Каждый столбец окончательного ортогонального преобразования B дает, как мы знаем, вектор, являющийся решением уравнения (142), причем из самого закона построения следует, что соответствующее значение λk совпадает с тем коэффициентом в квадратичной форме (152), который стоит при соответствующей переменной.
Укажем более точно это соотношение. В силу (136) ортогональное преобразование B, удовлетворяющее условию (140), переводитпеременные (x1 , . . . , xn ) в переменные (x1 , . . . , xn ).Обратное преобразование B −1 будет транспонированным по отношению к B, т. е. мы будем иметь:xk = b1k x1 + . . . + bnk xn(k = 1, 2, . . . , n)(153)и вектор x(k) , имеющий составляющие (b1k , . . . , bnk ), будет решением уравнения (142) при λ = λk .Покажем, наконец, что мы нашли все решения уравнения (142).Прежде всего, из предыдущих рассуждений вытекает, что значениеλk должно быть корнем уравнения (144).
Возьмем какой-нибудькорень этого уравнения λ и положим для определенности, что егократность равна трем, причем можно, конечно, считать, что λ =λ1 = λ2 = λ3 . Предыдущие рассуждения дают нам для уравненияAx = λ1 x(154)33]§ 4. Квадратичные формы157три решения:x(1) (b11 , . . . , bn1 );x(2) (b12 , . . . , bn2 );x(3) (b13 , . .
. , bn3 ).Покажем, что всякое решение уравнения (154) должно быть ихлинейной комбинацией. Действительно, если бы это было не так, томы имели бы еще некоторое решение этого уравнения y, линейнонезависимое с x(1) , x(2) и x(3) . Вектор y может оказаться и комплексным, но в этом последнем случае его вещественная и мнимаячасти в отдельности должны удовлетворять уравнению (154), таккак это уравнение имеет вещественные коэффициенты. Очевидно,что по крайней мере одна из этих частей должна представлять собою вектор, линейно независимый с x(k) (k = 1, 2, 3).
Мы можем,таким образом, считать, что тот вектор y, о котором мы упоминали выше, есть вещественный вектор. Как мы доказали раньше,он должен быть ортогонален ко всем векторам x(k) при k > 3, таккак этим последним соответствуют значения λk , отличные от λ1 .Таким образом, выходит, что вектор y будет линейно независимымсо всей совокупностью векторов x(k) , т. е. мы имеем (n + 1) линейно независимых векторов, что невозможно. Итак, для всякогокорня уравнения (144) кратности m уравнение (154) имеет ровно mлинейно независимых вещественных решений.Подставив в коэффициенты системы (143) вместо λk некоторыйкорень λ = λ0 кратности m, мы получим однородную систему, имеющую m линейно независимых решений, т.
е. ранг этой системыдолжен равняться (n − m). Иначе говоря, эта система сведется к(n − m) уравнениям. Возьмем какое-нибудь решение этой системыи умножим его на такой множитель, чтобы сумма квадратов чисел, входящих в это решение, была равна единице. Таким образом,получим один вектор, соответствующий взятому корню уравненияλ = λ0 .
Чтобы найти следующий вектор, добавим к (n − m) уравнениям нашей системы еще одно уравнение, выражающее ортогональность нового искомого вектора к уже построенному. Таким образом,для нахождения составляющих нового вектора будем иметь однородную систему из (n − m + 1) уравнений. Взяв какое-нибудь решение этой системы и нормировав его опять к единице (длина вектораравна единице), перейдем к нахождению третьего вектора, соответствующего тому же корню уравнения λ = λ0 . Для этого добавим158Гл.
II. Линейные преобразования и квадратичные формы[33к основным (n − m) уравнениям системы еще два уравнения, выражающих ортогональность нового искомого вектора к двум, ужеполученным, и т. д. — пока не построим ортонормированную систему, состоящую из m векторов, соответствующих корню уравненияλ = λ0 кратности m. Из указанного построения непосредственновытекает некоторая произвольность построения основных решенийуравнения (142).
Если все корни уравнения простые, то эта произвольность сводится лишь к тому, что все составляющие вектораx(k) можно помножить на (−1). Положим теперь, что уравнение(144) имеет корень кратности m. В этом случае соответствующие mединичных ортогональных векторов, являющихся решением уравнения (142), образуют некоторое подпространство Rm измеренияm. Мы можем, очевидно, в этом подпространстве выбирать любымобразом взаимно ортогональные единичные орты, и все они будуттакже решениями уравнения (142) при λ = λ0 , т. е.
мы можем переходить от одной ортонормированной системы решений к другой,совершая ортогональное преобразование подпространства Rm . Всесказанное относится и к любому другому кратному корню уравнения (144).Для пояснения сказанного обратимся к той задаче, с которой мыначали предыдущий номер, а именно к задаче приведения уравнения поверхности второго порядка к осям симметрии.
Положимдля определенности, что эта поверхность есть эллипсоид. Случайразных корней уравнения (144) соответствует тому факту, что всеполуоси этого эллипсоида различны. В этом случае единственныйпроизвол в выборе окончательных осей координат сводится к изменению направления этих осей.
Если уравнение (144), которое врассматриваемом случае будет уравнением третьей степени, имеетдва одинаковых корня, то эллипсоид будет эллипсоидом вращения,и две оси симметрии могут лежать как угодно в плоскости, проходящей через центр и перпендикулярной к оси вращения, лишьбы они были взаимно ортогональны, т. е. в данном случае произвол в выборе окончательных осей состоит еще в произвольномортогональном преобразовании в указанной выше плоскости.
Наконец, если уравнение (144) имеет все три одинаковых корня, тонаш эллипсоид есть сфера, и наше уравнение не содержит членовс произведениями координат. В этом случае мы вообще можем со-34]§ 4. Квадратичные формы159вершенно произвольно выбирать прямолинейные, прямоугольныекоординатные оси в пространстве.34. Примеры. Рассмотрим два численных примера.1. Привести к осям симметрии уравнение поверхностиx21 + 5x22 + x23 + 2x1 x2 + 6x1 x3 + 2x2 x3 = 5.Соответствующая квадратичная форма будет иметь видϕ = x21 + x1 x2 + 3x1 x3 + x2 x1 + 5x22 + x2 x3 + 3x3 x1 + x3 x2 + x23 .Характеристическое уравнение ее матрицы будет:1 − λ13 15−λ1 = 0, 311 − λоткуда, разлагая по элементам первой строки:(1 − λ)[(5 − λ)(1 − λ) − 1] − (1 − λ − 3) + 3[1 − 3(5 − λ)] = 0илиλ3 − 7λ2 + 36 = 0.Это уравнение, как нетрудно проверить, имеет корниλ1 = −2;λ2 = 3;λ3 = 6,и уравнение нашей поверхности, отнесенное к осям симметрии, будет:22−2x21 + 3x2 + 6x3 = 5.Будем теперь определять элементы ортогональной матрицы: b11 b12 b13 B= b21 b22 b23 .
b31 b32 b33 Мы имеем для них систему⎫(1 − λ)b1k + b2k + 3b3k = 0,⎪⎬b1k + (5 − λ)b2k + b3k = 0,⎪⎭3b1k + b2k + (1 − λ)b3k = 0.(155)Подставляем сначала λ = λ1 = −2, что приводит нас к двум уравнениям3b11 + b21 + 3b31 = 0,b11 + 7b21 + b31 = 0.Решение этой системы имеет видb11 = −k1 ;b21 = 0;b31 = k1 ,160Гл. II. Линейные преобразования и квадратичные формы[34где k1 — произвольное число.
Выбираем его так, чтобы сумма квадратов чисел,составляющих решение, была равна единице. Окончательно получаем:1b11 = √ ;2b21 = 0;1b31 = − √ ,2причем можно взять и решение с обратным знаком.Подставляем теперь в коэффициенты системы (155) λ = λ2 = 3. Получаем систему, в которой третье уравнение есть разность первых двух, и, такимобразом, приходим к двум уравнениям:−2b12 + b22 + 3b32 = 0,b12 + 2b22 + b32 = 0.Нетрудно найти решение этой системы, нормированное к единице:1b12 = √ ;31b22 = − √ ;31b32 = √ .3Подставляем, наконец, в коэффициенты системы (155) третий корень.
Получаем опять систему, в которой одно из уравнений есть следствие двух других.Решая оставшиеся два уравнения и нормируя полученное решение к единице,будем иметь:121b13 = √ ; b23 = √ ; b33 = √ .666В данном случае формулы преобразования переменных имеют вид1x1 = √ x121x2 = √ x1 −31x3 = √ x1 +61− √ x3 ,211√ x2 + √ x3 ,3321√ x2 + √ x3 .662. Привести к осям симметрии уравнение поверхности2x21 + 6x22 + 2x23 + 8x1 x3 = 1.В данном случае квадратичная форма запишется в видеϕ = 2x21 + 0x1 x2 + 4x1 x3 + 0x2 x1 + 6x22 + 0x2 x3 + 4x3 x1 + 0x3 x + 2x23 ,характеристическое уравнение ее матрицы будет:2 − λ04 06−λ0 = 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
