1610915347-b0cdcab04f9552ce71235da8ebe43143 (824740), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Действительно, умножая, например,первое из этих равенств слева на A−1 и принимая во внимание (79)и (67), получим X = A−1 и аналогично для второго уравнения.Отметим, что если D(A) = 0, то уравнения (83) вовсе не имеютрешений, т. е. матрица A не имеет обратной. Действительно, какследствие уравнений (83), имеем: D(A)D(X) = 1, что противоречит условию D(A) = 0.Напомним также понятие диагональной матрицы, введенное впредыдущем номере, а также того, что всякое число k можно рассматривать как частный случай матрицы.
Нетрудно ввести понятиецелой положительной степени матрицыAp = A · A · · · A.Целые отрицательные степени матрицы вводятся как целые положительные степени обратной матрицы, т. е.A−p = (A−1 )p .(84)Имеем, очевидно:A−p = (Ap )−1 ,т. е. A−p Ap = Ap A−p = I.(85)Символ частного двух матрицABне имеет определенного смысла. Мы можем толковать его двояко —или как произведение AB −1 , или как произведение B −1 A, причем эти два произведения, вообще говоря, различны, и только втех частных случаях, когда они совпадают, символ частного имеетопределенный смысл.Далее, основным понятием является понятие подобных матриц,которое мы также ввели в предыдущем номере. Отметим некоторыеочевидные формулы:(CBA)−1 = A−1 B −1 C −1 ,(86)CBAC −1 = (CBC −1 )(CAC −1 ).(87)26]§ 3. Линейные преобразования125Если через A(∗) обозначить матрицу, транспонированную по отношению к A, то имеет место формула(CBA)(∗) = A(∗) B (∗) C (∗) ,(88)которую нетрудно проверить, пользуясь определением умножения.Введем два обозначения.
Обозначим через A матрицу, элементыкоторой суть числа, сопряженные с элементами матрицы A, т. е.{A}ik = {A}ki ,(89)причем символом α обозначаем комплексное число, сопряженное3 матрицу, которая получается из A, если строкис α, и через Aзаменить столбцами и все элементы — сопряженными числами, т.
е. ik = {A} .{A}ki(90) называется иногда сопряженной или эрмитовски соМатрица Aпряженной с матрицей A4 . Нетрудно проверить формулуB C.=ACBA(91)Предлагаем проверить также следующую элементарную формулу:(A(∗) )−1 = A−1(∗) ,т. е. что знак обратной матрицы и транспонирования можно менятьместами, о чем мы уже упоминали и выше [20].Отметим еще одну полезную в дальнейшем формулу.
Из соотношения (67) непосредственно вытекаетD(A)D(A−1 ) = 1,т. е.D(A−1 ) = D(A)−1 .(92)3 В современных курсах алгебры такие матрицы обозначаются символом ∗(звездочка), т. е. A∗ есть матрица, сопряженная к матрице A.4 По имени французского математика второй половины XIX века —Ш. Эрмита.126Гл. II.
Линейные преобразования и квадратичные формы[26Иначе говоря, определитель обратной матрицы обратен по величине определителю основной матрицы.Введем еще понятие квазидиагональной матрицы 5 , являющейся обобщением диагональной матрицы. Выясним это понятие сначала на частном случае. Пусть имеется матрица седьмого порядкавидаb11 b12 b13 0000 b21 b22 b23 0000 b31 b32 b33 0000 000 c11 c12 00 .000cc00212200000dd111200000 d21 d22 Обозначим через B матрицу третьего порядка с элементамиbik , а через C и D — матрицы второго порядка с элементами cikи dik . Предыдущая матрица седьмого порядка называется квазидиагональной структуры {3, 2, 2} и обозначается символом[B, C, D].Положим вообще, что главная диагональ матрицы порядка n,состоящая из элементов aii , разбита на m частей, причем перваячасть состоит из первых k1 элементов, вторая — из следующих k2элементов и т.
д., так что k1 + . . . + km = n. Мы можем рассматривать первые k1 элементов как главную диагональ некоторой матрицы X1 порядка k1 ; следующие k2 элементов — как главную диагональ некоторой матрицы X2 порядка k2 и т. д. Положим, что всеэлементы нашей матрицы A, не принадлежащие к матрицам Xs ,равны нулю. При этом матрица A называется квазидиагональнойматрицей структуры {k1 , . . . , km } и обозначается следующим образом:A = [X1 , X2 , .
. . , Xm ].Правила действия с квазидиагональными матрицами одинаковой структуры отличаются большой простотой. Мы приведем соответствующие формулы, не останавливаясь на их доказательстве.5 Такиематрицы также называются блочно-диагональными матрицами.26]§ 3. Линейные преобразования127Оно может быть проведено совершенно элементарно на основе определения действий. Для сложения квазидиагональных матриц одинаковой структуры мы имеем формулу[X1 , X2 , . . .
, Xm ] + [Y1 , Y2 , . . . , Ym ] == [X1 + Y1 , X2 + Y2 , . . . , Xm + Ym ],(93)причем одинаковость структуры равносильна тому, что порядоквсякой матрицы Xk совпадает с порядком соответствующей матрицы Yk . Точно так же для умножения и возвышения в степеньимеем:[Y1 , Y2 , . . . , Ym ][X1 , X2 , . . . , Xm ] = [Y1 X1 , Y2 X2 , .
. . , Ym Xm ], (94)p[X1 , X2 , . . . , Xm ]p = [X1p , X2p , . . . , Xm],(95)где p — любое целое положительное или отрицательное число, причем если p есть целое отрицательное число, то необходимо, конечно,требовать, чтобы определители D(Xk ) были отличны от нуля.Правило подобного преобразования матрицы [X1 , X2 , . . . , Xm ]при помощи матрицы той же структуры выражается формулой[Y1 , . . . , Ym ][X1 , . . . , Xm ][Y1 , . . . , Ym ]−1 =[Y1 X1 Y1−1 , .
. . , Ym Xm Ym−1 ].(96)Отметим геометрический смысл тех линейных преобразований,которые доставляются квазидиагональными матрицами. Рассмотрим для простоты случай указанной выше квазидиагональной матрицы седьмого порядка, структуры {3, 2, 2}. Рассмотрим линейноепреобразование, соответствующее этой матрице. Если в первоначальном векторе (x1 , . . . , x7 ) мы имеем: x4 = x5 = x6 = x7 = 0, тои в преобразованном, очевидно, будет: y4 = y5 = y6 = y7 = 0, т.
е.,иными словами, все векторы, которые принадлежат подпространству, образованному тремя первыми основными ортами, и послепреобразования будут принадлежать этому подпространству, и само преобразование будет определяться матрицей третьего порядкаB. То же относится к подпространству, образованному следующими двумя ортами, и, наконец, к подпространству, образованномупоследними двумя ортами.128Гл.
II. Линейные преобразования и квадратичные формы[27Напомним при этом, что подпространством, образованным векторами x(1) , . . . , x(l) , мы называем совокупность векторов, определяемых формулойc1 x(1) + . . . + cl x(l) ,где c1 , . . . , cl — произвольные постоянные.27. Характеристические числа матриц и приведениематриц к каноническому виду. Подобные матрицы не равны,конечно, между собою в смысле (76), но в геометрическом смыслеравносильны в том отношении, что они осуществляют одно и то желинейное преобразование пространства, но выраженное в различных координатных системах.
Мы займемся сейчас разыскиваниеминвариантов этих матриц, т. е. таких выражений, составленных изэлементов, которые имели бы одинаковое значение для всех подобных матриц. Нетрудно составить один из таких инвариантов.Это будет определитель матрицы. Действительно, пусть A — некоторая матрица и U AU −1 — ей подобная, причем U — любая матрицас определителем, отличным от нуля. Мы имеем в силу (80) и (92):D(U AU −1 ) = D(U )D(A)D(U −1 ) = D(U )D(A)D(U )−1 = D(A).Чтобы построить еще другие инварианты, образуем полиномϕ(λ) степени n от некоторого параметра λ, равный определителюматрицы, которая получается из матрицы A, если мы вычтем извсех ее диагональных членов параметр λ, т. е. положимa11 − λa12...a1n aa22 − λ .
. .a2n ,(97)ϕ(λ) = 21........................... . . . . an1an2. . . ann − λгде aik — элементы матрицы A. Иначе мы можем записать это так:ϕ(λ) = D(A − λ) = D(A − λI),(98)ибо по условию λ или λI есть диагональная матрица, у которойвсе элементы, стоящие на главной диагонали, равны λ. Подставляя U AU −1 вместо A и принимая во внимание, что любая матрица27]§ 3.
Линейные преобразования129переместительна с числом λ и, следовательно, U λU −1 = λ, будемиметь:D(U AU −1 − λ) = D[U (A − λ)U −1 ] = D(A − λ),т. е.D(U AU −1 − λ) = D(A − λ).(99)Мы видим, таким образом, что полином (97), составленный дляматрицы U AU −1 , совпадает с таким же полиномом, составленным для матрицы A. Иными словами, все коэффициенты полинома(97) суть инварианты по отношению к подобным матрицам.
Старший коэффициент написанного полинома, как легко видеть, равен(−1)n . Отметим особо два его коэффициента, а именно свободныйчлен и коэффициент при (−1)n−1 λn−1 . Первый из них равен, очевидно, определителю, и этот инвариант мы уже отметили и раньше.Что же касается коэффициента при (−1)n−1 λn−1 , то, пользуясь результатами [5], мы видим, что он совпадает с суммой диагональныхэлементов.
Эта сумма называется обычно следом матрицы и обозначается следующим образом:Sp(A) = {A}11 + {A}22 + . . . + {A}nn = a11 + a22 + . . . + ann ,где Sp есть начальные буквы немецкого слова «Spur», что значитпо-русски «след» (французское «trace»). Итак, подобные матрицыимеют одинаковый определитель и одинаковый след.Напишем теперь уравнениеD(A − λ) = 0,(100)которое называется характеристическим уравнением матрицы A,а его корни — характеристическими числами, или собственнымизначениями матрицы A.
Согласно предыдущему, мы можем сказать, что подобные матрицы имеют одинаковые характеристические числа. Мы уже имели уравнение вида (100) раньше.Поставим теперь следующий вопрос: нельзя ли найти матрицуV , совершающую преобразование подобия от заданной матрицы Aк матрице V −1 AV так, чтобы последняя матрица была диагональной матрицей. Иными словами, с точки зрения линейных преобразований пространства нельзя ли выбрать такие координатные оси, в130Гл.
II. Линейные преобразования и квадратичные формы[27которых линейное преобразование, характеризуемое в первоначальной системе координат матрицей A, сводилось бы просто в новыхосях к преобразованию вида yk = λk xk . Заметим, что мы пишемподобную матрицу в виде V −1 AV вместо прежнего вида U AU −1 ,что не имеет, конечно, существенного значения.Мы можем записать наше условие в видеV −1 AV = [λ1 , λ2 , . . . , λn ],(101)где искомыми являются элементы матрицы V и числа λk .
Можно,очевидно, переписать это условие, умножая обе части слева на V ,в видеAV = V [λ1 , λ2 , . . . , λn ].(102)Определим по формуле (65) элементы обеих частей написанногоравенства со значками i и k. Таким образом мы получим n2 уравнений:nais vsk = vik λk ,s=1где aik и vik — элементы матриц A и V .Фиксируя второй значок k и полагая i = 1, 2, . . . , n, получимn уравнений, содержащих только элементы vik , . . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
