1610915347-b0cdcab04f9552ce71235da8ebe43143 (824740), страница 19
Текст из файла (страница 19)
е. по формулам(x1 , x2 , x3 ) = A(x1 , x2 , x3 ).(37)Такой вектор назовем контравариантным афинным вектором, причем общее линейное преобразование (36) называется иногда афинным преобразованием. Во-вторых, можно определить вектор так, чтобы при всяком линейномпреобразовании (36) его составляющие испытывали соответствующее контраградиентное преобразование, т.
е.(x1 , x2 , x3 ) = V (x1 , x2 , x3 ).Такой вектор называется ковариантным афинным вектором.(38)108Гл. II. Линейные преобразования и квадратичные формы[22В обоих случаях, имея составляющие вектора в какой-нибудь координатнойсистеме, мы тем самым имеем его составляющие и во всех других системах координат, получаемых из упомянутой при помощи любого афинного преобразования. Приведем примеры векторов обоего рода. Прежде всего радиус-вектор,соединяющий две определенные точки пространства, является, очевидно, контравариантным вектором, так как его составляющие в вышеуказанном смыслеслова (разности координат его концов) преобразуются по тем же линейнымформулам, что и сами координаты.
Приведем еще пример контравариантноговектора. Положим, что координаты точки (x1 , x2 , x3 ) суть функции некоторого параметра t, и определим вектор скорости, имеющий составляющиеdx1 dx2 dx3,,.dtdtdtДифференцируя основные формулы (36) по t, убеждаемся непосредственнов том, что вектор скорости также является контравариантным вектором.Дадим теперь пример контравариантного вектора. Рассмотрим для этогонекоторую функцию точки f (x1 , x2 , x3 ) в пространстве и определим в любойкоординатной системе вектор, называемый градиентом этой функции и определяемый следующими составляющими:∂f∂f∂f,,.∂x1 ∂x2 ∂x3Согласно правилу дифференцирования сложных функций и формулам(36), будем иметь:∂f∂f∂f∂f= a1s + a2s + a3s ∂xs∂x1∂x2∂x3(s = 1, 2, 3),т. е.
составляющие градиента в осях (x1 , x2 , x3 ) выражаются через составляющие градиента в осях (x1 , x2 , x3 ) линейным преобразованием с таблицей A(∗)и, следовательно, составляющие в осях (x1 , x2 , x3 ) через составляющие в осях(x1 , x2 , x3 ) выражаются линейным преобразованием с таблицей A(∗)−1 = V ,т. е. градиент функции есть действительно ковариантный вектор.Нетрудно выразить формулы (37) и (38) через частные производные новыхкоординат по старым, и наоборот.
Введем обозначения, несколько отличные отпредыдущих, которые являются обычными в теории векторов. Будем у составляющих контравариантных векторов приписывать значок сверху, а у ковариантных — снизу. В соответствии с этим у самих координат будем писать значоксверху.Коэффициенты преобразования (36) можно представить в виде частныхпроизводных следующим образом:∂x(i).∂x(k)Элементы контраградиентной матрицы V будут:aik =Vik =Aik,D(A)(39)22]§ 3.
Линейные преобразования109и те же элементы имеет матрица (A−1 )(∗) , т. е.(A(∗) )−1 = (A−1 )(∗) ,т. е. можно сначала перейти к обратной матрице, а потом переставить строки(i)и столбцы. При переходе к обратной матрице коэффициент cik будет ∂x(k) и∂xпосле транспонирования получим для элементов матрицы V выраженияVik =∂x(k).∂x(i)(40)Пусть u(s) — составляющие контравариантного вектора в координатах x(k)и u (s) — в координатах x(s) .
По определению имеем:u(i) =3∂x(i) (s)u∂x(s)s=1(i = 1, 2, 3).(41)Точно так же для ковариантного вектора по определению получим:ui =3∂x(s)us .∂x(i)s=1(42)Заметим, что мы можем пользоваться этими формулами для определениясоставляющих вектора не только при линейном преобразовании координат, нои в случае самого общего преобразования, когда одни координаты выражаютсячерез другие при помощи любых, вообще нелинейных, функций.Укажем еще на одну возможность определения ковариантного вектора,причем контравариантный вектор определяется просто как такой вектор, составляющие которого преобразуются по тем же формулам, что и координаты.Итак, пусть мы имеем некоторый контравариантный вектор u(s) и ковариантный вектор vs .Составим сумму произведений:u(1) v1 + u(2) v2 + u(3) v3 .(43)Нетрудно видеть, что она остается неизменной, или, как говорят, есть скаляр, если u(s) и vs изменяются по соответствующим им формулам (41) и (42).Действительно, будем иметь непосредственно в силу правила дифференцирования сложных функций3u(s) vs =s=1= 33 3∂x(s) (k) ∂x(l)= u(i) v1 + u(2) v2 + u(3) v3 .uvl∂x(k)∂x(s)s=1 k=1l=1Таким образом, определив контравариантный вектор указанным выше способом, мы можем определить закон изменения составляющих ковариантного110Гл.
II. Линейные преобразования и квадратичные формы[23вектора из требования, чтобы выражение (43) оставалось неизменным. Применяя буквально те же вычисления, которыми мы пользовались в предыдущемномере, мы придем к тому, что при инвариантности выражения (43) составляющие vs должны испытывать линейное преобразование, контравариантноетому, которое испытывают составляющие u(s) . Предоставляем читателю показать, что при любом преобразовании координат (не только линейном) векторскорости является контравариантным вектором и градиент функции — ковариантным вектором.В заключение сделаем одно замечание по поводу разницы между контравариантными и ковариантными векторами, которые были определены выше чисто формальным образом — формулами перехода от одной системы к другой.Пусть x — некоторый вектор, заданный своей длиной и направлением.
Имея орты, мы образуем составляющие вектора по формуле (28). Назовем эти составляющие сейчас контравариантными составляющими и напишем формулу (28)в видеx = x(1) i + x(2) j + x(3) k.(44)Назовем ковариантной составляющей вектора x на орт i величину прямоугольной проекции x на i, умноженную на длину i, и аналогично для двухдругих ортов. Таким образом имеем для каждой системы ортов три ковариантные составляющие (x1 , x2 , x3 ).
Можно показать, что они преобразуются припереходе от одних ортов к другим как составляющие ковариантного вектора.Действительно, можно показать, на чем мы не останавливаемся, что в данномслучае выражение x(1) x1 + x(2) x2 + x(3) x3 будет давать квадрат длины вектораx и таким образом будет оставаться неизменным при преобразовании ортов.23.
Понятие тензора. Мы переходим теперь к некоторому обобщению понятия вектора, причем сначала будем рассматривать только линейные преобразования координат. Пусть в некоторой координатной системе задана таблицадевяти чисел:bik (i, k = 1, 2, 3).Составим выражение вида3bik u(i) v(k) ,(45)i,k=1где u(i) и v(k) суть составляющие двух контравариантных векторов. Совершаяпереход к новым координатам, мы можем в выражении (45) выразить u(i) и v(k)через новые составляющие u(i) и v(k) и таким образом преобразуем выражение(45) к следующему виду:3i,k=1bik u(i) v(k) =3bik u(i) v(k) .(46)i,k=1Мы будем иметь, таким образом, и в новой координатной системе таблицудевяти чисел с элементами bik .
Такая таблица, определенная в любой координатной системе из требования инвариантности выражения (45), называется23]§ 3. Линейные преобразования111ковариантным тензором второго ранга. Точно так же, взяв два ковариантныхвектора с составляющими ui и vk и образовав выражение3b(i,k) ui vk ,(47)i,k=1мы, задав в какой-либо координатной системе таблицу девяти чисел b(i,k) , будем иметь из требования инвариантности выражения (47) таблицу девяти чисели в любой другой координатной системе. Это даст нам так называемый контравариантный тензор второго ранга. Наконец, взяв один контравариантныйвектор с составляющими u(i) и один ковариантный вектор с составляющимиvk и образовав выражение3(k)bi u(i) vk ,(48)i,k=1мы таким же точно путем придем к понятию смешанного тензора второгоранга.Покажем теперь, каким образом, имея коэффициенты линейного преобразования координат (36), можно составить формулы, выражающие составляющие некоторого тензора в новых координатах через его составляющие впрежних координатах.
Остановимся сначала на случае ковариантного тензоравторого ранга. Составляющие u(i) и v(k) контравариантных векторов в прежней координатной системе выражаются через составляющие u(i) и v(k) в новойкоординатной системе при помощи линейного преобразования с таблицей A−1 .Обозначая элементы этой таблицы через {A−1 }ik , мы будем иметь таким образом:33u(i) ={A−1 }ik u(k) ; v(i) ={A−1 }ik v(k) .k=1k=1Подставляя в выражение (45) и определяя коэффициент при произведении u(i) v(k) , мы получим выражение для составляющей bik тензора в новойкоординатной системе:3bik =bpq {A−1 }pi {A−1 }qk .(49)p,q=1Для случая контравариантного тензора второго ранга нам совершенно также надо будет выразить составляющие ковариантных векторов ui и vk черезновые составляющие.
Согласно определению ковариантного вектора, ui выражается через ui при помощи таблицы A(∗)−1 и, следовательно, ui выражаетсячерез ui при помощи таблицы A(∗) , транспонированной по отношению к A, ианалогично vi , т. е.ui =3{A}ki uk ;k=1vi =3{A}ki vk .k=1112Гл. II. Линейные преобразования и квадратичные формы[23Подставляя это в выражение (47), получим формулы преобразования длясоставляющих контравариантного тензора второго ранга:b(i,k) =3b(p,q) {A}ip {A}kq .(50)p,q=1Точно так же для составляющих смешанного тензора второго ранга будемиметь следующую формулу преобразования:(k)bi=3(q)bp {A−1 }pi {A}kq .(51)p,q=1Если мы выразим коэффициенты линейного преобразования через частныепроизводные∂x(i)∂x(i)и(k)∂x∂x(k)и подставим эти выражения в предыдущие формулы, то будем иметь формулы преобразования тензоров второго ранга для случая любого преобразованиякоординат.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
