1610915347-b0cdcab04f9552ce71235da8ebe43143 (824740), страница 18
Текст из файла (страница 18)
II. Линейные преобразования и квадратичные формы[21т. е. как раз формулы (22). Заметим, что в дальнейшем мы будемчасто обозначать элементы матрицы A символом{A}ik .Произведение матриц не подчиняется, вообще говоря, переместительному закону, т. е. вообще BA = AB, но, как нетрудновидеть, подчиняется сочетательному закону — сомножители можносоединять в группы:C(BA) = (CB)A.(23)В левой его части мы должны матрицу A умножить на B слеваи затем полученный результат умножить на матрицу C. В правойчасти мы сначала должны помножить матрицу B на C, а затемматрицу A помножить на матрицу, полученную в результате только что произведенного умножения. Нетрудно видеть, что в обоихслучаях элементы матрицы, получающиеся в окончательном произведении, будут выражаться по формулам (22). Действительно,для левой части это было показано выше.
Что же касается правойчасти, то мы имеем, производя последовательно указанные умножения:3{CB}ik ={C}iq {B}qkq=1и{(CB)A}ik =3p=1{CB}ip {A}pk =3{C}ik {B}qp {A}pk ,p,q=1что совпадает, очевидно, с (22) при наших новых обозначениях.Отметим еще один важный тип линейных преобразований, аименно рассмотрим преобразованияx1 = k1 x1 ; x2 = k2 x2 ; x3 = k3 x3 ,(24)которые сводятся к растяжению вдоль координатных осей, причемчисленные коэффициенты k1 , k2 , k3 характеризуют величину этого растяжения (или сжатия).
Матрица указанного преобразования21]§ 3. Линейные преобразованияимеет, очевидно, видk1000k2010300,k3 т. е. все ее элементы, стоящие вне главной диагонали, равны нулю.Такая матрица называется диагональной матрицей, и мы ее будемобозначать символом[k1 , k2 , k3 ].В частности, если числа одинаковы, т. е. если k1 = k2 = k3 = k,то преобразование сведется к умножению всех составляющих вектора на одно и то же число k, и это будет, очевидно, преобразованиеподобия с центром в начале координат.
Всякий вектор, не меняясвоего направления (считаем k > 0), изменится лишь по длине,причем его длина умножится на k. Такое преобразование будемобозначатьx = kx,т. е. будем число k считать частным случаем матрицы, а именно будем диагональную матрицу с одинаковыми элементами на главнойдиагоналиk 0 00 k 0(25)0 0 kсчитать числом k. Нетрудно видеть, пользуясь (15), что произведение таких матриц сводится к обычному перемножению чисел, т. е.[k, k, k] · [l, l, l] = [kl, kl, kl].Вообще легко проверить, что для диагональных матриц имеетместо простой закон умножения[k1 , k2 , k3 ] · [l1 , l2 , l3 ] = [k1 l1 , k2 l2 , k3 l3 ],(26)т.
е. два растяжения вдоль координатных осей равносильны одномурастяжению с коэффициентами, равными произведению соответствующих коэффициентов составляющих растяжений. Из формулы (26), между прочим, непосредственно следует, что произведение104Гл.
II. Линейные преобразования и квадратичные формы[21двух диагональных матриц не меняется при перестановке сомножителей. Пользуясь представлением числа в виде диагональной матрицы (25) и формулой (15), нетрудно видеть, что произведение kAсводится к умножению всех элементов матрицы A на число k. Этопроизведение не зависит от порядка сомножителей, т.
е.{kA}ik = {Ak}ik = k{A}ik .(27)Мы рассматривали основное линейное преобразование (2) какдеформацию пространства, при которой вектор с составляющими(x1 , x2 , x3 ) переходит в новый вектор с составляющими (x1 , x2 , x3 ).Можно, конечно, как мы уже указывали и раньше, толковать этопреобразование и как точечное преобразование, при котором точка с координатами (x1 , x2 , x3 ) переходит в точку с координатами(x1 , x2 , x3 ).При определении составляющих вектора мы могли пользоваться любой системой осей, иначе говоря, любыми ортами, т. е.
мымогли взять любые три некомпланарных вектора i, j, k за основные векторы (за орты), и при этом для всякого вектора x мы, какизвестно, имеем единственное представление вида [II, 114]:x = x1 i + x2 j + x3 k.(28)Числа x1 , x2 , x3 и называются составляющими вектора x вовзятой системе координат, определяемой ортами i, j и k.
Нашейзадачей сейчас является исследовать влияние различного выбораортов на вид линейного преобразования.Точнее говоря, если в системе координат, определяемой ортамиi, j и k, некоторое линейное преобразование имеет вид (12), то каким образом будет выглядеть то же самое линейное преобразованиепространства в другой системе координат, определяемой ортами i1 ,j1 , k1 ? Положим, что новые орты выражаются через старые по формулам⎫i1 = t11 i + t12 j + t13 k,⎪⎬j1 = t21 i + t22 j + t23 k,(29)⎪⎭k1 = t31 i + t32 j + t33 k.Заметим, что определитель, составленный из коэффициентовtik , должен быть отличным от нуля.
В противном случае векторы21]§ 3. Линейные преобразования105i1 , j1 и k1 оказались бы линейно зависимыми, т. е. компланарными.В новой системе координат наш вектор, определяемый формулой(28), будет иметь уже новые составляющиеy1 i1 + y2 j1 + y3 k1 .Установим прежде всего формулу, выражающую новые составляющие вектора через его прежние составляющие. Мы имеем, очевидно, используя выражения (29) новых ортов:3ys (ts1 i + ts2 j + ts3 k) = x1 i + x2 j + x3 k.s=1Сравнивая коэффициенты при i, j и k, получим формулы, выражающие прежние составляющие через новые:⎫x1 = t11 y1 + t21 y2 + t31 y3 ,⎪⎬(30)x2 = t12 y1 + t22 y2 + t32 y3 ,⎪⎭x3 = t13 y1 + t23 y2 + t33 y3 .Таблица этого преобразования отличается от таблицы преобразования (29) тем, что строки заменены столбцами.
Действительно,в каждой строке таблицы (29) не меняется первый значок, а в таблице (30) это имеет место для второго значка. Обозначая таблицупреобразования (29) через T , мы будем таблицу преобразования(30) обозначать через T (∗) и называть ее транспонированной по отношению к T .2 При этом можно записать формулы (30) коротко вследующей форме:(x1 , x2 , x3 ) = T (∗) (y1 , y2 , y3 ),(31)причем (x1 , x2 , x3 ) обозначает три составляющие вектора в прежних ортах, а (y1 , y2 , y3 ) — в новых ортах. Выражение новых составляющих через старые будет иметь вид(y1 , y2 , y3 ) = T (∗)−1 (x1 , x2 , x3 ),2 В современных курсах алгебры для обозначения транспонированной матрицы обычно используют символ T (или t). То есть AT (или At ) есть матрица,транспонированная по отношению к A.106Гл.
II. Линейные преобразования и квадратичные формы[21где T (∗)−1 есть линейное преобразование, обратное T (∗) . Оно называется обычно контраградиентным по отношению к T . Для краткости письма обозначим соответствующую ему таблицу особой буквойU = T (∗)−1 .(32)Мы можем, таким образом, утверждать, что при перемене основных ортов, согласно формуле (29), составляющие всякого вектора испытывают линейное преобразование с таблицей U , определяемой по формуле (32). Таким образом, наши два вектораx (x1 , x2 , x3 ) и x (x1 , x2 , x3 ), входящие в преобразование (9), после преобразования ортов будут иметь уже другие составляющие,определяемые через прежние по формулам(y1 , y2 , y3 ) = U (x1 , x2 , x3 );(y1 , y2 , y3 ) = U (x1 , x2 , x3 ).(33)Нашей задачей, таким образом, является установить линейнуюзависимость между составляющими (y1 , y2 , y3 ) и (y1 , y2 , y3 ).
Мыможем совершить переход от вектора (y1 , y2 , y3 ) к новому вектору (y1 , y2 , y3 ) следующим образом: сначала перейти от вектора (y1 , y2 , y3 ) к вектору (x1 , x2 , x3 ), что в силу (33) совершаетсяпри помощи таблицы U −1 . Затем перейти от вектора (x1 , x2 , x3 ) квектору (x1 , x2 , x3 ) при помощи таблицы A преобразования (9) и,наконец, от вектора (x1 , x2 , x3 ) к вектору (y1 , y2 , y3 ) при помощитаблицы преобразования U . Окончательно мы будем иметь линейное преобразование следующего вида:y = U AU −1 y.(34)Это преобразование называется подобным преобразованию (9),и его матрица U AU −1 называется подобной матрице A.Формулируем окончательно полученный результат. Если формулы (33) выражают линейное преобразование составляющих вектора, вызываемое переменой основных ортов, то всякое линейноепреобразование пространства, которое в прежних основных ортах имело видx = Ax,22]§ 3.
Линейные преобразования107будет иметь в новой координатной системе видy = U AU −1 y.22. Ковариантные и контравариантные афинные векторы. Положим, что линейное преобразование (9) выражает просто переход от одной системы декартовых координатных осей к другой, т. е. что его коэффициентысуть направляющие косинусы, определяемые по таблице (3).
В этом случае,как мы видели в [20], транспонированная таблица A(∗) совпадает с обратнойтаблицей A−1 и, следовательно, контраградиентная таблица A(∗)−1 будет совпадать с основной таблицей A, т. е.A(∗) = A−1 ;A(∗)−1 = A.(35)Рассматривая неизменный по длине и направлению вектор, мы можем, конечно, утверждать, что его составляющие преобразуются по тем же самымформулам (9), что и координаты, т. е.⎫x1 = a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 ,⎪⎬x2 = a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 ,(36)⎪⎭x3 = a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 .Таким образом, вектор вполне характеризуется тремя числами во всякойфиксированной декартовой координатной системе, и при переходе от однойдекартовой системы к другой эти три числа (составляющие вектора) преобразуются по тем же формулам (36), что и координаты.
Предположим теперь,что мы принимаем в расчет не только переход от одной декартовой системы кдругой, но вообще всевозможные линейные преобразования координат с определителем, отличным от нуля, что соответствует, как мы выше видели, произвольному выбору трех некомпланарных векторов за основные орты. Будем, каки выше, наряду с таблицей A преобразования (36) рассматривать и контраградиентную таблицу V = A(∗)−1 .
В общем случае они будут различными, и мыимеем таким образом возможность двоякого определения вектора при любомлинейном преобразовании координат. Во-первых, можно определить вектор кактройку чисел, которая преобразуется при переходе от одной системы координатк другой по тем же формулам, что и сами координаты. т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
