1610915347-b0cdcab04f9552ce71235da8ebe43143 (824740), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Функция z(x, y)∂yесть решение второго из уравнений (73), что приводит к тождеству:ψ[x, y, z(x, y)] ≡ 0.Дифференцируя это тождество по y, получим:∂ψ ∂z∂ψ+·≡ 0.∂y∂z ∂y(77)∂ψи сложим с тождеством (77), предваритель∂z∂ϕ− ∂z . Мы получим таким образом после элемен-Умножим обе части (76) нано умножив обе его части натарного преобразования:∂ψ·∂z∂ϕ∂y=D(ϕ, ψ).D(y, z)При x = x0 , y = y0 функция z(x, y) обращается в z0 , и при указанных значе ниях переменных ∂ψтакже отлична оти (74) отличны от нуля, а потому ∂ϕ∂z∂yнуля. Следовательно, уравнение (75) определяет единственную функцию y(x).Подставляя ее в z(x, y), получаем и z как функцию от x.
Это доказательствосправедливо для случая нескольких независимых переменных.90Гл. I. Определители и решение систем уравнений[19В общем случае теорема о неявных функциях читается так: пусть имеетсясистема n уравнений:F1 (x1 , . . . , xm , y1 , . . . , yn ) = 0;Fn (x1 , . . . , xm , y1 , . . . , yn ) = 0,имеющая решение(0)(0)x k = x k , yl = ylk = 1,l = 1,...,...,(78)m;n(79)пусть Fl — непрерывные функции с непрерывными частными производнымипервого порядка в окрестности значений (79) и пусть, наконец, функциональный определитель ∂F∂F1∂F1 1.
. . ∂y ∂y1∂y2n ∂F2∂F2 ∂F2D(F1 , . . . , Fn ). . . ∂y∂y2(80)= ∂y1n D(y1 , . . . , yn ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ∂Fn∂F∂Fn ∂y. . . ∂y n ∂y12nотличен от нуля при значениях (79). При этом уравнения (78) при xk ,(0)достаточно близких к xk , определяют единственную систему функцийyl (x1 , . . . , xn ) непрерывных, имеющих производные первого порядка и удовле(0)(0)(0)творяющих условию yl (x1 , . . . , xk ) = yl .Наметим доказательство этой теоремы. Считая теорему справедливой длясистемы (n − 1) уравнений (при n = 1 и n = 2 она действительно справедлива), докажем ее для системы n уравнений.
Разлагая определитель (80) поэлементам первого столбца, можем утверждать, что хоть одно из алгебраических дополнений этих элементов отлично от нуля при значениях (79), ибо самопределитель при этих значениях по условию отличен от нуля. Соответственно нумеруя функции Fl , можем считать, что отлично от нуля алгебраическое1дополнение элемента ∂F. Это алгебраическое дополнение представляет собою∂y1функциональный определитель от функций F2 , .
. . , Fn , по переменным y2 , . . . ,yn . Согласно теореме для систем (n − 1) уравнений, уравненияF2 (x1 , . . . , xm , y1 , . . . , yn ) = 0; . . . ; Fn (x1 , . . . , xm , y1 , . . . , yn ) = 0(81)определяют единственным образом функцииy2 = ϕ2 (x1 , . . . , xm , y1 ); . . . ; yn = ϕn (x1 , . . . , xm , y1 ).(82)Подставляя эти функции в первое из уравнений системы (78), получим уравнение для определения y1 :F1 (x1 , . .
. , xm , y1 , ϕ2 , . . . , ϕn ) = 0.(83)Нам остается проверить, что полная производная от левой части этого уравнения по y1 отлична от нуля при значениях (79). Эта производная выражаетсяформулойn∂F1∂F1∂F1 ∂ϕs=+·.(84)∂y1∂y1∂ϕs ∂y1s=219]§ 2. Решение систем уравнений91Подставляя функции (82) в левые части уравнений (81), получим тождества,которые дифференцируем по y1 :n ∂Fl ∂ϕs∂Fl+·=0∂y1∂ϕs ∂y1s=2(l = 2, . . . , n).(85)Обозначим через A1 , A2 , . . . , An алгебраические дополнения элементов первогостолбца определителя (80). Умножим (84) на A1 , (85) на Al и вычтем последниетождества из первого. Таким путем мы получим равенство: nn n∂Fl∂Fl∂F1∂ϕsA1=Al +Al.∂y1∂y∂ϕ∂y1s1s=2 l=1l=1В правой части первая сумма дает определитель (80), который мы для краткости обозначим просто буквой D, а суммирование по l во второй части представляет собой сумму произведений элементов некоторого столбца D, с номером,отличным от единицы, на алгебраические дополнения соответствующих элементов первого столбца, т.
е. эта сумма равна нулю. Заметим при этом, чтодифференцирование по ϕs , все равно что дифференцирование по ys . Такимобразом предыдущая формула переписывается в виде∂F1A1= D.∂y1При значениях (79) A1 и D отличны от нуля, и, следовательно, то же можноутверждать и относительно производной левой части уравнения (83) по y1 , иэто уравнение дает единственную функцию y1 (x1 , x2 , . . . , xm ), подставив которую в функции (82), получаем окончательный результат.Частным случаем теоремы о неявных функциях является теорема об обращении системы функций. Пусть имеются уравненияyk = fk (x1 , .
. . , xn )(k = 1, 2, . . . , n).(86)Положим, что функции fk непрерывны вместе со своими производными пер(0)вого порядка в окрестности значений xk = xk (k = 1, 2, . . . , n), и при этихзначениях функциональный определительD(f1 , . . . , fn )D(x1 , . . . , xn )(87)отличен от нуля. При этом уравнения (86) определяют единственным об(0)разом xk (y1 , . . . , yn ), как функции y1 , . .
. , yn в окрестности значений yk =(0)(0)fk (xk , . . . , xn ), причем эти функции непрерывны, имеют производные пер(0)(0)(0)вого порядка и xk (yl , . . . , yn ) = xk .Чтобы доказать эту теорему, достаточно рассмотреть уравнения:fk (x1 , . . . , xn ) − yk = 0(k = 1, 2, . . . , n)и воспользоваться теоремой о неявных функциях, причем в данном случае рольyl играют xk .92Гл.
I. Определители и решение систем уравнений[19Если fk суть линейные однородные функции переменных xk , то система(86) имеет видyk = ak1 x1 + ak2 x2 + . . . + akn xn .Определитель (87) в данном случае сводится к определителю |aki | из коэффициентов aki , и возможность однозначного решения системы дается теоремойКрамера.Г Л А В А IIЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯИ КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ§ 3.
ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ20. Преобразование координат в трехмерном пространстве. Линейным преобразованием с n переменными называетсяпреобразование вида⎫x1 = a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn , ⎪⎪⎪x2 = a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn , ⎬(1)⎪................................. ⎪⎪⎭xn = an1 x1 + an2 x2 + . . .
+ ann xn .Можно толковать это преобразование как переход от некоторого вектора (x1 , . . . , xn ) n-мерного пространства к другому вектору(x1 , . . . , xn ). Можно иначе толковать (x1 , . . . , xn ) как координатыточки в n-мерном пространстве, а преобразование (1) — как переходот одной точки к другой.Можно толковать (1) еще и иначе, а именно: считать, что(x1 , .
. . , xn ) и (x1 , . . . , xn ) суть составляющие одного и того же вектора (координаты одной и той же точки), но при различном выбореосей. Формулы (1) дают при этом формулы преобразования составляющих (координат) при переходе от одной координатной системык другой. Раньше мы неоднократно встречались с формулами вида(1) при n = 2 и n = 3.94Гл. II. Линейные преобразования и квадратичные формы[20Настоящая глава в своей первой части и будет посвященаподробному рассмотрению линейного преобразования вида (1).Для большей ясности мы начнем с рассмотрения вещественноготрехмерного пространства, а затем перейдем к общему случаюn-мерного пространства и комплексных составляющих. В случаетрехмерного пространства мы начнем рассмотрение с того наиболее простого случая, когда преобразованию (1) соответствует переход от одних прямоугольных осей к другим таким же.
Откладывая векторы от начала координат, мы можем считать, очевидно, (x1 , x2 , x3 ) или составляющими вектора, или координатами егоконца.Как известно из аналитической геометрии, формулы преобразования прямолинейных прямоугольных координат имеют вид⎫x1 = a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 ⎪⎬x2 = a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 ,⎪⎭x3 = a31 x1 + a32 x2 + a33 x3(2)где aik суть косинусы углов, образованных новыми осями с прежними; aik определяются по следующей таблице:X1X2X3X1a11a21a31X2a12a22a32X3a13a23a33(3)Как известно, таблица коэффициентов (3) обладает в данномслучае тем свойством, что сумма квадратов элементов каждойстроки и столбца равна единице и сумма произведений соответствующих элементов двух разных строк или разных столбцов равна нулю.
Величина определителя |aik | равна, очевидно [5], объему прямоугольного параллелепипеда с ребрами, равными единицеи направленными по новым координатным осям, т. е. эта величина равна единице, если ориентировки осей одинаковы, и (−1), если они различны.
Преобразование, дающее обратный переход от20]§ 3. Линейные преобразования(x1 , x2 , x3 ) к (x1 , x2 , x3 ), будет, очевидно, иметь вид⎫x1 = a11 x1 + a21 x2 + a31 x3 ,⎪⎬x2 = a12 x1 + a22 x2 + a32 x3 ,⎪⎭x3 = a13 x1 + a23 x2 + a33 x3 .95(21 )Иначе говоря, преобразование, обратное (2), получается простойперестановкой строк и столбцов таблицы его коэффициентов. Определитель этого обратного преобразования, очевидно, равен определителю преобразования (2).Покажем теперь, что упомянутое выше свойство коэффициентов преобразования (2) может быть получено при выполнении одного требования, которое непосредственно вытекает из геометрической сущности вопроса, а именно — поставим себе следующуюзадачу: найти все вещественные преобразования вида (2) такие, чтоx12 + x22 + x32 = x21 + x22 + x23 .(4)Такая постановка задачи дает возможность обобщить рассмотренные нами выше преобразования на случай пространства с любым числом измерений.
Покажем, что наши преобразования, требуемые новой задачей, совпадают с теми, которые нами рассмотреныбыли выше, т. е. покажем, что требование (4) приведет к упомянутым выше соотношениям для коэффициентов aik . Подставляявыражения (2) в левую часть соотношения (4), раскрывая скобкии приравнивая коэффициенты при квадратах переменных единице,а при произведениях различных коэффициентов — нулю, мы получим как раз шесть соотношений видаa1k a1l + a2k a2l + a3k a3l = δkl(k, l = 1, 2, 3),(5)гдеδkl = 0при k = lи δkk = 1,(6)т. е.
сумма квадратов элементов каждого столбца равна единицеи сумма произведений соответствующих элементов разных столбцов равна нулю. Эти условия называются обычно условиями ортогональности по столбцам. Таким образом, элементы каждого96Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
