1610915347-b0cdcab04f9552ce71235da8ebe43143 (824740), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Применение этого метода к численнымпримерам, а также рассмотрение случая, когда наше предположение не имеетместа, можно найти в вышеупомянутой статье акад. А. Н. Крылова.Наиболее простые вычисления получатся, если формулу (50) взять в видеξ = x1 . В этом случае уравнение (53) будет иметь вид110...0 λα11 α12 . .
. α1n 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = 0. nλαn1 αn2 . . . αnnВместо системы (46) рассмотрим систему уравнений второго порядка вида⎫x1 = a11 x1 + a11 x2 + . . . + a1n xn , ⎪⎪⎪x2 = a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn , ⎬(55)................................. ⎪⎪⎪⎭xn = an1 x1 + an2 x2 + . . .
+ ann xn .1 УдобныйметодпреобразованиявековогоуравненияА. Д а н и л е в с к и м (Математический сборник, т. 2, вып. 1).былдан18]§ 2. Решение систем уравнений83Такие системы часто встречаются в механике. Если искать ихрешение в видеxj = bj cos(λt + ϕ),то получим для λ уравнение видаa11 + λ2a12...a1n a21a22 + λ2 . . .a2n . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = 0. an1an2. . . ann + λ2 (56)Постоянные bj определятся из системы, аналогичной системе(48), и ϕ останется произвольным.Наконец, для систем видаx1 = a11 x1 + . . . + a1n xn + c11 x1 + . . .
+ c1n xn ,x2 = a21 x1 + . . . + a2n xn + c21 x1 + . . . + c2n xn ,⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪ ⎭xn = an1 x1 + . . . + ann xn + cn1 x1 + . . . + cnn xn ,.............................................(57)содержащих и первые производные, отыскивая опять решения вформе (47), мы приходим к вековому уравнению видаa11 + c11 λ − λ2 , a12 + c12 λ. . . a1n + c1n λ2a21 + c21 λ,a22 + c22 λ − λ. . .
a2n + c2n λ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = 0.an1 + cn1 λ,an2 + cn2 λ. . . ann + cnn λ − λ2 (58)Вводя добавочные неизвестныеxn+1 = x1 ; xn+2 = x2 ; . . . ; x2n = xn ,(59)мы приведем систему (57) к 2n уравнениям первого порядка, изкоторых n уравнений получатся из (57) заменойxj = xn+jи xj = xn+jа остальные n суть уравнения (59).(j = 1, 2, . . .
, n),84Гл. I. Определители и решение систем уравнений[1818. Функциональные определители. Пусть имеются nфункций от n переменных x1 , x2 , . . . , xn :ϕ1 (x1 , x2 , . . . , xn ); ϕ2 (x1 , x2 , . . . , xn ); . . . ; ϕn (x1 , x2 , . . . , xn ).(60)Функциональным определителем от этих функций по переменным xs называется определитель n-го порядка, элементы которого∂ϕвычисляются по формулам: aik = ∂xkj . Введем специальное обозначение для функционального определителя: ∂ϕ ∂ϕ∂ϕ1 1 1 ∂x1 ∂x2 .
. . ∂xn D(ϕ1 , . . . , ϕn ) ∂ϕ2 ∂ϕ2 . . . ∂ϕ2 ∂xn .(61)= ∂x1 ∂x2 . . . . . . . . . . . . . . . . .D(x1 , . . . , xn ) ∂ϕn ∂ϕn∂ϕn ∂x1 ∂x2 . . . ∂xnМы встречались уже раньше с такими определителями при заменепеременных в кратных интегралах [II, 63 и 80]. Если мы имеемзамену переменных на плоскостиx = ϕ(u, v);y = ψ(u, v),(62)при которой точка (u, v) переходит в точку (x, y), то абсолютноезначение функционального определителяD(ϕ, ψ)D(u, v)(63)дает коэффициент изменения площади в данной точке (u, v) приточечном преобразовании (61), причем мы считаем, что в той области, в которой применяется точечное преобразование (62), частныепроизводные от функций (62) по u и v непрерывны, и определитель(63) в нуль не обращается. Аналогичным образом, если имеется точечное преобразование в трехмерном пространстве:x = ϕ(q1 , q2 , q3 );y = ψ(q1 , q2 , q3 );z = ω(q1 , q2 , q3 ),при котором точка с координатами (q1 , q2 , q3 ) переходит в точку(x, y, z), а объем (V1 ) переходит в объем (V ), то формула замены18]§ 2.
Решение систем уравнений85переменных в тройном интеграле имеет вид [II, 63]:f (x, y, z)dx dy dz =f [ϕ, ψ, ω]|D|dq1 dq2 dq3 ,(V )(V1 )гдеD=D(ϕ, ψ, ω),D(q1 , q2 , q3 )и |D| дает коэффициент изменения объема в данном месте при переходе от (q1 , q2 , q3 ) к (x, y, z).Совершенно так же мы могли бы рассматривать одну функциюот одной независимой переменной u = f (x) как точечное преобразование на оси OX, при котором точка с абсциссой x переходит вновое положение с абсциссой u.
При этом, очевидно, абсолютноезначение производной |f (x)| характеризует изменения линейногоразмера в данном месте. Все сказанное выше распространяется ина случай точечного преобразования в n-мерном пространстве ипри замене переменных в n-кратном интеграле [II, 100].Выясненная на случаях двух и трех измерений аналогия междуфункциональным определителем и производной имеет своим следствием и некоторую аналогию между их формальными свойствами,которую мы сейчас и покажем.Пусть имеется система функцийϕ1 (y1 , .
. . , yn ), . . . , ϕn (y1 , . . . , yn ),и положим, что y1 , . . . , yn не суть независимые переменные, а сами функции от x1 , . . . , xn , так что в конечном счете функции ϕiбудут функциями переменных xi . Мы можем составить три функциональных определителя:D(ϕ1 , . . . , ϕn );D(y1 , . . . , yn )D(ϕ1 , . . . , ϕn );D(x1 , .
. . , xn )D(y1 , . . . , yn ).D(x1 , . . . , xn )Элементы этих функциональных определителей будут соответственно∂ϕi∂ϕi∂yi;;.∂yk∂xk∂xk86Гл. I. Определители и решение систем уравнений[18Но по правилу дифференцирования сложных функций мыимеем:∂ϕi∂ϕi ∂y1∂ϕi ∂yn=·+ ... +·,∂xk∂y1 ∂xk∂yn ∂xkи применяя теорему об умножении определителей по схеме строка на столбец, получим равенство, выражающее первое свойствофункционального определителя:D(ϕ1 , . .
. , ϕn )D(ϕ1 , . . . , ϕn ) D(y1 , . . . , yn )=·.D(x1 , . . . , xn )D(y1 , . . . , yn ) D(x1 , . . . , xn )(64)Это равенство аналогично правилу дифференцирования сложных функций одной независимой переменной.Выясним еще одно свойство функциональных определителей.Систему функций ϕi можно рассматривать как преобразование отпеременных xi к новым переменным ϕi :ϕi = ϕi (x1 , . . . , xn ) (i = 1, 2, . . . , n).(65)Отметим сначала один частный случай, а именно случай такназываемого тождественного преобразования:ϕ1 = x1 ;ϕ2 = x2 ;...;ϕn = xn .Его функциональный определитель будет1 0 0 . . .
00 1 0 . . . 00 0 1 . . . 0 = 1. . . . . . . . . . . . . . . . .0 0 0 . . . 1Представим себе, что уравнения (65) решены относительно xiтак, что xi выражены через ϕi :xi = xi (ϕ1 , . . . , ϕn ) (i = 1, 2, . . . , n).(66)Преобразование (66) естественно назвать обратным преобразованию (65). Если подставить выражения (66) в правые части равенств (65), то получим тождества ϕ1 = ϕ1 ; . . . ; ϕn = ϕn , или,18]§ 2. Решение систем уравнений87иначе говоря, получим тождественное преобразование.
Применимтеперь к этому частному случаю формулу (64), причем нам надобудет считать yi = xi и xi = ϕi , а в левой части формулы (64) мыполучим функциональный определитель тождественного преобразования:D(ϕ1 , . . . , ϕn ) D(x1 , . . . , xn )D(ϕ1 , . .
. , ϕn )=·D(ϕ1 , . . . , ϕn )D(x1 , . . . , xn ) D(ϕ1 , . . . , ϕn )илиD(ϕ1 , . . . , ϕn ) D(x1 , . . . , xn )= 1,(67)D(x1 , . . . , xn ) D(ϕ1 , . . . , ϕn )т. е. произведение функциональных определителей прямого и обратного преобразований равно единице. Это свойство аналогичносвойству производной обратной функции для случая одного независимого переменного.Выясним теперь смысл того условия, что функциональный определительD(ϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕn )D(x1 , x2 , . .
. , xn )(68)от функций ϕ1 (x1 , . . . , xn ); ϕ2 (x1 , . . . , xn ); . . . ; ϕn (x1 , . . . , xn ) по переменнымxs тождественно равен нулю. Положим, что эти функции связаны функциональной зависимостью:F (ϕ1 , . . . , ϕn ) = 0,(69)причем это равенство есть тождество относительно независимых переменныхxj . Дифференцируя его по всем независимым переменным, получим n тождеств:⎫∂F ∂ϕn∂F ∂ϕ1⎪+ ... += 0, ⎪⎪⎪∂ϕ1 ∂x1∂ϕn ∂x1⎪⎬..............................(70)⎪⎪⎪∂F ∂ϕn∂F ∂ϕ1⎪⎪+ ... += 0.⎭∂ϕ1 ∂xn∂ϕn ∂xnМы можем рассматривать написанные тождества как линейные уравненияотносительно n величин:∂F∂F, ...,,∂ϕ1∂ϕnпричем, очевидно, величины эти не могут одновременно равняться нулю тождественно, так как в противном случае F не содержало бы ни одной из функцийϕi .
Таким образом, определитель однородной системы (70) должен равнятьсянулю, что и сводится к тому, что функциональный определитель (68) равен нулю. Итак, из наличия функциональной зависимости (69) вытекает тождественное равенство нулю функционального определителя (68). Можно доказать и обратное предложение, на чем мы останавливаться не будем, т.
е. тождественное88Гл. I. Определители и решение систем уравнений[19равенство нулю функционального определителя (68) является необходимыми достаточным условием зависимости между функциями ϕi (x1 , . . . , xn ).2Рассмотрим в качестве примера три функции от трех независимых переменныхϕ1 = x21 + x22 + x33 ; ϕ2 = x1 + x2 + x3 ; ϕ3 = x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 .(71)Нетрудно проверить, что между ними существует следующая зависимость:ϕ22 − ϕ1 − 2ϕ3 = 0.Составим для системы функций (71) функциональный определитель: 2x12x22x3 D(ϕ1 , ϕ2 , ϕ3 ).111= D(x1 , x2 , x3 ) x2 + x3 x1 + x3 x1 + x2 Предоставляем читателю показать, что этот определитель обращается тождественно в нуль.19.
Неявные функции. Мы доказали в томе I теорему о существованиинеявной функции [1, 15, 7], определяемой одним уравнением. Обобщим теперьэту теорему на случай системы уравнений. Формулируем сначала доказаннуютеорему: пусть x = x0 , y = y0 — решение уравненияF (x, y) = 0,(72)и пусть F (x, y) и ее частные производные первого порядка — непрерывныефункции при x = x0 , y = y0 и при всех значениях x, y, достаточно близкихк ним, и пусть, наконец, частная производная Fy (x, y) отлична от нуля приx = x0 , y = y0 .
При этом уравнение (72) определяет при x, достаточно близкихк x0 , единственную функцию y(x), непрерывную, имеющую производственнуюи удовлетворяющую условию y(x0 ) = y0 . Как мы уже упоминали, совершеннотак же можно доказать, что уравнениеF (x, y, z) = 0,имеющее решение x = x0 , y = y0 , z = z0 , при условии непрерывности функцииF (x, y, z) и ее частных производных первого порядка в окрестности указанныхзначений и при условии Fz (x0 , y0 , z0 ) = 0, определяет единственную функциюz(x, y), непрерывную в окрестности x = x0 , y = y0 , имеющую производные поx и y и удовлетворяющую условию z(x0 , y0 ) = z0 . Рассмотрим теперь системудвух уравнений:ϕ(x, y, z) = 0; ψ(x, y, z) = 0.(73)Пусть эта система имеет решение x = x0 , y = y0 , z = z0 , функции ϕ(x, y, z),ψ(x, y, z) и их частные производные непрерывны в окрестности указанных2 Заметим, что наши рассуждения относительно системы (70) носят формальный характер и не являются, строго говоря, доказательством.19]§ 2.
Решение систем уравненийзначений, и функциональный определитель ∂ϕ∂ϕ ,∂z ∂ϕ ∂ψ∂ϕ ∂ψD(ϕ, ψ) ∂y=−= ∂ψD(y, z)∂y∂z∂z ∂y∂ψ ∂y , ∂z 89(74)отличен от нуля при указанных значениях переменных. При этом система (73) определяет при x, достаточно близких к x0 , единственную системуфункций y(x), z(x), непрерывных, имеющих производные первого порядка иудовлетворяющих условию y(x0 ) = y0 , z(x0 ) = z0 .Так как выражение (74) отлично от нуля при x = x0 , y = y0 , z = z0 , топо крайней мере одна из частных производных ∂ψили ∂ψотлична от нуля.∂y∂zПоложим, например, что ∂ψотлична от нуля при указанных значениях пере∂zменных.
Согласно формулированной выше теореме, второе из уравнений (73)определяет единственным образом функцию z(x, y). Подставляя эту функциюв первое из уравнений системы, получим уравнение с переменными x и y:ϕ[x, y, z(x, y)] = 0.(75)Чтобы доказать теорему, нам остается только показать, что частная производная от левой части уравнения (75) по y отлична от нуля при x = x0 , y = y0 .Эта частная производная выразится формулой∂ϕ∂ϕ ∂z∂ϕ=+·,(76)∂y∂y∂z ∂y где ∂ϕесть полная производная от ϕ(x, y, z) по аргументу y.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
