1610915347-b0cdcab04f9552ce71235da8ebe43143 (824740), страница 14
Текст из файла (страница 14)
. . , x(m) , x) = G(x(1) , x(2) , . . . , x(m) , y)+ (1) (1) (x , x )(x (1) , x (2) ) . . . (x (1) , x (m) )(x (1) , y) (x (2) , x (1) )(x (2) , x (2) ) . . . (x (2) , x (m) )(x (2) , y) + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(x (m) , x (1) ) (x (m) , x (2) ) . . . (x (m) , x (m) ) (x (m) , y)00...0||z||2 (39)Вектор y принадлежит подпространству, определяемому векторами x (1) , x (2) ,. . . , x (m) , т. е. линейно выражается через x (s) , и потому, в силу доказаннойтеоремы:G(x (1) , x (2) , . .
. , x (m) , y) = 0.Разлагая определитель формулы (39) по элементам последней строки, мыи получаем формулу (38).Из этой формулы непосредственно следует неравенствоG(x (1) , x (2) , . . . , x (m) , x ) ||x ||2 G(x (1) , x (2) , . . . , x (m) ).Отметим, что если векторыx (s)(40)линейно зависимы, тоG(x (1) , x (2) , . . . , x (m) , x ) = G(x (1) , x (2) , .
. . , x (m) ) = 0.Если x (s) — линейно независимы, то в неравенстве (40) имеет место знакравенства в том и только в том случае, когда y = 0, т. е. когда x ортогоналенко всем x (s) .78Гл. I. Определители и решение систем уравнений[16Если мы к исходному определителю Грамма G(x (1) , x (2) , .
. . , x (m) ) применим несколько раз неравенство (40), то получим для него следующую оценку:G(x (1) , x (2) , . . . , x (m) ) ||x (1) ||2 ||x (2) ||2 . . . ||x (m) ||2 .(41)При этом надо иметь в виду, что G(x (1) ) = ||x (1) ||2 .Знак равенства в (41) имеет место в том и только в том случае, когдавекторы попарно ортогональны. Считается при этом, что ни один из векторов не есть нулевой вектор.
Доказанное неравенство легко приводит к оценкелюбого определителя. Пусть Δ — определитель порядка n с элементами aik . Будем рассматривать элементы i-й строки этого определителя (ai1 , a(i2) , . . . , ain )как составляющие некоторого вектора x (i) из Rn . Составим новый определитель с элементами aik — сопряженными с aik . Он равен, очевидно, Δ. Умножая Δ на Δ по правилу строка на строку, получим определитель ГраммаG(x (1) , x (2) , .
. . , x (n) ), величина которого, в силу теоремы об умножении определителей, равна ΔΔ, т. е. равна |Δ|2 . Применяя неравенство (41), получимследующую оценку для модуля определителя, принадлежащую Адамару:|Δ|2 nn|a1k |2 ·k=1|a2k |2 . . .k=1n|ank |2 .(42)k=1Если определитель Δ имеет вещественные элементы, то можем написать:Δ2 nk=1a21k ·nk=1a22k . . .na2nk .(43)k=1Если для элементов определителя Δ имеет место оценка |aik | M (i, k =1, 2, .
. . , n), то, очевидно:n|aik |2 nM 2 ,k=1и (42) дает оценку:n|Δ| n 2 M n .(44)Знак равенства в (42) имеет место, в силу сказанного выше, в том и тольков том случае, когда векторы x(i) попарно ортогональны.Можем получить и другие оценки для определителя Грамма. Они основываются на неравенстве, которое является обобщением неравенства (40).Пусть каждая из букв X, Y, Z обозначает последовательность некоторыхвекторов из Rn . Неравенство, о котором мы упоминали, имеет видG(X, Y, Z)G(X) G(X, Z)G(X, Y ).(45)В этом неравенстве не исключен случай пустой последовательности векторов, т.
е. такой последовательности, которая не содержит ни одного вектора.Если W — такая последовательность, то надо считать G(W ) = 1.17]§ 2. Решение систем уравнений79На основе этого неравенства может быть получена следующая оценка определителя Грамма: m 1m−1G(x (1) , x (2) , . . . , x (m) ) G(x (1) , x (k−1) , x (k+1) , . . .
, x(m) ),k=1где— знак произведения. Многократное применение этой оценки приводитк новым оценкам, в которых определитель Грамма содержит меньшее числовекторов. Во всех этих оценках знак равенства имеет место в том и только втом случае, когда векторы попарно ортогональны. Указанные только что оценки определителя Грамма даны М. К. Ф а г е (Доклады Академии наук СССР,1946 г., т. LIV, № 9).17. Системы линейных дифференциальных уравнений спостоянными коэффициентами. Применим полученные результаты к задаче интегрирования систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Напишем такуюсистему в виде⎫x1 = a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn , ⎪⎪⎪x2 = a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn , ⎬(46)................................. ⎪⎪⎪⎭xn = an1 x1 + an2 x2 + . . . + ann xn ,где xj — искомые функции от t, xj — их производные и aik — заданные постоянные. Будем искать решение в видеx1 = b1 eλt ;x2 = b2 eλt ;...;xn = beλtn .(47)Подставляя в систему (46) и сокращая на множитель eλt , будемиметь для определения постоянных b1 , .
. . , bn систему уравнений⎫(a11 − λ)b1 + a12 b2 + . . . + a1n bn = 0, ⎪⎪⎪a21 b1 + (a22 − λ)b2 + . . . + a2n bn = 0, ⎬(48).................................... ⎪⎪⎪⎭an1 b1 + an2 b2 + . . . + (ann − λ)bn = 0.Так как для неизвестных bj мы должны получить решение, отличное от нулевого, определитель написанной системы должен рав-80Гл. I.
Определители и решение систем уравнений[17няться нулю, т. е. для постоянной λ мы получаем уравнение видаa11 − λa12...a1n a21a22 − λ . . .a2n (49). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = 0. an1an2. . . ann − λУравнение такого вида называется обычно вековым уравнением. Оно хорошо известно при рассмотрении колебаний механических систем без сопротивления в частном случае, когда таблицакоэффициентов aik симметрична, т. е. когда aik = aki , и все коэффициенты вещественны, о чем мы будем говорить дальше прирассмотрении малых колебаний. Сейчас мы займемся исследованием системы в общем случае.
Уравнение (49) есть алгебраическоеуравнение степени n со старшим членом (−λ)n . Если это уравнениеимеет n различных корнейλ = λ1 , . . . , λ = λn ,то, подставляя каждый из них λ = λj в коэффициенты системы(48), мы будем иметь n однородных уравнений для соответствующих неизвестных b1 , . . . , bn с определителем, равным нулю, исможем получить для этих неизвестных решение, отличное от нулевого.
Таким образом, по формулам (47) мы получим n линейнонезависимых решений нашей системы (46), и их линейная комбинация даст общий интеграл системы. Если же вековое уравнение (49)имеет кратные корни, то решение задачи будет более сложным, аименно — каждому корню уравнения (49) кратности k должны соответствовать k линейно независимых решений системы (46), причем одно из этих решений будет, наверно, иметь вид (47), а остальные будут, вообще говоря, содержать еще множителем полином отt.
Но в данном случае в отличие от одного уравнения с постояннымикоэффициентами [II, 39] может случиться, что не одно, а несколько решений (или даже все), соответствующих упомянутому кратному корню, будут иметь вид (47). Мы не будем более подробноостанавливаться на исследовании этого обстоятельства, так как вдальнейшем, пользуясь теорией функций комплексного переменного, применим для решения системы (46) другой метод.17]§ 2. Решение систем уравнений81Вернемся к рассмотрению векового уравнения (49), которое играет основную роль в нашей задаче.
Решение этого уравнения, хотя бы и приближенное,представляет при больших n практические трудности, вызванные тем обстоятельством, что искомое неизвестное λ стоит не в каком-нибудь одном столбцеили строке, а входит в диагональные члены. Разложение левой части этогоуравнения по степеням λ требует больших вычислений, которые нами указанывыше в [4]. Укажем прием преобразования уравнения (49) к практически болееудобному виду, при котором неизвестное λ попадает в один столбец. Прием этотпринадлежит акад.
А. Н. Крылову и изложен им в работе «О численном решении уравнения, которым в технических вопросах определяются частоты малыхколебаний материальных систем» (Известия Академии наук СССР, 1931 г.).Составим линейную комбинацию искомых величинξ = α01 x1 + α02 x2 + .
. . + α0n xn ,(50)где α0j — взятые каким-нибудь образом численные коэффициенты. Будем дифференцировать уравнение (50) n раз по t, заменяя каждый раз в правой частипроизводные xj их выражениями из системы (46). Мы получим таким образом(n + 1) уравнений вида⎫+ α02 x2+ . . . + α0n xnξ = α01 x1⎪⎪⎪⎪⎪ξ = α11 x1+ α12 x2+ . . . + α1n xn⎪⎬...............................................(51)⎪⎪⎪ξ (n−1) = αn−1,1 x1 + αn−1,2 x2 + . . .
+ αn−1,n xn ⎪⎪⎪⎭ξ (n) = αn1 x1+ αn2 x2+ . . . + αnn xnПоложим, что определитель, составленный из коэффициентов αik , входящих впервые n уравнений, отличен от нуля. При этом первые n уравнений дадут намвыражение xj через ξ, ξ , . . . , ξ (n−1) , и, подставляя их в последнее уравнение,будем иметь уравнение n-го порядка для ξ. Можно непосредственно произвести это исключение xj из (n + 1) уравнений (51) при помощи определителей.Действительно, перепишем эти уравнения следующим образом:ξx0 + α01 x1 + α02 x2 + .
. . + α0n xn = 0,ξ x0 + α11 x1 + α12 x2 + . . . + α1n xn = 0,..........................................ξ (n) x0 + αn1 x1 + αn2 x2 + . . . + αnn xn = 0,где x0 = −1, и будем рассматривать эти (n + 1) уравнений как однородныеуравнения относительно величин x0 , x1 , . . . , xn .Определитель написанной системы должен равняться нулю, что и дает намискомый результат исключения: ξα01 α02 .
. . α0n ξα11 α12 . . . α1n (52). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = 0.ξ (n) αn1 αn2 . . . αnn 82Гл. I. Определители и решение систем уравнений[17Будем искать решение этого уравнения в видеξ = eλt .Подставляя это в первый столбец определителя (52) и вынося из первогостолбца за знак определителя множитель eλt , мы придем, сокращая на этотмножитель, к следующему уравнению для определения λ:1α01 α02 . . . α0n λα11 α12 . . .
α1n (53) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = 0. nλαn1 αn2 . . . αnn Нетрудно показать, что при нашем предположении уравнение (53) имеет теже корни, что и уравнение (49). Действительно, пусть λ = λ0 есть некоторыйкорень уравнения (53). Мы имеем при этом для (52) решение видаξ = Ceλ0 t ,(54)где C — произвольная постоянная.
При этом первые n уравнений системы (51)дадут нам и для xj решения вида (47) при λ = λ0 , т. е. λ = λ0 будет и корнемуравнения (49). Наоборот, если λ = λ0 есть корень уравнения (49), то мы имеемдля xj решение вида (47) при λ = λ0 , где bj — численные постоянные, средикоторых есть отличные от нуля. Подставляя эти выражения xj в первое изуравнений системы (51), мы получим и для ξ решение вида (54), причем эторешение будет, наверно, отлично от нуля.
Действительно, в противном случаемы имели бы ξ = ξ = . . . = ξ (n−1) = 0, откуда, в силу первых n уравненийсистемы (51), непосредственно следовало бы x1 = x2 = . . . = xn = 0.Таким образом, действительно всякий корень λ = λ0 уравнения (49) будет икорнем уравнения (53). Итак, при нашем предположении уравнение (53) имеетте же корни, что и уравнение (49).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
