1610915347-b0cdcab04f9552ce71235da8ebe43143 (824740), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Еслиm = n, т. е. если число форм равно числу переменных, то для линейной независимости необходимо и достаточно, чтобы определитель из всей квадратной (m = n) таблицы apq был отличен отнуля. В этом случае говорят, что имеется полная система линейнонезависимых форм. Если m n и формы (17) линейно независимы(т. е. если k = m), то при любых значениях ys система уравнений(17) разрешима относительно тех переменных xl , коэффициентыпри которых образуют определитель порядка k, отличный от нуля,т. е.
линейно независимые формы могут принимать любую совокупность значений ys . Если k = m = n, то при заданных ys определятся все переменные xl .Положим теперь, что k < m. Соответственно нумеруя формы ysи переменные xl , можем считать, что в таблице apq в левом верх-11]§ 2. Решение систем уравнений57нем углу стоит определитель порядка k, отличный от нуля.
Приэтом первые k форм: y1 , y2 , . . . , yk линейно независимы, а каждаяиз остальных форм yk+t выражается линейно через первые k форм.Действительно, для первых k форм ранг таблицы коэффициентов,равный k, совпадает с числом форм, а потому формы линейно независимы. Если мы возьмем (k+1) форму y1 , y2 , . . . , yk , yk+t , то рангих таблицы коэффициентов, равный тоже k, меньше числа форм,так что формы линейно зависимы, т.
е. существуют постоянные βsтакие, что β1 y1 + . . . + βk yk + βk+1 yk+1 = 0. В этом соотношениикоэффициент βk+1 должен быть отличным от нуля, так как иначе формы y1 , y2 , . . . , yk оказались бы линейно зависимыми, и мыполучаем линейное выражение yk+1 через первые k форм:yk+1 = −β1β2βky1 −y2 − . . . −yk .βk+1βk+1βk+1Число k мы назовем рангом системы форм (17). Это число, равное рангу таблицы коэффициентов, с другой стороны — равное наибольшему числу линейно независимых форм из системы форм (17).Положим, мы имеем k линейно независимых форм: y1 , y2 , .
. . ,yk , где k < n. Можно считать, что определитель порядка k, стоящий в верхнем левом углу таблицы apq , отличен от нуля. Нетрудновидеть, что можно дополнить систему этих k форм до полной системы n линейно независимых форм. Действительно, достаточнодля этого положить, например:yk+1 = xk+1 ; . . .
; yn = xn .Определитель полученных k форм будет:a11 a12 . . . a1k a1 , k+1 . . . a1n a21 a22 . . . a2k a2 , k+1 . . . a2n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .ak1 ak2 . . . akk ak , k+1 . . . akn . 00 ... 01 0 ...0 00 ... 00 1 ...0 . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 00 ... 00 0 ...1 58Гл. I. Определители и решение систем уравнений[12Разлагая этот определитель, начиная с элементов последней строки, потом по элементам предпоследней строки и т. д., видим, чтоего величина равна определителю порядка k, стоящему в левом верхнем углу, т.
е. отлична от нуля. Следовательно, формыy1 , y2 , . . . , yn , действительно, линейно независимы. Итак, всякуюсистему линейно независимых форм можно дополнить до полнойсистемы линейно независимых форм.12. n-мерное векторное пространство. Мы дадим полученным выше результатам геометрическую формулировку, которой будем пользоваться в дальнейшем. Для этого введем понятия о векторе в n-мерном пространстве, а именно назовем таким векторомсовокупность n чисел (комплексных), идущих в определенном порядке. Таким образом, всякий такой вектор x характеризуетсяпоследовательностью n комплексных чисел, которые называютсясоставляющими этого вектора: x(x1 , x2 , .
. . , xn ). Совокупностьвсех таких векторов образует n-мерное векторное пространство Rn .Два вектора считаются равными тогда и только тогда, когда все их составляющие одинаковы, т. е. если имеются два вектора u(u1 , u2 , . . . , un ) и v (v1 , v2 , . . . , vn ), то векторное равенствоu = v равносильно следующим n скалярным равенствам: u1 = v1 ;u2 = v2 ; . . . ; un = vn .
Определим операцию — умножение векторана число и сложение векторов. По определению, умножение вектора на число сводится к умножению всех составляющих вектора наэто число, т. е. если вектор x имеет составляющие (x1 , x2 , . . . , xn ),то вектор kx имеет составляющие (kx1 , kx2 , . . . , kxn ). Сложениевекторов сводится к сложению составляющих, т. е. если имеютсявекторы x (x1 , x2 , . .
. , xn ) и y (y1 , y2 , . . . , yn ), то, по определению,сумма x + y имеет составляющие (x1 + y1 , x2 + y2 , . . . , xn + yn ).Нулевым вектором называется вектор (0, 0, . . . , 0), у которого всесоставляющие равны нулю. Обозначим этот вектор символом θ. Мыимеем, очевидно, θ = 0x , где x — любой вектор, и x + θ = x . Вычитание векторов определяется так: вектор x −y имеет составляющие(x1 − y1 , x2 − y2 , . .
. , xn − yn ). Мы имеем, очевидно, x − x = θ иx − y = x + (−1)y , т. е. вычитание вектора y равносильно сложению с вектором y , умноженным на число (−1). В дальнейшем12]§ 2. Решение систем уравнений59нам придется часто писать векторные равенства. Всякое такое равенство равносильно n скалярным равенствам, выражающим тотфакт, что соответствующие составляющие обеих частей равенстваодинаковы. В дальнейшем мы не будем пользоваться символом θдля нулевого вектора, но надо помнить, что если в векторном равенстве с одной стороны стоит нуль, то этот нуль надо пониматькак нулевой вектор.
Из данных выше определений непосредственновытекают обычные свойства сложения и умножения:x + y = y + x;x + (y + z ) = (x + y ) + z ;(k1 + k2 )x = k1 x + k2 x ; k(x + y ) = kx + ky ;k1 (k2 x ) = (k1 k2 )x .В сумме векторов с любым числом слагаемых можно, таким образом, переставлять слагаемые и заключать их в группы. Из равенства x + y = z следует x = z – y и y = z – x и, наоборот, из x – y = zследует x =y – z .Введем теперь понятие о линейной зависимости и независимостивекторов. Векторыx (1) , x (2) , .
. . , x (l)(18)будем называть линейно зависимыми, если существуют такие постоянные C1 , . . . , Cl ; не все равные нулю, чтоC1 x (1) + C2 x (2) + . . . + Cl x (l) = 0.(19)Если таких постоянных не существует, то будем называтьвекторы (18) линейно независимыми. Обозначим составляющие(j)(j)(j)векторов x (j) через (x1 , x2 , . . .
, xn ). Условие (19), очевидно, равносильно системе n уравнений с неизвестными C1 , C2 ,. . . , Cl :⎫(1)(2)(l)x1 C1 + x1 C2 + . . . + x1 Cl = 0,⎪⎪⎪⎪⎬(1)(2)(l)x2 C1 + x2 C2 + . . . + x2 Cl = 0,⎪................................. ⎪⎪⎪⎭(1)(2)(l)xn C1 + xn C2 + . . . + xn Cl = 0.(20)60Гл. I. Определители и решение систем уравнений[12Пользуясь полученными выше результатами для однородной системы, нетрудно вывести из них ряд следствий и придать этим результатам геометрическую формулировку. Положим сначала, чтоl > n, т. е. число векторов больше числа измерений пространства.При этом в однородной системе (20) число уравнений будет меньше числа неизвестных, и эта система, как мы знаем, наверно, будетиметь для неизвестных Cj решения, отличные от нулевого, т.
е. наши векторы будут, наверно, линейно зависимыми. Иначе говоря,число линейно независимых векторов, самое большее, равно числуизмерений пространства. Рассмотрим теперь случай l = n. Приэтом система (20) будет содержать одинаковое число уравненийи неизвестных и будет иметь решения, отличные от нулевого, тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю, т. е.
еслив n-мерном пространстве мы имеем n векторов, и составим из n2составляющих этих векторов определитель, помещая, например, составляющие каждого вектора в определенном столбце и считая номер строки совпадающим с номером составляющей, то для линейной независимости векторов необходимо и достаточно, чтобы этотопределитель был отличен от нуля.
Величина этого определителяимеет аналог с объемом параллелепипеда в вещественном трехмерном пространстве.Мы можем в любом определителе |bik | порядка n рассматривать элементы каждого столбца (b1k , b2k , bnk ) как составляющиенекоторого вектора b (k) , и при этом величина определителя будетфункцией n векторов b (1) , . . . , b (n) . Равенство нулю этого определителя будет равносильно тому факту, что эти векторы линейнозависимы.Обозначим величину определителя как функцию векторов b (k)через|bik | = Δ(b (1) , b (2) , .
. . , b (n) ).Вспоминая, что при перестановке двух столбцов величина определителя меняет знак, мы можем утверждать, что функция Δ изменит лишь знак, если поменять местами ее два аргумента. Такаяфункция называется обычно антисимметрической. Нетрудно видеть, например, что определитель Вандермонда Dn , который мы12]§ 2. Решение систем уравнений61рассматривали в [5], есть также антисимметрическая функция своих аргументов x1 , . . . , xn .Вернемся к рассмотрению системы (20) и к вопросу о линейнойнезависимости векторов x (1) , .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
