1610915347-b0cdcab04f9552ce71235da8ebe43143 (824740), страница 7
Текст из файла (страница 7)
. . a1n a21 a22 . . . a2n [s1 ,s2 ,...,sn ]bs1 1 bs2 2 . . . bsn n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . · (−1)an1 an2 . . . ann и, следовательно, возвращаясь к сумме (38), получим:|cik |n1 = Δ(−1)[s1 ,s2 ,...,sn ] bs1 1 bs2 2 . . . bsn n ,(s1 ,s2 ,...,sn )где суммирование распространяется на все перестановки s1 , s2 , . . . ,sn из чисел 1, 2, . . .
, n. Написанная сумма есть определитель Δ1 ,т. е. |cik |n1 = ΔΔ1 , что и требовалось доказать. Формула (37) дляcik сводится к следующему: элементы i-й строки определителя Δумножаются на соответствующие элементы k-го столбца второгоопределителя, и эти произведения складываются. Мы знаем, чтов определителе можно заменить строки столбцами, не меняя еговеличины.
Следовательно, предыдущее правило умножения строкина столбец можно заменить тремя другими правилами: строка настроку, столбец на столбец и столбец на строку.Формулируем окончательно теорему: пусть имеются два определителя n-го порядка:|aik | и |bik |.6]§ 1. Определитель и его свойства39Составляем новый определитель|cik |,элементы которого вычисляются по одной из следующих формул:cik =nais bsk ,(401 )ais bks ,(402 )asi bsk ,(403 )s=1cik =ns=1cik =ns=1cik =nasi bks(i, k = 1, 2, . . .
, n).(404 )s=1При этом величина определителя |cik | равна произведениюопределителей |aik | и |bik |.П р и м е р. Наряду с основным определителемΔ = |aik |рассмотрим определитель, составленный из алгебраических дополнений его элементов|Aik |.Согласно приведенной выше теореме, выразим произведение|aik | · |Aik | также в виде определителя, умножая строку на строку. Мы будем иметь для этого определителя следующие элементы:cik =nais Aks .s=1В силу свойства V определителя мы получим:cik = 0 при i = k;cii = Δ,40т.
е.Гл. I. Определители и решение систем уравнений[7Δ 0 0 . . . 0 0 Δ 0 . . . 0 |aik | · |Aik | = 0 0 Δ . . . 0. . . . . . . . . . .0 0 0 . . . Δили|aik |n1 |Aik |n1 = Δn ,т. е. Δ|Aik |n1 = Δn .Считая Δ отличным от нуля и сокращая на него, будем иметь:|Aik |n1 = Δn−1 .(41)(0)aikЕсли элементы aik =таковы, что определитель Δ равен нулю,(0)то можно указать такие значения aik , сколь угодно близкие aik ,при которых определитель Δ отличен от нуля. Для этих значений(0)aik будем иметь формулу (41), а потому в пределе при aik → aik(0)эта формула будет иметь место и при aik = aik , т. е.
эта формула имеет место и при Δ = 0. Если выразить Δ и Aik черезэлементы aik , то она представляет собой тождество относительно aik .7. Прямоугольные таблицы. В дальнейшем мы будем встречаться и с такими таблицами чисел, в которых число строк и столбцов может быть и неодинаково. Рассмотрим такую более общуютаблицу: a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n (42). . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .am1 am2 . . . amn Она содержит m строк и n столбцов, причем числа m и n могут быть или различны, или равны. Вычеркивая из этой таблицынекоторые строки и столбцы так, чтобы число оставшихся строк истолбцов было одинаково, мы сможем из оставшихся строк и столбцов составить определитель. Такие определители назовем определителями, входящими в состав таблицы (42). Наивысший порядок,7]§ 1. Определитель и его свойства41который они могут иметь, равен, очевидно, наименьшему из двухчисел m и n, а наименьший порядок этих определителей равен единице, причем определители первого порядка суть сами элементытаблицы (42).
Положим, что все определители некоторого порядка l, входящие в таблицу, равны нулю. Нетрудно видеть, что тогда и все определители порядка (l + 1), входящие в таблицу, такжеравны нулю. Действительно, всякий такой определитель порядка(l + 1) можно представить в виде суммы произведений элементовего некоторой строки на алгебраические дополнения этих элементов.
Но последние с точностью до знака совпадают с некоторымиопределителями порядка l таблицы и, следовательно, все равны нулю. Раз все определители порядка (l + 1) равны нулю, то так же,как и выше, все определители порядка (l + 2) также будут равны нулю и т. д. Итак, если все определители некоторого определенного порядка, входящие в таблицу (42), равны нулю, то и всеопределители более высокого порядка этой таблицы также равнынулю.Введем важное для дальнейшего понятие о ранге таблицы, или,как говорят, матрицы (42).
Рангом матрицы (42) называется наивысший порядок определителя этой таблицы, отличного от нуля,т. е. если ранг таблицы есть k, то среди определителей порядка k,входящих в эту таблицу, есть по крайней мере один, отличный отнуля, но все определители таблицы порядка (k + 1) равны нулю.Пусть наряду с таблицей (42) имеется таблица b11 b12 . . . b1m b21 b22 . . .
b2m (43) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,bn1 bn2 . . . bnm содержащая n строк и m столбцов. Образуем m2 чиселcik =nais bsk(i, k = 1, 2, . . . , m).(44)s=1Квадратная таблица, составленная из чисел cik , называется обычнопроизведением прямоугольных таблиц (42) и (43).42Гл.
I. Определители и решение систем уравнений[7Докажем теорему, которая является обобщением теоремы обумножении определителей.Т е о р е м а. Если m n, то r1 r2 . . . rm1 2 ... mm,|cik |1 =BAr1 r2 . . . rm1 2 ... mr1 <r2 <...<rm(45)где суммирование распространяется на все значения rk из ряда,чисел 1, 2, . . ., n, удовлетворяющие указанному неравенству. Еслиже m > n, то определитель |cik |m1 равен нулю.Смысл символов1 2 ... mr1 r2 . . . rmAи Br1 r2 . .
. rm1 2 ... mуказан в [3]. Второй из них обозначает определитель, составленныйиз элементов таблицы (43), принадлежащих строкам r1 , r2 , . . . , rmи столбцам 1, 2, . . . , m. При m = n сумма, входящая в формулу(45), содержит лишь одно слагаемое, соответствующее r1 = 1, r2 =2, . . . , rm = m, и формула (45) выражает теорему об умноженииопределителей.Рассмотрим случай m < n. Доказательство формулы (45) будетаналогично доказательству теоремы об умножении определителей.Как и при этом доказательстве, мы имеем:1 2 ... m|cik |mb b . . . bsm m ,=A(46)1s1 s2 . . .
sm s1 1 s2 2(s1 ,...,sm )причем каждое из чисел sk может принимать значения 1, 2, . . . , n,и можно отбросить те слагаемые, у которых среди чисел sk естьравные, так как эти слагаемые равны нулю. Возьмем какую-либоопределенную последовательность чисел r1 < r2 < . . . < rm из рядачисел 1, 2, . . . , n и выделим из суммы (45) те слагаемые, у которыхсовокупность чисел s1 , s2 , .
. . , sm совпадает с совокупностью чиселr1 , r2 , . . . , rm . Мы получим таким образом часть суммы (46):1 2 ... mb b . . . btm m ,A(47)t1 t2 . . . tm t1 1 t2 2(t1 ,t2 ,...,tm )7]§ 1. Определитель и его свойства43где сумма распространяется на всевозможные перестановки(t1 , t2 , . . . , tm ) из чисел r1 , r2 , . . .
, rm . Умножая каждое слагаемоесуммы (47) дважды на (−1)[t1 ,t2 ,...,tm ] , мы докажем совершенно также, как и в [6], что эта сумма равна1Ar1 ... mrB 1. . . rm12r2r22. . . rm.... mЧтобы получить всю сумму, входящую в формулу (46), достаточнопросуммировать это произведение по всем r1 < r2 < . . . < rm , чтои дает формулу (45). Положим, наконец, что m > n. Мы можемпри этом добавить к таблице (42) (m − n) столбцов, состоящих изнулей, а к таблице (43) — (m − n) строк, состоящих из нулей. Еслипосле такого добавления мы будем вычислять cik не по формулам(44), а по формуламcik =m(i, k = 1, 2, . .
. , m),ais bsk(48)s=1то получим прежние значения cik , так как добавленные слагаемые вправой части (48) равны нулю. С другой стороны, после указанногодобавления таблицы (42) и (43) превратились в квадратные таблицы, которым соответствуют определители, равные нулю, а потому, согласно теореме об умножении определителей, и определитель|cik |m1 равен нулю, и теорема полностью доказана.З а м е ч а н и е. Если две прямоугольные таблицы имеют каждаяm строк и n столбцов, то, умножая строка на строку:cik =n(i, k = 1, 2, . . . , m),ais bkss=1получим определитель |cik |m1 , величина которого равна нулю приm > n, а при m n выражается формулой|cik |m1=r1 <r2 <...<rm1Ar12r2 1... mBr1.
. . rm2r2... m.. . . rm44Гл. I. Определители и решение систем уравнений[8С л е д с т в и е. Пусть имеются две квадратные таблицы порядка n, составленные из элементов aik и bik , а числа cik опредеp 1 p2 . . . plляются формулами (44). Выразим любой минор Cq1 q2 . . . qlопределителя |cik |n1 через миноры определителей |aik |n1 и |bik |n1 .Нетрудновидеть, что квадратная таблица, которая образует минорp1 p2 . . .
plC, является произведением прямоугольных таблиц:q1 q2 . . . ql ap1 1 ap1 2 . . . ap1 n b1q1 b1q2 . . . b1ql ap2 1 ap2 2 . . . ap2 n b2q1 b2q2 . . . b2ql и. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . apl 1 apl 2 . . . apl n bnq1 bnq2 . . . bnql Применяя доказанную теорему, мы и получим искомое выражение: p p . . . plr r . . . rlp p . . . plC 1 2=B 1 2,A 1 2q1 q2 . . . qlr1 r2 . . . rlq1 q2 . . . qlr1 <r2 <...<rl(49)где rk принимают значения из ряда 1, 2, . .
. , n. Пусть RA , RB , RC —ранги таблиц ||aik ||n1 , ||bik ||n1 и ||cik ||n1 . Если, например, RA < n и вp p . . . plформуле (49) мы возьмем любое l > RA , то все A 1 2r1 r2 . . . rl,равнынулю,апотомуи всебудут,всилуопределенияRAp1 p2 . . . plCравны нулю. Отсюда следует, что RC < l, т. е.q1 q2 . . . qlRC RA . Если ранг таблицы ||aik ||n1 равен n, то, очевидно, RC RA , ибо RC n. Совершенно аналогично RC RB . В дальнейшеммы покажем, что если определитель |bik |n1 = 0, то RC = RA , а если|aik |n1 = 0, то RC = RB .§ 2. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ8. Теорема Крамера. Установив понятие об определителе ивыяснив его основные свойства, мы переходим теперь к применению этого понятия к решению систем уравнений первой степени.8]§ 2. Решение систем уравнений45Рассмотрим сначала основной случай, когда число уравнений совпадает с числом неизвестных.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
