1610915347-b0cdcab04f9552ce71235da8ebe43143 (824740), страница 2
Текст из файла (страница 2)
К. Фаддеев. Впоследнем томе курса впервые в советской математике было дано изложение функционального анализа. Часть разделов, связанных с функциональным анализом, была доработана после смертиВ. И. Смирнова академиком О. А. Ладыженской.Несколько слов надо сказать о личности Владимира Ивановича.Он был очень скромным, открытым человеком, никогда не требовавшим от университетского начальства ни отдельного кабинета,ни личной секретарши. Однако он был тверд и решителен, когдавыступал в защиту гонимых по тем или иным причинам математиков, когда отстаивал научные принципы университетского образования. Ту же О. А. Ладыженскую он неоднократно спасал от административного произвола, сохранив для математики выдающегосяученого.
Авторитет Владимира Ивановича как в Ленинградскомматематическом сообществе, так и в мировой науке был чрезвычайно высок.До сих пор курс В. И. Смирнова используется как основное учебное пособие на физическом факультете Санкт-Петербургского государственного университета. На младших курсах одним из лекторовпо высшей математике была Е. А. Гринина, которая и подготовиладанное переиздание к печати.академик РАН Л.
Д. ФаддеевОбщая цель сделанных комментариев состоит в том, чтобыупростить современному студенту использование данной книги икак единого учебного пособия, и как справочного материала приработе с другими изданиями. Мною отмечена устаревшая терминология, даны замечания по поводу опущенных вычислений. Такжесделаны некоторые замечания, связанные с методикой изложения8Предисловиематериала, отличающейся от принятой в большинстве современныхлекционных курсов. В ходе работы были исправлены опечатки, допущенные в предыдущем издании.канд. физ.-мат. наук Е. А. ГрининаГЛАВА IОПРЕДЕЛИТЕЛИ И РЕШЕНИЕ СИСТЕМУРАВНЕНИЙ§ 1.
ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ И ЕГО СВОЙСТВА1. Понятие об определителе. Мы начнем настоящий параграф с решения простой алгебраической задачи, а именно задачио решении систем уравнений первой степени. Рассмотрение этойзадачи приведет нас к важному понятию об определителе.Начнем с рассмотрения наиболее простых частных случаев.Возьмем сначала систему двух уравнений с двумя неизвестными:a11 x1 + a12 x2 = b1 ,a21 x1 + a22 x2 = b2 .Коэффициенты при неизвестных aik снабжены двумя значками,первый из которых указывает, в каком уравнении находится этоткоэффициент, а второй значок указывает, при каком из неизвестных он стоит.Решение написанной системы, как известно, имеет видx1 =b1 a22 − a12 b2;a11 a22 − a12 a21x2 =a11 b2 − b1 a21.a11 a22 − a12 a21Возьмем теперь три уравнения с тремя неизвестными:a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1 ,a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2 ,10Гл. I.
Определители и решение систем уравнений[1a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 = b3 ,причем мы пользуемся прежними обозначениями для коэффициентов. Перепишем первые два уравнения в видеa11 x1 + a12 x2 = b1 − a13 x3 ,a21 x1 + a22 x2 = b2 − a23 x3 .Решая их относительно неизвестных x1 и x2 по предыдущимформулам, будем иметь(b1 − a13 x3 )a22 − a12 (b2 − a23 x3 );a11 a22 − a12 a21a11 (b2 − a23 x3 ) − (b1 − a13 x3 )a21x2 =.a11 a22 − a12 a21x1 =Подставляя эти выражения в последнее уравнение системы, получим уравнение для определения неизвестного x3 и, наконец, решая это уравнение, будем иметь окончательное выражение для этого неизвестного:x3 =a11 a22 b3 +a12 b2 a31 +b1 a21 a32 −a11 b2 a32 −a12 a21 b3 −b1 a22 a31.=a11 a22 a33 +a12 a23 a31 +a13 a21 a32 −a11 a23 a32 −a12 a21 a33 −a13 a22 a31(1)Рассмотрим подробно конструкцию этого выражения. Заметимпрежде всего, что его числитель может быть получен из знаменателя простой заменой коэффициентов ai3 при определяемом неизвестном свободными членами bi .
Таким образом, остается выяснитьзакон образования знаменателя, который не содержит уже свободных членов и составлен исключительно из коэффициентов нашейсистемы. Запишем эти коэффициенты в виде квадратной таблицы,сохраняя тот порядок, в котором они стоят в самой системе a11 a12 a13 a21 a22 a23 .(2) a31 a32 a33 Написанная таблица содержит три строки и три столбца.
Числаaik называются ее элементами. Первый из значков показывает, в1]§ 1. Определитель и его свойства11какой строке стоит этот элемент, а второй значок указывает номерстолбца. Выпишем теперь знаменатель выражения (1):a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 − a11 a23 a32 − a12 a21 a33 − a13 a22 a31 .(3)Как мы видим, он состоит из шести членов, и каждый его членесть произведение трех элементов таблицы (2), причем в этом произведении участвуют элементы каждой строки и каждого столбца.Действительно, эти произведения имеют вид(4)a1p a2q a3r ,где p, q, r суть целые числа 1, 2, 3, расставленные в некотором определенном порядке. Таким образом, как первые, так и вторые знакипредставляют собою совокупность целых чисел 1, 2, 3, и произведения (4) действительно содержат по одному элементу из каждойстроки и из каждого столбца.
Чтобы получить все члены выражения (3), надо в произведении (4) взять вторые значки p, q, r вразличных возможных порядках. Таких возможных перестановокиз вторых значков будет, очевидно, шесть:1, 2, 3;2, 3, 1;3, 1, 2;1, 3, 2;2, 1, 3;3, 2, 1,(5)и мы получаем, таким образом, все шесть членов выражения (3). Номы видим, что некоторые из произведений (4) входят в выражение(3) со знаком плюс, а другие со знаком минус, и остается лишьвыяснить то правило, согласно которому надо выбирать знак.
Сознаком плюс, как мы видим, входят те произведения (4), у которыхвторые значки образуют следующие перестановки:1, 2, 3;2, 3, 1;3, 1, 2,(51 )a со знаком минус входят те произведения, вторые значки которыхобразуют перестановки:1, 3, 2;2, 1, 3;3, 2, 1.(52 )Выясним теперь, чем перестановки (51 ) отличаются от перестановок (52 ). Назовем беспорядком в перестановке тот факт, что12Гл. I. Определители и решение систем уравнений[1большее число стоит впереди меньшего, и подсчитаем число беспорядков в перестановках (51 ).
В первой из этих перестановок беспорядков вовсе нет, т. е. число беспорядков равно нулю. Перейдем ковторой перестановке и сравним по величине каждое из чисел, в неевходящих, со всеми следующими. Мы видим, что здесь имеются двабеспорядка, а именно число 2 стоит перед числом 1 и число 3 стоитперед числом 1. Точно так же нетрудно убедиться, что и третья изперестановок (51 ) содержит два беспорядка. Одним словом, можносказать, что все перестановки (51 ) содержат четное число беспорядков. Совершенно так же исследуя перестановки (52 ), мы убеждаемся, что все они содержат нечетное число беспорядков. Мы можемтеперь формулировать правило знаков в выражении (3), а именно:те произведения (4), в которых число беспорядков в перестановке,образованной вторыми значками, есть число четное, входят в выражение (3) без всякого изменения.
Те же произведения (4), у которыхперестановки, образованные вторыми значками, содержат нечетноечисло беспорядков, входят в выражение (3) с приписанным к нимзнаком минус. Выражение (3) называется определителем третьего порядка, соответствующим таблице чисел (2). Нетрудно теперьобобщить предыдущее на случай определителей любого порядка.Пусть имеется n2 чисел, расставленных в виде квадратной таблицы, имеющей n строк и n столбцов: a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n (6). . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . an1 an2 . . . ann Элементы этой таблицы aik суть заданные комплексные числа,причем значки i и k указывают номер строки и столбца, на пересечении которых стоит число aik . Составим всевозможные произведения из чисел таблицы (6) так, чтобы эти произведения содержалипо одному числу из каждой строки и из каждого столбца. Эти произведения будут иметь видa1p1 a2p2 . .
. anpn ,(7)где p1 , p2 , . . . , pn суть числа 1, 2, . . . , n, расставленные в некотором порядке. Чтобы получить всевозможные произведения вида1]§ 1. Определитель и его свойства13(7), нам надо взять всевозможные перестановки вторых значков.Как известно из элементарной алгебры, число таких перестановокбудет равно факториалу целого числа n:1 · 2 · 3 . . . n = n!Каждая из этих перестановок будет иметь некоторое число беспорядков по сравнению с основной перестановкой1, 2, 3, . . . , n.Те произведения вида (7), вторые значки которых образуют перестановку с четным числом беспорядков, возьмем без всякого изменения, а к тем произведениям вида (7), у которых перестановкавторых значков имеет нечетное число беспорядков, припишем знакминус.
Сумма всех полученных таким образом произведений и называется определителем n-го порядка, соответствующим таблице(6). Эта сумма будет, очевидно, содержать n! слагаемых. Нетруднопредставить это определение в виде формулы. Введем для этогонекоторое обозначение. Пусть p1 , p2 , . .
. , n — некоторая перестановка из чисел 1, 2, . . . , n. Обозначим число беспорядков в этойперестановке символом[p1 , p2 , . . . , pn ].Тогда данное выше определение определителя, соответствующего таблице (6), может быть записано в виде следующей формулы,причем для обозначения определителя мы пишем таблицу (6) между вертикальными чертами: a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n (−1)[p1 ,p2 ,...,pn ] a1p1 a2p2 .
. . anpn . (8). . . . . . . . . . . . . . . . . . . = p1 ,p2 ,...,pnan1 an2 . . . ann Здесь суммирование распространяется на всевозможные перестановки вторых значков, т. е. на всевозможные перестановки(p1 , p2 , . . . , pn ). Говоря о таблице как таковой, а не об определителе, из нее составленном, мы ставим эту таблицу между двойнымивертикальными чертами.14Гл. I. Определители и решение систем уравнений[1Заметим, что в выражении (3) мы в каждом произведении расставили сомножители в таком порядке, чтобы первые значки образовывали основную перестановку 1, 2, 3, и таким образом все наши рассуждения относились к перестановкам, образуемым вторыми значками.
Можно, наоборот, поставить в каждом произведениисомножители так, чтобы вторые значки всегда шли в возрастающемпорядке; при этом выражение (3) перепишется в видеa11 a22 a33 − a31 a12 a23 − a21 a32 a13 − a11 a32 a23 − a21 a12 a33 − a31 a22 a13 .(9)Здесь первые значки образуют всевозможные перестановки p, q,r, причем легко проверить, что правило знаков у членов выражения(9) может быть формулировано совершенно так же, как и выше, нотолько по отношению к первым значкам. Это приводит нас к тому,чтобы наряду с суммой (8) рассматривать аналогичную сумму вида(−1)[p1 , p2 , ..., pn ] a1p1 a2p2 . .
. anpn .(10)p1 ,p2 ,...,pnОчевидно, что эта последняя сумма состоит из тех же членов,что и сумма (8). В дальнейшем мы увидим, что и знаки ее членовтакие же, как и в сумме (8), т. е. так же, как и при n = 3, сумма(10) совпадает с суммой (8).Обратимся, наконец, к случаю n = 2. При этом таблица имеетвидa11 a12 a21 a22 и формула (8) дает следующее выражение для определителя второго порядка, соответствующего этой таблице:a11 a12 (11)a21 a22 = a11 a22 − a12 a21 .Из предыдущего непосредственно следует, что для выяснениясвойств определителя необходимо познакомиться ближе со свойствами перестановок, к чему мы сейчас и переходим.2]§ 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
