1610915347-b0cdcab04f9552ce71235da8ebe43143 (824740), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Онаполучилась из прежней основной при помощи одной транспозициии, следовательно, раньше принадлежала ко второму классу. Такимобразом, прежние перестановки второго класса станут при новомвыборе основной перестановки перестановками первого класса, инаоборот.
Следовательно, определитель, соответствующий таблице(15), будет суммой тех же слагаемых, которые стоят в формуле (8),но вследствие указанного только что изменения в распределенииперестановок вторых значков по классам знаки у членов новой суммы будут противоположны знакам слагаемых суммы (8), т.
е. приперестановке двух столбцов величина определителя меняет знак.Мы доказали это свойство, переставляя первый и второй столбцы.Точно такое же доказательство годится и при перестановке двухлюбых столбцов. Так, например, имеет место формула1 3 01 0 32 7 6 = − 2 6 7 .5 0 35 3 020Гл. I. Определители и решение систем уравнений[2Второй определитель получается из первого перестановкой второго и третьего столбцов.Выясним еще одно свойство определителя. Возьмем некотороеслагаемое суммы (8):(−1)[p1 ,p2 ,...,pn ] a1p1 a2p2 . .
. anpn .(161 )Переставляя порядок сомножителей, мы можем привести в полный порядок вторые значки, но при этом первые значки будут образовывать некоторую перестановку q1 , q2 , . . . , qn , и предыдущеевыражение запишется в виде(−1)[p1 ,p2 ,...,pn ] a1q1 a2q2 . . . anqn .(162 )Переход от (161 ) к (162 ) можно совершить при помощи нескольких транспозиций сомножителей. Всякая такая транспозиция будет одновременно транспозицией в перестановке как первых, так ивторых значков. Если число необходимых транспозиций для перехода от (161 ) к (162 ) будет четным, то отсюда будет следовать, чтоперестановка p1 , p2 , .
. . , pn принадлежит первому классу, так какона переходит в основную 1, 2, . . . , n при помощи четного числатранспозиций и, следовательно, очевидно, может быть получена изосновной также при помощи четного числа транспозиций. Но приэтом и перестановка q1 , q2 , . . . , qn принадлежит к первому классу,так как она одновременно получается из основной при помощи тогоже четного числа транспозиций. Точно так же, если p1 , p2 , .
. . , pnпринадлежит второму классу, то и q1 , q2 , . . . , qn принадлежит второму классу. Отсюда следует, что (−1)[p1 ,p2 ,...,pn ] = (−1)[q1 ,q2 ,...,qn ] ,и, следовательно, мы можем написать:(−1)[p1 ,p2 ,...,pn ] a1p1 a2p2 . . . anpn = (−1)[q1 ,q2 ,...,qn ] a1q1 a2q2 . . . aqn n .Итак, если мы сравним соответствующие слагаемые в суммах (8)и (10), то увидим, что эти суммы в точности совпадают. В сумме (10) строки играют ту же роль, что столбцы в сумме (8), и изнаших рассуждений непосредственно следует, что если в таблицезаменить все строки столбцами и столбцы строками, не меняяих порядка, то величина определителя от этого не изменится.3]§ 1.
Определитель и его свойстваТак, например, мы имеемтелей третьего порядка:2 37 02 121равенство следующих двух определи 5 21 = 36 57 20 1 .1 63. Основные свойства определителя. I. Формулируем прежде всего только что доказанное свойство — величина определителяне меняется при замене строк столбцами. В дальнейшем все, чтобудет доказано для столбцов, будет годиться и для строк, и наоборот.II. В предыдущем номере мы видели, что перестановка двухстолбцов меняет лишь знак у определителя, то же относится и кстрокам, т. е. при перестановке двух строк (столбцов) между собой величина определителя меняет лишь знак.III.
Если определитель имеет две одинаковые строки, то, переставляя их, мы, с одной стороны, ничего не изменим, а с другойстороны, по доказанному переменим знак определителя, т. е., обозначая через Δ величину определителя, Δ = −Δ или Δ = 0. Итак,определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равеннулю.IV. Линейной однородной функцией переменных x1 , x2 , .
. . , xnназывается полином первой степени этих переменных без свободного члена, т. е. выражение видаϕ(x1 , x2 , . . . , xn ) = a1 x1 + a2 x2 + . . . + an xn ,где коэффициенты ai не зависят от xs . Такая функция обладаетдвумя очевидными свойствами:ϕ(kx1 , kx2 , . . . , kxn ) = kϕ(x1 , x2 , . . .
, xn ),ϕ(x1+y1 , x2+ y2 , . . . , xn+ yn ) = ϕ(x1 , x2 , . . . , xn )+ϕ(y1 , y2 , . . . , yn ).Последнее свойство имеет место и для любого числа слагаемых.Обращаясь к формуле (8), мы видим, что каждое слагаемое написанной суммы содержит множителем один и только один элемент из22Гл. I. Определители и решение систем уравнений[3каждой строки. Отсюда следует, что определитель есть линейнаяоднородная функция элементов какой-нибудь строки (или какогонибудь из столбцов).Следовательно, если все элементы некоторой строки (столбца) содержат общий множитель, то его можно вынести за знакопределителя.Величина определителя, соответствующего таблице (6), частообозначается, как мы уже указывали выше, в виде a11 a12 . .
. a1n a21 a22 . . . a2n . . . . . . . . . . . . . . . . . . .an1 an2 . . . ann или более коротко:|aik | (i, k = 1, 2, . . . , n).Доказанное свойство можно в частноммер, в видеa11ka11 ka12 ka13 a21a22a23 = k a21a31 a31a32a33 случае записать, наприa13a22a32a13 a23 .a33 Второе из указанных свойств линейных однородных функцийдает следующее свойство определителя: если элементы некоторойстроки (столбца) суть суммы равного числа слагаемых, то определитель равен сумме определителей, в которых элементы упомянутой строки (столбца) заменены отдельными слагаемыми. Так,например: a b c + c a b c a b c d e f + f = d e f + d e f . g h i + i g h i g h i Отметим еще одно очевидное следствие линейности и однородности. Если все элементы некоторой строки (столбца) равны нулю, то и определитель равен нулю.3]§ 1. Определитель и его свойства23V.
Если из таблицы (6) вычеркнуть i-ю строку и k-й столбец,на пересечении которых находится элемент aik , то останется (n −1) строк и столько же столбцов. Соответствующий определитель(n − 1)-го порядка называется минором основного определителяn-го порядка, соответствующим элементу aik . Обозначим его черезΔik и составим произведениеAik = (−1)i+k Δik(17)и назовем его алгебраическим дополнением элемента aik . Покажемтеперь, что эти алгебраические дополнения являются коэффициентами той линейной однородной функции, о которой мы говорили впредыдущем свойстве, т. е., что для любой i-й строки имеет местоформулаΔ = Ai1 ai1 + Ai2 ai2 + .
. . + Ain ain(i = 1, 2, . . . , n)(18)(k = 1, 2, . . . , n),(19)и для любого k-го столбца — формулаΔ = A1k a1k + A2k a2k + . . . + Ank ankгде Δ — величина определителя. Иначе говоря, мы должны показать, что если в сумме (8) мы соберем все члены, содержащиенекоторый определенный элемент aik , то коэффициентом при этомэлементе будет его алгебраическое дополнение Aik , определяемоеформулой (17).
Обозначим предварительно этот коэффициент через Bik и заметим прежде всего, что этот коэффициент представляет собой сумму произведений из (n − 1) элементов, причем этипроизведения не содержат уже элементов i-й строки и k-го столбца.Возьмем сначала случай i = k = 1 и выпишем те слагаемыесуммы (8), которые содержат элемент a11 :a11(−1)[1,p2 ,...,pn ] a2p2 . . . anpn .(p2 ,...,pn )Здесь суммирование должно распространяться на всевозможные перестановки p2 , p3 , . . . , n из чисел 2, 3, . .
. , n. В полной перестановке 1, p2 , . . . , pn первый элемент единица по отношению ко24Гл. I. Определители и решение систем уравнений[3всем следующим находится в порядке, а потому для числа беспорядков мы имеем:[1, p2 , . . . , pn ] = [p2 , . . . , pn ],причем за основную перестановку в обоих случаях берется та, гдечисла идут в возрастающем порядке. Мы имеем, таким образом,следующее выражение для коэффициента при a11 :(−1)[p2 ,...,pn ] a2p2 . . . anpn .B11 =(p2 , p1 , ..., pn )Эта сумма подходит под определение определителя, но толькопо сравнению с исходным определителем отсутствуют первая строка и первый столбец.
Отсюда видно, что B11 = Δ11 = (−1)1+1 Δ11 =A11 , т. е. при i = k = 1 наше утверждение доказано. Перейдем к случаю любых i и k. Будем переставлять i-ю строку постепенно с болеевысокими строками так, чтобы она попала на место первой строки.Для этого придется сделать (i−1) перестановок строк. Совершеннотак же постепенной перестановкой приведем k-й столбец на местопервого столбца. После этих перестановок элемент aik попадет влевый верхний угол на место элемента a11 .
Строка с номером i истолбец с номером k окажутся на первом месте, а порядок остальных строк и столбцов не изменится. Полученный выше результатпоказывает, что после упомянутых перестановок коэффициент приaik будет равен Δik . Но нам пришлось применить (i − 1) + (k − 1)перестановок строк и столбцов попарно, и каждая такая перестановка добавляет множитель (−1) к определителю, т. е., в общем,мы добавили множитель (−1)(i−1)+(k−1) = (−1)i+k , и, следовательно, окончательное выражение для коэффициента Bik будетBik =Δik= (−1)i+k Δik = Aik ,(−1)i+kчто и требовалось доказать.
Таким образом мы доказали формулы(18) и (19). Если мы в определителе Δ заменим элементы i-й строки последовательно некоторыми числами c1 , c2 , . . . , cn , не меняяостальных строк, то в формуле (18) множители Ais не изменятся,3]§ 1. Определитель и его свойства25и величина нового определителя будет:Δ = Ai1 c1 + Ai2 c2 + . . . + Ain cn .(20)В частности, если мы возьмем числа c1 , c2 , .
. . , cn равными элементам aj1 , aj2 , . . . , ajn другой строки с номером j, отличным от i, тоопределитель Δ будет иметь две одинаковые строки i-ю и j-ю, иего величина будет равна нулю: Δ = 0, т. е.Ai1 aj1 + Ai2 aj2 + . . . + Ain ajn = 0 (i = j).(211 )Точно так же для столбцов:A1k a1l + A2k a2l + . . . + Ank anl = 0 (k = l).(212 )Формулы (19) и (211 , 211,2 ) приводят нас к следующему важномув дальнейшем свойству определителя.Если элементы некоторой строки (столбца) умножить на ихалгебраические дополнения и эти произведения сложить, то получится величина определителя.
Если же элементы некоторойстроки (столбца) умножить на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (столбца) и эти произведения сложить, то сумма будет равна нулю.VI. Прибавим к элементам первой строки определителя Δэлементы второй строки, умноженные на некоторый множительp. Элементы первой строки станут равными a1s + pa2s (s =1, 2, . . .
, n), и в силу свойства IV новый определитель будет суммой двух определителей: прежнего определителя и второго определителя, у которого первая строка состоит из элементов pa2s (s =1, 2, . . . , n), а остальные строки одинаковы с Δ. Вынося из первойстроки p, получим одинаковые первую и вторую строки, и, следовательно, величина этого второго определителя равна нулю, т. е.вообще величина определителя не изменится, если к элементамнекоторой строки (столбца) добавить соответствующие элементы другой строки (столбца), предварительно умножив эти последние на один и тот же множитель.Укажем некоторые обозначения, которыми мы будем пользоваться в дальнейшем.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
