1610915347-b0cdcab04f9552ce71235da8ebe43143 (824740), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Мы можем записать такую систему,содержащую n уравнений и n неизвестных, в виде⎫a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1 ,⎪⎪⎪a x + a x + . . . + a x = b ,⎬21 122 22n n2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .⎪⎪⎪⎭an1 x1 + an2 x2 + . . . + ann xn = bn ,(1)причем обозначения коэффициентов такие же, какие мы ввели в [1]для случая трех уравнений с тремя неизвестными. Сделаем однопредположение, а именно будем считать, что определитель системы, т. е. определитель, соответствующий таблице коэффициентовaik системы, отличен от нуля:Δ = |aik | = 0.(2)Умножим обе части уравнений системы (1) на алгебраическиедополнения элементов k-го столбца этого определителя, т. е. обе части первого уравнения системы умножим на A1k , второго на A2kи т.
д. Полученные таким образом уравнения сложим. В результате мы придем к уравнению, в правой части которого стоитсуммаA1k b1 + A2k b2 + . . . + Ank bn ,а в левой части коэффициент при неизвестном xl выражается суммойA1k a1l + A2k a2l + . . . + Ank anl(l = 1, 2, . . .
, n).Эта последняя сумма равна нулю при l = k и определителю Δ приl = k, т. е. мы приходим к уравнению видаΔ · xk = A1k b1 + A2k b2 + . . . + Ank bn .46Гл. I. Определители и решение систем уравнений[8Проделав это для каждого значка k, мы, как следствие уравнений (1), получим систему новых уравненийΔ · xk = A1k b1 + A2k b2 + . . .
+ Ank bn(k = 1, 2, . . . , n).(3)Нетрудно показать, что и, наоборот, из системы (3), как следствие,получается система (1). Действительно, умножим обе части уравнения (3) на alk и просуммируем затем по всем k от 1 до n. Пользуясьопять свойством V определителя, мы придем, как нетрудно видеть,к уравнениюΔ · (al1 x1 + al2 x2 + . . . + aln xn ) = Δ · bl ,(4)что после сокращения на множитель Δ, отличный от нуля, дастнам уравнение с номером l системы (1), причем мы можем это проделать для любого l.
Итак, системы (1) и (3) равносильны, и мыможем вместо системы (1) решать систему (3). Последняя система решается непосредственно и дает одно и только одно решение,вычисляемое по формуламxk =A1k b1 + A2k b2 + . . . + Ank bnΔ(k = 1, 2, . . . , n).(5)Заметим, что в силу сказанного в [3] числитель написанного выражения представляет собой определитель, который получается изопределителя Δ заменой элементов k-го столбца, т. е. коэффициентов aik при xk , свободными членами bi .
Мы имеем таким образомследующую теорему:Т е о р е м а К р а м е р а. Если определитель Δ системы (1) отличен от нуля, то эта система имеет одно определенное решение,выражаемое формулами (5). Согласно этим формулам, каждое изнеизвестных выражается частным двух определителей, причем взнаменателе стоит определитель системы, а в числителе — определитель, который из него получается заменой коэффициентовпри определяемом неизвестном соответствующими свободнымичленами.При большом числе уравнений пользование теоремой Крамеранеудобно, и существуют другие, приближенные, практические спо-9]§ 2. Решение систем уравнений47собы решения систем многих уравнений со многими неизвестными,на чем мы останавливаться не будем.9. Общий случай систем уравнений.
Рассмотрим общийслучай m уравнений с n неизвестными:⎫X1 = a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1k xk + a1,k+1 xk+1 + . . . + a1n xn = b1 , ⎪⎪⎪⎪X2 = a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2k xk + a2,k+1 xk+1 + . . . + a2n xn = b2 , ⎪⎪⎪⎪⎪.................................................................. ⎪⎪⎪⎪⎪Xk = ak1 x1 + ak2 x2 + . . . + akk xk + ak,k+1 xk+1 + . .
. + akn xn = bk ,⎪⎪⎬Xk+1 = ak+1,1 x1 + ak+1,2 x2 + . . . + ak+1,k xk +⎪⎪+ ak+1,k+1 xk+1 + . . . + ak+1,n xn = bk+1 , ⎪⎪⎪⎪⎪.................................................................. ⎪⎪⎪⎪⎪⎪Xm = am1 x1 + am2 x2 + . . . + amk xk + am,k+1 xk+1 +⎪⎪⎪⎭+ . .
. + amn xn = bm .(6)Для краткости в дальнейших выкладках мы обозначили через Xs всю левую часть уравнения с номером s. Коэффициентыaik этой системы образуют прямоугольную таблицу, и пусть k —ее ранг. Переставляя строки и столбцы, т. е. переменяя нумерациюуравнений и неизвестных, мы можем достигнуть того, чтобы некоторый определитель порядка k, входящий в таблицу и отличный отнуля, стоял в левом верхнем углу. Назовем его главным определителем системы. Он будет иметь видa11 a12 .
. . a1k a21 a22 . . . a2k .Δ=. . . . . . . . . . . . . . . . . . . ak1 ak2 . . . akk (7)Составим (m − k) определителей порядка (k + 1), которые называются характеристическими определителями системы и которые получаются из главного определителя, если к нему добавить48Гл. I. Определители и решение систем уравнений[9одну строку, состоящую из коэффициентов уравнений с номером,бо́льшим чем k, и один столбец, состоящий из свободных членов.Уточняя сказанное, определим эти характеристические определители следующими формулами:Δk+s a11a12...a1kb1 a21a22...a2kb2 = . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ak1ak2...akkbk ak+s,1 ak+s,2 . . . ak+s,k bk+s (k + s = k + 1, k + 2, . . . , m).(8)Если k = m, т. е. ранг равен числу уравнений, то характеристических определителей вовсе не будет. Рассмотрим наряду с характеристическими определителями другие определители, которыеполучаются из них заменой в последнем столбце свободных членовлевыми частями уравнений: a11a12...a1kX1 a21a22...a2kX2 .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(9) ak1ak2...akkXk ak+s,1 ak+s,2 . . . ak+s,k Xk+s Эти последние определители, кроме заданных коэффициентовaik , содержат xj . Но нетрудно показать, что определители (9) тождественно равны нулю.
Действительно, элементы последнего столбца этих определителей в силуXi = ai1 x1 + ai2 x2 + . . . + ain xnсостоят из n слагаемых, и, следовательно, всякий определитель (9)может быть представлен, согласно свойству IV из [3], в виде суммычленов следующей формы: a11a12...a1ka1j a21a22...a2ka2j .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . · xj . ak1ak2...akkakj ak+s,1 ak+s,2 . . . ak+s,k ak+s,j 9]§ 2. Решение систем уравнений49Легко убедиться, что определитель, состоящий множителем приxj , равен нулю. Действительно, если j k, то последний столбец этого определителя совпадает с одним из предыдущих. Еслиже j > k, то упомянутый определитель есть определитель порядка(k+1), входящий в таблицу (5), и, следовательно, он равен нулю, таккак по предположению ранг этой таблицы равен k.
Вычитая определители (9), равные тождественно нулю, из характеристическихопределителей и пользуясь свойством IV определителей, мы можем представить характеристические определители в следующемвиде: a11a12...a1kb1 − X1 a21a22...a2kb2 − X2 Δk+s = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . ,(10) ak1a...ab−Xk2kkkkak+s,1 ak+s,2 . . . ak+s,k bk+s − Xk+s (k + s = k + 1, k + 2, . . . , m)причем в этой форме они лишь по виду зависят от букв xj . Предположим теперь, что наша система (6) имеет некоторое решение:(0)(0)x1 = x1 , x2 = x2 , . . . , xn = x(0)n .(0)Подставляя xj = xj в последний столбец определителей (10),мы будем иметь в этом последнем столбце нули, т.
е. все характеристические определители должны равняться нулю.Т е о р е м а I. Для того чтобы система (6) имела хоть одно решение, необходимо, чтобы все характеристические определители(8) были равны нулю.Докажем теперь достаточность этого условия и дадим способнахождения всех решений системы.
Итак, предположим, что все характеристические определители равны нулю. Возьмем их в форме(10) и разложим по элементам последнего столбца. Нетрудно видеть, что алгебраическое дополнение элемента (bk+s − Xk+s ) будетравно главному определителю Δ, отличному от нуля, и мы можемзаписать наше условие, что все характеристические определители50Гл. I. Определители и решение систем уравнений[9равны нулю, в виде(k+s)a1(k+s)(k+s)(b1 − X1 ) + a2(b2 − X2 ) + .
. . + ak(bk − Xk )++ Δ(bk+s − Xk+s ) = 0 (k + s = k + 1, k + 2, . . . , m),(11)(q)где ap — численные коэффициенты, не представляющие для насникакого интереса.Положим теперь, что мы имеем какое-нибудь решение первых kуравнений системы, и подставим мысленно это решение вместо xjв тождества (11). При этом все разностиb 1 − X1 , b 2 − X2 , . .
. , b k − Xkобратятся в нуль, и мы получим после указанной подстановкиΔ · (bk+s − Xk+s ) = 0или в силу Δ = 0:bk+s − Xk+s = 0(k + s = k + 1, k + 2, . . . , m),т. е. оказывается, что если все характеристические определителиравны нулю, то всякое решение первых k уравнений системы будетудовлетворять и всем следующим уравнениям, и нам остается вэтом случае решить только первые k уравнений.Перенесем в этих уравнениях все неизвестные с номером,бо́льшим k, в правую часть, после чего эти уравнения примут вид⎫a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1k xk = b1 − a1,k+1 xk+1 − . . . − a1n xn , ⎪⎪⎪a21 x1 + a22 x2 + . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
